Benutzer:Suhagja/Flacher Zusammenhang

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Definition

Sei $G$ eine Lie-Gruppe und $\pi :E\rightarrow M$ ein $G$-Prinzipalbündel.

Ein flacher Zusammenhang ist ein Zusammenhang $\omega \in \Omega ^{1}(E,{\mathfrak {g}})$, dessen Krümmungsform verschwindet: $\Omega :=d\omega +{\frac {1}{2}}\left[\omega ,\omega \right]=0$.

Modulraum flacher Zusammenhänge

Der Raum aller Zusammenhänge eines gegebenen Prinzipalbündels ist ${\mathcal {A}}:=\Omega ^{1}(M,{\mathfrak {g}})$ mit der $C^{\infty }$-Topologie. Der Unterraum der flachen Zusammenhänge wird mit ${\mathcal {A}}_{F}$ bezeichnet. Die Eichgruppe ${\mathcal {G}}=C^{\infty }(M,G)$ wirkt auf ${\mathcal {A}}$ durch $g\omega =g^{-1}\omega g+g^{-1}dg$, sie bildet ${\mathcal {A}}_{F}$ in sich ab.

Die Holonomie vermittelt eine Bijektion

${\mathcal {A}}_{F}/{\mathcal {G}}\rightarrow Hom(\pi _{1}M,G)/conjugation$.

Der Modulraum flacher Zusammenhänge ist

${\mathcal {M}}={\mathcal {A}}_{F}/{\mathcal {G}}$.

Sein Tangentialraum in einem flachen Zusammenhang $A\in {\mathcal {M}}$ ist

$T_{A}{\mathcal {M}}=H^{1}(M,d_{A})$

mit

$d_{A}a=da+\left[A,a\right]$

für $A\in {\mathcal {M}},a\in \Omega ^{*}(M,{\mathfrak {g}})$.

Der Satz von Narasimhan-Seshadri identifiziert den Modulraum flacher Zusammenhänge über einer kompakten Riemannschen Fläche $\Sigma$ mit einer komplexen Mannigfaltigkeit, nämlich der Mannigfaltigkeit der stabilen Vektorbündel über $\Sigma$.

Weblinks

• [www.math.toronto.edu/~jeffrey/mat1312/lec15.modulispaces.pdf Flat connections on oriented 2-manifolds]