Diskussion:Definitheit

primaere definition ueber skalarprodukte

Definitheit hat zuallererst etwas mit Skalarprodukten zu tun, die Beziehung zu Eigenwerten ist sekundär und ist aus Ko-/Kontravarianzgründen irreführend. Vgl. auch Skalarprodukt und Prähilbertraum.--Gunther 13:48, 20. Mär 2005 (CET)

Habe dazu mal was geschrieben - ist das ungefähr das, was du meintest? --Glotzfrosch 22:32, 31. Mär 2005 (CEST)

Ja, ich meinte aber vor allem, dass man zuerst erklärt, was Definitheit für eine Bilinearform bedeutet, und erst später als "Eigenschaft" dieses Begriffes die Beziehung zu den Eigenwerten nennt. Außerdem sollte man die Seite noch an den o.a. Stellen verlinken bzw. sich überlegen, inwieweit man dort Definitionsteile streichen kann. Man kann übrigens überall voraussetzen, dass die Matrix symmetrisch ist, zumindest ist die Behauptung der aktuellen Fassung, dass das Hurwitz-Kriterium auch für nicht symmetrische Matrizen etwas über die Eigenwerte aussagt, falsch.--Gunther 22:48, 31. Mär 2005 (CEST)

Okay, nächster Versuch! Allerdings habe ich jetzt das Gefühl, dass der Artikel etwas unübersichtlich ist... ich weiß aber gerade nicht, wie ich's besser machen könnte. --Glotzfrosch 20:42, 1. Apr 2005 (CEST)

Habe mich mal um eine Gliederung bemüht. Einen guten Einleitungssatz sollten wir noch finden...--Gunther 00:45, 3. Apr 2005 (CEST)

Beim Einleitungssatz sollte man auch das Wort Symmetrie ergänzen dann passt's.: 'Er beschreibt, welche Vorzeichen reelle quadratische Formen annehmen können, die durch symmetrische Matrizen oder allgemeiner durch symmetrische Bilinearformen erzeugt werden.' So hat man die Fragen weiter unten gleich ausgeschlossen! -- Eulermatroid 11:16, 1. Feb. 2012 (CET)

nein. -- seth 23:17, 5. Feb. 2012 (CET)

wie nein ? Nein ohne irgendwas , obwohl sich sämtliche Lehrbücher auf symmetrische Bilinearformen sowohl für quafratische Formen als auch für Definitheit beziehen ? Muß sagen, dann ist Wiki für mich gestorben. -- Eulermatroid 09:56, 7. Feb. 2012 (CET)

gudn tach!

positive definitheit kann allgemein fuer quadratische matrizen definiert werden. dass einige fachbuecher die definition auf symmetrische matrizen einschraenken, aendert daran nichts. der artikel geht darauf ein. was willst du mehr? -- seth 10:33, 26. Feb. 2012 (CET)

Gaußsches Eliminationsverfahren als Definitheitskriterium?

Diesen Ansatz habe ich sonst nirgends gesehen, finde Ihn aber sinnvoll im Zusammenhang einer Minimasuche mittels Newtonverfahren. Allerdings finde ich den Teil mit Diagonalstrategie mit n positiven Pivotelementen verwirrend, vielleicht wäre eine etwas ausführlichere Erläuterung schön oder vielleicht einen passender Link? Auf welcher Grundlage lässt sich diese Aussage denn treffen? --Odysseus76 15:32, 21. Jan 2006 (CET)

Definitheit von Matrizen

In der aktuellen Version steht:

Da sich jede Bilinearform (bzw. Sesquilinearform) auf einem endlichdimensionalen Vektorraum durch eine quadratische Matrix beschreiben lässt, ...

Stimmt das wirklich so formuliert? ...jede Bilinearform ... durch eine quadratische Matrix... Nach meinem bisherigen Verständnis (bin aber noch nicht völlig durchgestiegen ;) sollte sich die Dimension der Matrix aus der Dimension der beiden beteiligten Vektorräume bilden. ( $\langle v,w\rangle \mapsto v^{T}Aw$ ) Wenn von "jeder Bilinearform" die Rede ist, dann ist die Dimension der Matrix nicht einschränkbar. Positiv bzw. negativ definite Matrizen, um die es dann eigentlich geht, müssten allerdings symmetrisch (nicht nur quadratisch) sein, da die Definitheit einer Bilinearform auch ihre Symmetrie impliziert - und damit auch die Symmetrie der zugehörigen Matrix.

Außerdem könnte für Laien (wie mich) an dieser Stelle auch ein Link auf den folgenden Abschnitt im Matrix-Artikel hilfreich sein: Eigenschaften von Matrizen bzgl. ihrer Linearformen --(Tobi)134.109.148.27 17:17, 19. Mär 2006 (CET)

Bei Bilinearformen ist nur ein Vektorraum beteiligt, daher ist die darstellende Matrix quadratisch. Ein Beispiel für eine positiv definite Bilinearform, die nicht symmetrisch ist, ist die durch $A=\left({\begin{matrix}1&1\\0&1\end{matrix}}\right)$ beschriebene auf dem R². Den Link darfst du gerne einfügen, wenn du ihn für hilfreich hältst. --Glotzfrosch 22:34, 19. Mär 2006 (CET)

$A=\left({\begin{matrix}1&1/2\\1/2&1\end{matrix}}\right)$ eine äquivalente bilinearform zu A--172.176.108.26 22:33, 2. Okt 2006 (CEST)

symmetrie

ist in "Eine symmetrische Bilinearform [...]" das "symmetrische" nicht verzichtbar? -- 141.3.74.114 18:03, 9. Aug 2006 (CEST)

Nein, ist es nicht. Ein Gegenbeispiel ist die Matrix [1, -1; 2, -1]. --Glotzfrosch 19:18, 9. Aug 2006 (CEST)

aeh, meinst du mit "nein, ist es nicht", dass es nicht nicht verzichtbar, also verzichtbar sei?

denn nur dann waere das ein gegenbeispiel. die matrix ist positiv definit, nicht symmetrisch und man koennte damit eine bilinearform definieren, oder nicht? -- 141.3.74.114 14:29, 10. Aug 2006 (CEST)

In dem Teil, den du verändert hattest (Hauptminorenkriterium) ist die Bedingung "symmetrisch" nicht verzichtbar. Die angegebene Matrix belegt das, denn sie erfüllt das Hauptminorenkriterium (zweimal +1), ist aber nicht positiv definit ([0,1]*A*[0,1]' = -1 < 0). Das Hauptminorenkriterium ist nicht anwendbar, weil die Matrix nicht symmetrisch ist. --Glotzfrosch 11:04, 11. Aug 2006 (CEST)

oops. *staun* -- 141.3.74.114 16:52, 11. Aug 2006 (CEST)

so, ich nenne als quelle die freie, zuverlaessige quelle http://mathworld.wolfram.com/PositiveDefiniteMatrix.html und aendere den artikel entsprechend ab. -- 141.3.74.114 14:48, 10. Aug 2006 (CEST)

Normalerweise ist Wolfram's Mathworld zuverlässig, aber hier liegt sie entweder daneben, oder wir verstehen sie nicht richtig. Ich habe ja wohl ein Gegenbeispiel angegeben. --Glotzfrosch 11:04, 11. Aug 2006 (CEST)

ja, hast du. und fuer mich ist damit soeben eine welt zusammengebrochen. ich werde mich da bei gelegenheit noch mal schlau machen. -- 141.3.74.114 16:55, 11. Aug 2006 (CEST)

gudn tach. ich war die ip. eine google-recherche hat ergeben, dass erstaunlich viele leute (so wie ich) das sog. hauptminoren- oder sylvester-kriterium, das eigentlich fuer hermitesche matrizen gilt, auch auf beliebige nicht-hermitesche matrizen uebertragen (auch wolfram: http://mathworld.wolfram.com/SylvestersCriterion.html). allerdings geben die nie einen beweis dafuer an und so ein beweis kann ja auch gar nicht existieren, wie Glotzfrosch gezeigt hat. ich denke, diese konfusion ist grund genug, dass wir das explizit im artikel erwaehnen, oder? -- seth 12:07, 12. Aug 2006 (CEST)

Mal die ganz bescheuerte Frage was bringt das symmetrie Kriterium überhaupt? Ich meine woran erkenne ich nun die positive Definitheit einer symmetrischen Matrix? --DrTrigon 19:03, 25. Jul. 2008 (CEST)

Ok ist soweit klar, aber möchte die Frage umformulieren: Würde es nicht Sinn machen das Symmetrie- mit dem Hauptminorenkriterum zusammenzulegen, hängen ja ab voneinander? --DrTrigon 20:47, 25. Jul. 2008 (CEST)

das hauptminorenkriterium ist nur bei symmetrischen matrizen anwendbar. was soll das "symmetriekriterium" sein? -- seth 00:15, 26. Jul. 2008 (CEST)

Entschuldige, habe mich extrem unklar (und unnütz) ausgedrückt, meine natürlich "Definitheitskriterium für allgemeine Matrizen"! (Danke für die Antwort) --DrTrigon 01:41, 26. Jul. 2008 (CEST)

Definitheit für allgemeine Matrizen gibt es nicht. q(x) = x^t*A*x ist eine Quadratische Form wenn A eine symmetrische (hermitische) Matriz ist. Definitheit bezieht sich ausschließlich auf Quadratische Formen. Eulermatroid 10:30, 31. Jan. 2012 (CET)

gudn tach!

quadratisch, ja, aber nicht notwendig symmetrisch. steht doch oben in diesem thread. -- seth 23:18, 5. Feb. 2012 (CET)

hurwitz-kriterium

das hauptminorenkriterium, was oft auf sylvester-kriterium genannt wird, wird manchmal auch als hurwitz-kriterium bezeichnet. ist diese letzte bezeichnung ueberhaupt richtig? das hurwitz-kriterium kann man z.b. auf Hurwitz-Kriterium#Hurwitz-Kriterium nachlesen oder in dem dort weiter unten verlinkten original-paper. die matrizen, auf die dort ein hauptminorenkriterium angewendet wird, haben eine ganz bestimmte gestalt. insofern sollte man das allgemeine hauptminorenkriterium nicht als hurwitz-kriterium bezeichnen. liege ich da falsch? -- seth 12:07, 12. Aug 2006 (CEST)

Algemeinere Definition der Definitheit (sic!)

(positive)Definitheit wird eigentlich viel allgemeiner Definiert: f(x)>0 für alle x außer x=0 Zum Beispiel: f(x1,x2)=x1^4+abs(x2) ist positiv definit. f(x)=cos(x)-1 ist negativ semidefinit

Bei Quadratischen Formen(bilinearformen) sind die Eigenwerte entscheidend. x Wenn alle Eigenwerte von A >(≥) 0 positiv sind ist die x' * A * x (semi) definit negativ analog, aber wenn mindestens je ein Eigenwert größer Null und einer kleiner 0 ist ist die Matrix indefinit.

Symmetrie spielt insofern (k)eine Rolle da man jede quadratische Matrix in einen symmetrischen und einen Schiefsymmetrischen Teil spalten kann. A= (1/2A+1/2A) + (1/2A'-1/2A')=(1/2A+1/2A')+(1/2A-1/2A') M=(1/2A+1/2A') ist symmetrisch. M=M' S=(1/2A-1/2A') ist schiefsymmetrisch S=-S'. es gilt x'*(M+S)*x=x'*M*x+x'*S*x (linearität!) nur der symmetrische Teil spielt in einer quadratischen Form eine Rolle ( der schiefsymmetrische Teil hebt sich in einer quadratischen Form auf(beweis durch beispiel ;-) )

[' bedeutet transponiert]

(Wenn ich LATex könnte gäbe es hier noch schönere Beispiele:)

Matlab A=[1,0,0;0,-1,0;0,0,1] ist symmetrisch aber weder positiv noch negativ definit. B=[0,a,b;-a,0,c;-b,-c,0] ist eine allgemeine schiefsymmetrische 3x3 Matrix mit x=(x;y;z) geht aus x'*B*x hervor: (-ay-bz,ax-cz,bx+cy)*(x;y;z)=-ayx-bzx+axy-cyz+bxz+cyz=0 -- Alex 172.176.108.26 22:24, 2. Okt 2006 (CEST)

Ich stelle gerade fest das auf der oben-genannten Mathworld-Seite im Prinzip das selbe steht, aber es ist für einen "Deutsch-Mathematiker" wirklich nicht einfach zu verstehen --172.176.108.26 22:30, 2. Okt 2006 (CEST)

Definitheitskriterium: Hauptminoren

es steht: "A ist also genau dann negativ definit, falls die Hauptminoren alternieren..."

sollte es nicht besser heissen: "A ist also genau dann negativ definit, falls die Vorzeichen der Hauptminoren alternieren"?

Allerdings. So wie es jetzt drinsteht "Entsprechend ist A negativ definit, falls alle Hauptminoren von − A positiv sind." ist es einfach nur falsch. (nicht signierter Beitrag von Fraupost (Diskussion | Beiträge) 2007-12-05T15:57:32)

Nein, falsch ist es nicht. Denn $A$ ist genau dann negativ definit, wenn $-A$ positiv definit ist. --Digamma 21:06, 5. Dez. 2007 (CET)

Gibt es denn einen Beweis dafür? Ich könnte schwören, daß ich erst vor ein paar Tagen damit baden gegangen bin und nur das Kriterium mit den alterniereden Vorzeichen der Haupminoren zuverlässige Ergebnisse gebracht hat. Ich schaue nochmal, ob ich das finde, denn das müßte dann ja als Gegenbeispiel herhalten. Oder aber, wenn ein Beweis existiert, habe ich mich verrechnet. :-/ (nicht signierter Beitrag von Fraupost (Diskussion | Beiträge) 2007-12-07T20:27:27)

Das ergibt sich direkt aus der Definition. Wenn $\langle Ax,x\rangle$ negativ ist, dann ist $\langle -Ax,x\rangle =-\langle Ax,x\rangle$ positiv, und umgekehrt. Das Kriterium für die Hauptminoren ergibt sich daraus mit den Rechenregeln für Determinanten:

Ist $B$ eine quadratische $k\times k$ -Matrix, so ist $\det B=(-1)^{k}\det B$. Übrigens: Könntest Du Deine Diskussionsbeiträge bitte signieren? Mit --~~~~ bzw. dem entsprechenden Button. --Digamma 19:33, 8. Dez. 2007 (CET)

Vielen Dank dafür; du schreibst wirklich sehr konstruktive Antworten. Nur eines verstehe ich nicht: Gilt $\det B=(-1)^{k}\det B$ nicht nur für gerade Zahlen $k$? Ich glaube, da fehlt noch ein Minuszeichen so in der Art von $\det B=(-1)^{k}\det(-B)$ bzw. $\det(-B)=(-1)^{k}\det B$.

Noch ein Vorschlag: Wäre es nicht sinvoll, auch die Version mit den alternierenden Vorzeichen der Hauptminoren kurz im Artikel als gleichwertig zu erwähnen? Ich kann mir gut vorstellen, daß ich nicht die einzige bin, die bisher nur dieses Kriterium für negative Definitheit kannte. --Fraupost 20:00, 8. Dez. 2007 (CET)

Ups, ja, da ist mir ein Fehler unterlaufen. Richtig muss es natürlich heißen: $\det(-B)=(-1)^{k}\det B$. Zum Kriterium mit den alternierenden Hauptminoren: Mal schauen. --Digamma 20:09, 8. Dez. 2007 (CET)

ich verwies bereits auf den wp-artikel ueber determinanten. ueberlesen? also noch mal: Determinante (Mathematik)#Leibniz-Formel oder Determinante (Mathematik)#Laplacescher Entwicklungssatz. -- seth 14:27, 8. Dez. 2007 (CET)

hallo Fraupost. 1. du hast die ursprungsfrage nicht richtig verstanden. 2. wenn es falsch sein sollte, kannst du sicher ein gegenbeispiel angeben, oder? beachte dabei z.b. den artikel determinante. ;-) -- seth 10:48, 6. Dez. 2007 (CET)

Standardskalarprodukt definit oder semidefinit?

Unter "Definitheit von Bilinearformen und Sesquilinearformen" wird die positive Definitheit mit > 0 und die positive Semidefinitheit mit >= 0 angegeben. Darunter wird das Standardskalarprodukt als Beispiel für positive Definitheit aufgeführt, das passt aber nicht zur obigen Definition, da das Skalarprodukt auch = 0 sein kann. Ich verweise hierzu auf den Artikel zum Skalarprodukt, der positive Definitheit anders als dieser Artikel definiert, nämlich als >= 0 und bitte jemanden der fachkundiger ist als ich einen oder beide Artikel zu berichtigen / vereinheitlichen.--89.12.4.159 17:15, 21. Feb. 2007 (CET)

Das Standardskalarprodukt ist positiv definit. Das Produkt eines Vektors mit sich selbst ergibt immer das Quadrat seiner Länge, also eine positive Zahl (es sei denn, es handelt sich um den Nullvektor, was aber in der Definition ausgeschlossen ist). Dass das Skalarprodukt von zwei verschiedenen Vektoren gleich Null sein kann (nämlich immer dann, wenn die beiden Vektoren orthogonal sind), hat damit nichts zu tun. --Digamma 11:51, 11. Mär. 2007 (CET)

Im Artikel Skalarprodukt steht: $\langle x,x\rangle \geq 0$, und $\langle x,x\rangle =0$ nur für $x=0$.

Das ist dasselbe wie hier: $\langle v,v\rangle >0$ ... für alle $v\in V,v\not =0$.

Für Vektoren ungleich Null wird ">0" gefordert, für den Nullvektor gilt "=0". --Digamma 12:26, 11. Mär. 2007 (CET)

Ist das Kriterium für allgemeine Matrizen nur hinreichend oder auch notwendig?

Gibt es nicht-symmetrische positiv definite Matrizen, deren symmetrischer Anteil nicht pos. definit ist? Ein Gegenbeispiel oder zumindest eine Warnung wäre hier ggf. sinnvoll.

Gut das die Frage hier kommt. Ich hab ja bereits dafür plädiert in der Einführung zu Schreiben, dass Definitheit (in IR) nur von symmetrischen Bilinearformen (symmetrichen Matrizen) erzeugt werden.

Diese Unterlassung wirft bisher mehr unnötige Fragen auf!

Es gibt also keine (!) nicht-symmetrische, definite Matrizen.

Zum symmetrischen Anteil: Jede reelle Matriz der Form C = A^t *A ist positiv semidefinit oder positiv definit.

-- Eulermatroid 12:51, 2. Feb. 2012 (CET)

gudn tach!

doch, die gibt es. oben wurde ein 2d-beispiel genannt. -- seth 23:19, 5. Feb. 2012 (CET)

Jede quadratische Matrix beschreibt..

.. eine Bilinearform eine Bilinearform auf $\mathbb {R} ^{n}$ oder eine Sesquilinearform auf $\mathbb {C} ^{n}$.

Bitte erklärt im Artikel aus welchem Körper die Einträge der Matrix jeweils stammen. Denn, für Sesquilinearformen ist mir das im Moment nicht klar.

EDIT: Und was bezeichnet $x^{H}$? Bitte Standardnotation verwenden oder Notation erklären. (nicht signierter Beitrag von 132.230.75.111 (Diskussion | Beiträge) 12:11, 2. Mai 2009 (CEST))

Cholesky-Zerlegung

Die Cholesky-Zerlegung funktioniert auch ohne die Positive Definitheit, nicht unbedingt ohne in nen anderen zugrundeliegenden Raum zu rutschen, jedoch es geht. Hier müsste irgendwas anderes stehen, von wegen, wenn man eine Choleskyzerlgung über $\mathbb {R}$ haben will, so muss die Matrix positiv definit sein.

http://www.rzbt.haw-hamburg.de/dankert/WWWErgVert/html/cholesky-verfahren.html hier steht ein Hinweis zu dem was ich sagen will.

beispiel eine CH-zerlegbaren matrix, die nicht positiv definit ist:

$\mathbf {A} =\left({\begin{array}{rrr}2&1&-2\\1&1&1\\-2&1&-2\end{array}}\right)$ mit $\mathbf {G} =\left({\begin{array}{ccc}{\sqrt {2}}&0&0\\{\frac {\sqrt {2}}{2}}&{\frac {\sqrt {2}}{2}}&0\\-{\sqrt {2}}&2{\sqrt {2}}&2{\sqrt {-3}}\end{array}}\right)$

Wo liegt mein Denkfehler, hab ich einen? -- 141.30.36.6 11:32, 5. Okt. 2009 (CEST)

$\mathbf {G} *\mathbf {G^{T}} =\left({\begin{array}{rrr}2&1&-2\\1&1&1\\-2&1&22\end{array}}\right)$

Und das ist pos. definit.

$\mathbf {G} *\mathbf {G^{T}} =\mathbf {A}$

ist immer zumindest pos. semidefinit,

bei regulärem G sogar pos. definit.

-- 93.199.222.20 14:39, 2. Feb. 2012 (CET)

Bemerkung zu Hurwitz-Kriterium

• Für nicht-hermitesche Matrizen gilt das Kriterium nicht. Ein Beispiel dafür ist die indefinite Matrix $\left({\begin{smallmatrix}1&-1\\2&-1\end{smallmatrix}}\right)$, deren Hauptminoren alle positiv sind.

Für nicht-hermitesche Matrizen ist dieser Begriff gar nicht definiert (und in diesem Falle erhalte ich auch nicht zwangsweise eine reelle Zahl als Ergebnis)--84.60.117.242 18:31, 31. Mai 2010 (CEST)

Gaußsches Eliminationsverfahren

Ich hab die Voraussetzung der Symmetrie hinzufügt, sonst ist die Aussage falsch. Gegenbeispiel:

(1 2)

(0 1)

Mit der Symmetrie stimmt die Aussage, wie bei:

http://books.google.de/books?id=REcwk9DUpowC&pg=PA58&lpg=PA58&dq=gau%C3%9Fsche+Eliminationsprozess+diagonalstrategie&source=bl&ots=1jl1J5OTPL&sig=biogn2KeFpFAGAfYdzTUV3ypxgs&hl=de&ei=MDJrTIPPJo7KjAeLxL2JAg&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=2&ved=0CB4Q6AEwAQ#v=onepage&q=gau%C3%9Fsche%20Eliminationsprozess%20diagonalstrategie&f=false

gezeigt wird.

Den Link auf Diagonalstrategie (dessen Ziel es auch nicht gibt) hab ich entfernt und kurz erklärt, was gemeint ist. Die "Math"-Formatierung bei "n Pivotelemente" hab ich herausgenommen, weil man das n sonst kaum lesen kann und die Formatierungen ja auch sowieso (Matrix A) im Artikel nicht einheitlich sind. Wichtig ist das deshalb, weil die Definitionen für Pivotelemente nicht einheitlich sind. (Die Frage ist halt, ob das letzte Element wirklich ein Pivotelement ist. -- Blerfog 03:34, 18. Aug. 2010 (CEST)

Hermitizität

Eine IP hat heute hinter dem Satz

Gelegentlich werden diese Begriffe auch für beliebige, nicht notwendig symmetrische Bilinearformen (bzw. hermitesche Sesquilinearformen) eingeführt. Im komplexen Fall muss man dann zusätzlich fordern, dass für alle $v\in V$ der Wert $Q(v)=\langle v,v\rangle$ reell ist.

den Satz

Diese Zusatzforderung ist äquivalent dazu, dass Q hermitesch ist, diese Aussage ist typisch für den komplexen Fall und hat keine Entsprechung im reellen Fall.

eingefügt, mit der Begründung

Äquivalenz der genannten Zusatzforderung zur Hermitizität erklärt. Das ist nun mal bekanntlich so, Quellenangabe ist nicht erforderlich.

Mir ist jedoch nicht bekannt, dass aus $Q(v)=\langle v,v\rangle$ für alle $v\in V$ Hermitizität folgt, also $\langle v,w\rangle ={\overline {\langle w,v\rangle }}$ für alle $v,w$. Meines Erachtens folgt nur, dass $\langle v,w\rangle +\langle w,v\rangle$ reell ist. Ich habe die Aussage deshalb wieder gelöscht. -- Digamma 20:17, 5. Nov. 2010 (CET)

Hermitezität - Beweis

DiGamma schreibt:

" Mir ist jedoch nicht bekannt, dass aus $Q(v)=\langle v,v\rangle$ für alle $v\in V$ Hermitizität folgt ...".

Ich war es, der diese Ergänzung am 05.11.2010 eingefügt hat.

Die Aussage steht explizit in der englischen Wikipedia, aber ohne Beweis.

Daher liefere ich diesen Beweis:

$\langle v,w\rangle +\langle w,v\rangle =\langle v+w,v+w\rangle -\langle v,v\rangle -\langle w,w\rangle$ ist reell, soweit sind wir uns einig. Diese Zahl nennen wir $2*a$.

In dieser Gleichung kann man $w$ durch $i*w$ ersetzen, diese Möglichkeit gibt es im reellen Fall nicht.

Wegen der Sesquilinearität folgt dann: $\langle v,w\rangle -\langle w,v\rangle$ ist rein imaginär, also gleich $2*b*i$, wobei $b$ reell ist.

Schließlich folgt $\langle v,w\rangle =a+b*i$ und $\langle w,v\rangle =a-b*i$ und daraus $\langle v,w\rangle ={\overline {\langle w,v\rangle }}$, was zu beweisen war.

OK. Ich bin überzeugt. Jetzt müssen wir das noch in sinnvoller Weise in den Artikel einbauen. -- Digamma 09:31, 6. Nov. 2010 (CET)

Done. -- Digamma 09:44, 6. Nov. 2010 (CET)

Ich habe noch einige Bemerkungen zur bisherigen Diskussion:

Alex schreibt:

Bei Quadratischen Formen(bilinearformen) sind die Eigenwerte entscheidend.

Das stimmt nur bedingt. Bilinearformen haben überhaupt keine Eigenwerte, das ist gar nicht definiert.

Das wurde eigentlich schon ganz am Anfang gesagt:

Gunther schreibt:

... die Beziehung zu Eigenwerten ist sekundär und ist aus Ko-/Kontravarianzgründen irreführend.

Wenn man dennoch von den Eigenwerten der Darstellungsmatrix einer Bilinearform bezüglich einer Orthonormalbasis spricht, dann ist das Standard-Skalarprodukt hier mit beteiligt, welches ebenfalls eine Bilinearform ist.

Solange kein Standard-Skalarprodukt gegeben ist, sondern nur eine einzige Bilinear- (oder Sesquilinear-) form, kann man nicht von Eigenwerten sprechen. Gibt man dagegen eine bestimmte positiv definite Bilinearform als Standardskalarprodukt vor, dann liefern verschiedene Möglichkeiten für die Wahl dieses Skalarproduktes im allgemeinen verschiedene Eigenwerte.

132.230.75.111 schreibt:

Gibt es nicht-symmetrische positiv definite Matrizen, deren symmetrischer Anteil nicht pos. definit ist?

Keine besonders gute Frage. Solche Matrizen gibt es nicht, daher ist auch keine Warnung erforderlich. (nicht signierter Beitrag von 86.56.22.203 (Diskussion) 09:37, 6. Nov. 2010 (CET))

Noch eine Bitte an Dich: Im Rest des Artikels, wo es um die Definitheit geht, scheint dieselbe Konfusion zu herrschen, den Autoren also unbekannt zu sein, dass komplexe Matrizen, deren zugehörige quadratische Form nur reelle Werte annimmt, automatisch hermitesch ist. Könntest Du da mal drüber schauen und den Text entsprechend anpassen? -- Digamma 11:45, 6. Nov. 2010 (CET)

Kein Hauptminorenkriterium für Semidefinitheit?

Im Abschnitt 2.3. Hauptminoren steht "Für Semidefinitheit gibt es kein Hauptminorenkriterium." In meinem Vorlesungsskript von der Uni steht aber, dass man für Semidefinitheit einfach > durch >= ersetzen muss. Der hier verlinkte Artikel http://ieeexplore.ieee.org/iel5/9/24131/01100319.pdf lässt sich nicht öffnen, ohne sich bei ieee anzumelden.

Weiß jemand näheres? (nicht signierter Beitrag von 78.53.133.2 (Diskussion) 22:32, 15. Feb. 2011 (CET))

Die Matrix ${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&-1\end{pmatrix}}$ ist indefinit, das Hauptminorenkriterium liefert jedoch der Reihe nach die Unterdeterminanten 1, 0 und 0. Nach dem Kriterium wäre die Matrix positiv semidefinit. --Digamma 17:23, 16. Feb. 2011 (CET)

Danke!

Für Semidefinitheit muss man ALLE Hauptminoren berechnen, nicht nur die FÜHRENDEN Hauptminoren. Man muss also alle Möglichkeiten durchgehen, gewissen Zeilen (und die gleichen Spalten} zu streichen, und nicht nur von rechts unten. Damit stimmt das Kriterium dann aber: die Matrix ist genau dann positiv semidefinit, wenn alle Hauptminoren nichtnegativ sind. (nicht signierter Beitrag von 139.18.255.172 (Diskussion) 14:24, 10. Mai 2013 (CEST))

Klingt plausibel, aber sicher bin ich mir nicht. Bisher kannte ich diese Kriterium nicht. Hast du dafür eine Quelle bzw. einen Beleg? --Digamma (Diskussion) 16:40, 10. Mai 2013 (CEST)

http://www.sfu.ca/~mdevos/notes/semidef/semidef_mat.pdf

Der Beweis (2)->(4) scheint mir hier allerdings falsch. Man darf in U nicht einfach auch die Zeilen/Spalten löschen. Allerdings stimmt die Aussage trotzdem: eine positiv semidefinite Matrix hat nichtnegative Determinante, denn sie ist das Produkt über alle Eigenwerte. Jede Untermatrix die durch Löschen von Zeilen und denselben Spalten entsteht, ist aber auch positiv semidefinite. Also sind alle Hauptminoren nichtnegativ. Der Rest scheint zu stimmen. Ich werde die Aussage im Hauptartikel ändern. (nicht signierter Beitrag von 78.53.93.181 (Diskussion) 13:44, 11. Mai 2013 (CEST))

Zum Begriffsklärungshinweis

Derzeit ist 'Definitheit' wie folgt organisiert:

Definitheit ist das Lemma für den Begriff 'Definitheit (Mathematik)'. Definitheit (Linguistik) ist das Lemma für den Begriff 'Definitheit (Linguistik)'.

Dazu ein Zitat aus 'Wikipedia: Begriffsklärung':

"Dementsprechend ist das Modell 2 (bzw. 3) nur bei einer deutlich erkennbar vorhandenen Tendenz für ein Thema angebracht, üblicherweise ab einem Verhältnis von ungefähr 10:1."

Das ist hier entfernt nicht der Fall. Folglich sollte eine Begriffsklärungsseite 'Definitheit' angelegt werden, die auf die beiden genannten Begriffe verweist, mit neuem Lemma für 'Definitheit (Mathematik)'.

Ich hätte das gemacht; aber ich weiß nicht, wie ich den Eintrag Definitheit sei es zu einer BKS umfunktioniere, sei es in Definitheit (Mathematik) umbenenne.

--Ch. Lehmann (Diskussion) 11:02, 10. Jan. 2014 (CET)