Benutzer:Alva2004/Tensoralgebra

${\sqrt[{n}]{x}}$

Dieser Artikel ist eine Formelsammlung zum Thema Tensoralgebra. Es werden mathematische Symbole verwendet, die im Artikel Liste mathematischer Symbole erläutert werden.

Alle hier verwendeten Vektoren sind Elemente des dreidimensionalen euklidischen Vektorraums $\mathbb {V} ^{3}$.

In Formeln, wo ein Index $i,j,k,\ldots$ nur einfach vorkommt, gilt die Formel für alle Werte von $i,j,k,\ldots \in \lbrace {1,2}\mathrm {,3} \rbrace$.

Die hier behandelten Tensoren sind Tensoren zweiter Stufe, die Vektoren aus einem euklidischen Vektorraum $\mathbb {V} _{1}^{3}$ linear auf Vektoren eines anderen euklidischen Vektorraumes $\mathbb {V} _{2}^{3}$ abbilden. Diese Tensoren sind Elemente der Menge $\mathrm {Lin} (\mathbb {V} _{1}^{3},\mathbb {V} _{2}^{3})$. In der Kontinuumsmechanik sind diese Vektorräume meist identisch mit dem euklidischen Vektorraum der geometrischen Vektoren $\mathbb {V} ^{3}$.

Allgemeines

Notation

• Buchstaben am Anfang des Alphabets $(a,b,c,\ldots )$ stehen für beliebige Zahlen.
• Buchstaben in der Mitte des Alphabets $(i,j,m,n,\ldots )$ stehen für natürliche Zahlen.
• Es gilt die Operatorrangfolge (Punkt- vor Strichrechnung): Rechenoperationen der zweiten Stufe (Multiplikation und Division) binden stärker als die der ersten Stufe (Addition und Subtraktion) und Rechenoperationen der dritten Stufe (Wurzelziehen und Potenzieren) stärker als die der zweiten Stufe.
• Es gilt die Klammerregel: Stehen Operationen in Klammern, so werden diese zuerst ausgeführt. Stehen Operationen der gleichen Stufe ohne Klammern hintereinander, so werden die Operationen von links nach rechts ausgeführt.

Kronecker Symbol

$\delta _{ij}=\delta ^{ij}=\delta _{i}^{j}=\delta _{j}^{i}=\left\{{\begin{array}{ll}1&\mathrm {falls} i=j\\0&\mathrm {sonst} \end{array}}\right.$

Matrizen aus Spaltenvektoren

Drei Vektoren ${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}\in \mathbb {V} ^{3}$ können spaltenweise in einer $3\times 3$ Matrix $M$ arrangiert werden:

$M=\left({\begin{array}{ccc}{\vec {a}}&{\vec {b}}&{\vec {c}}\end{array}}\right)$.

Die Determinante der Matrix

$|M|=|{\begin{array}{ccc}{\vec {a}}&{\vec {b}}&{\vec {c}}\end{array}}|$

ist

• ungleich null, wenn die Spaltenvektoren linear unabhängig sind und

• größer null, wenn die Spaltenvektoren ein Rechstsystem bilden.

Also gewährleistet $|{\begin{array}{ccc}{\vec {a}}&{\vec {b}}&{\vec {c}}\end{array}}|>0$, dass die Vektoren ${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}$ ein rechtshändige Basis bilden.

Die Spaltenvektoren bilden eine Orthonormalbasis, wenn

$M^{\mathrm {T} }M=\left({\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}}\right)$.

Alle hier verwendeten Basissysteme sollen ein Rechtssystem bilden.

Basissysteme

Eine Orthonormalbasis wird hier mit den Vektoren ${\hat {e}}_{1},{\hat {e}}_{2},{\hat {e}}_{3}\in \mathbb {V} ^{3}$ bezeichnet.

Dreiergruppen von Vektoren, wie z. B. ${\vec {h}}_{1},{\vec {h}}_{2},{\vec {h}}_{3}$ oder ${\vec {g}}^{1},{\vec {g}}^{2},{\vec {g}}^{3}$ bezeichnen hier eine allgemeine Basis mit

$|{\begin{array}{ccc}{\vec {h}}_{1}&{\vec {h}}_{2}&{\vec {h}}_{3}\end{array}}|>0$ und $|{\begin{array}{ccc}{\vec {g}}^{1}&{\vec {g}}^{2}&{\vec {g}}^{3}\end{array}}|>0$.

Basis und Duale Basis

Basisvektoren ${\vec {g}}_{1},{\vec {g}}_{2},{\vec {g}}_{3}$

Duale Basisvektoren ${\vec {g}}^{1},{\vec {g}}^{2},{\vec {g}}^{3}\in \mathbb {V} ^{3}$

Beziehungen zwischen den Basisvektoren

${\vec {g}}_{i}\cdot {\vec {g}}^{j}=\delta _{i}^{j}$

${\vec {g}}^{1}={\frac {{\vec {g}}_{2}\times {\vec {g}}_{3}}{({\vec {g}}_{1},{\vec {g}}_{2},\quad {\vec {g}}_{3})}},g^{2}={\frac {{\vec {g}}_{3}\times {\vec {g}}_{1}}{({\vec {g}}_{1},{\vec {g}}_{2},\quad {\vec {g}}_{3})}},g^{3}={\frac {{\vec {g}}_{1}\times {\vec {g}}_{2}}{({\vec {g}}_{1},{\vec {g}}_{2},\quad {\vec {g}}_{3})}}$

${\vec {g}}_{1}={\frac {{\vec {g}}^{2}\times {\vec {g}}^{3}}{({\vec {g}}^{1},{\vec {g}}^{2},\quad {\vec {g}}^{3})}},g_{2}={\frac {{\vec {g}}^{3}\times {\vec {g}}^{1}}{({\vec {g}}^{1},{\vec {g}}^{2},\quad {\vec {g}}^{3})}},g_{3}={\frac {{\vec {g}}^{1}\times {\vec {g}}^{2}}{({\vec {g}}^{1},{\vec {g}}^{2},\quad {\vec {g}}^{3})}}$

mit dem Spatprodukt

$({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}):={\vec {a}}\cdot ({\vec {b}}\times {\vec {c}})={\vec {c}}\cdot ({\vec {a}}\times {\vec {b}})={\vec {b}}\cdot ({\vec {c}}\times {\vec {a}})$.

In einer Orthonormalbasis ${\hat {e}}_{1},{\hat {e}}_{2},{\hat {e}}_{3}$ sind die Basisvektoren zu sich selbst dual: ${\hat {e}}_{i}={\hat {e}}^{i}$

Skalarprodukte der Basisvektoren:

$g_{ij}={\vec {g}}_{i}\cdot {\vec {g}}_{j},\quad g^{ij}={\vec {g}}^{i}\cdot {\vec {g}}^{j},\quad g_{i}^{j}={\vec {g}}_{i}\cdot {\vec {g}}^{j}=\delta _{i}^{j},\quad g_{j}^{i}={\vec {g}}^{i}\cdot {\vec {g}}_{j}=\delta _{j}^{i}$

$\sum _{k=1}^{3}g_{ik}g^{kj}=\sum _{k=1}^{3}({\vec {g}}_{i}\cdot {\vec {g}}_{k})({\vec {g}}^{j}\cdot {\vec {g}}^{k})=\sum _{k=1}^{3}{\vec {g}}_{i}\cdot ({\vec {g}}^{j}\cdot {\vec {g}}^{k}){\vec {g}}_{k}={\vec {g}}_{i}\cdot {\vec {g}}^{j}=\delta _{i}^{j}$

Berechnung von Vektorkomponenten

$v_{i}={\vec {v}}\cdot {\hat {e}}_{i}\rightarrow {\vec {v}}=\sum _{i=1}^{3}v_{i}{\hat {e}}_{i}$

$v_{i}={\vec {v}}\cdot {\vec {g}}_{i}\rightarrow {\vec {v}}=\sum _{i=1}^{3}v_{i}{\vec {g}}^{i}$

$v_{i}={\vec {v}}\cdot {\vec {g}}^{i}\rightarrow {\vec {v}}=\sum _{i=1}^{3}v_{i}{\vec {g}}_{i}$

mit $v_{i}\in \mathbb {R}$.

Wechsel der Basis

Wechsel von

Basis ${\vec {g}}^{1},{\vec {g}}^{2},{\vec {g}}^{3}$ mit dualer Basis ${\vec {g}}_{1},{\vec {g}}_{2},{\vec {g}}_{3}$

nach

Basis ${\vec {h}}^{1},{\vec {h}}^{2},{\vec {h}}^{3}$ mit dualer Basis ${\vec {h}}_{1},{\vec {h}}_{2},{\vec {h}}_{3}$ :

${\vec {v}}=\sum _{i=1}^{3}v_{i}\,{\vec {g}}^{i}=\sum _{i=1}^{3}v_{i}^{\mathrm {*} }\,{\vec {h}}^{i}\rightarrow v_{i}^{\mathrm {*} }=\sum _{j=1}^{3}({\vec {h}}_{i}\cdot {\vec {g}}^{j})v_{j}$

Koordinatentransformation:

$\left({\begin{array}{c}v_{1}^{\mathrm {*} }\\v_{2}^{\mathrm {*} }\\v_{3}^{\mathrm {*} }\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{ccc}{\vec {h}}_{1}\cdot {\vec {g}}^{1}&{\vec {h}}_{1}\cdot {\vec {g}}^{2}&{\vec {h}}_{1}\cdot {\vec {g}}^{3}\\{\vec {h}}_{2}\cdot {\vec {g}}^{1}&{\vec {h}}_{2}\cdot {\vec {g}}^{2}&{\vec {h}}_{2}\cdot {\vec {g}}^{3}\\{\vec {h}}_{3}\cdot {\vec {g}}^{1}&{\vec {h}}_{3}\cdot {\vec {g}}^{2}&{\vec {h}}_{3}\cdot {\vec {g}}^{3}\end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\end{array}}\right)$

Dyadisches Produkt

Gegeben:

• Euklidische Vektorräume $\mathbb {V} _{1}^{3},\mathbb {V} _{2}^{3}$ und $\mathbb {V} _{3}^{3}$
• Vektoren ${\vec {a}},{\vec {b}}\in \mathbb {V} _{1}^{3}$,   ${\vec {g}},{\vec {h}}\in \mathbb {V} _{2}^{3}$    sowie    ${\vec {u}}\in \mathbb {V} _{3}^{3}$.

Definition der Dyade

Dyade ${\vec {a}}\otimes {\vec {g}}\in \mathrm {Lin} (\mathbb {V} _{1}^{3},\mathbb {V} _{2}^{3})$

Eigenschaften

${\vec {a}}\otimes ({\vec {g}}+{\vec {h}})={\vec {a}}\otimes {\vec {g}}+{\vec {a}}\otimes {\vec {h}}$

$({\vec {a}}+{\vec {b}})\otimes {\vec {g}}={\vec {a}}\otimes {\vec {g}}+{\vec {b}}\otimes {\vec {g}}$

$x({\vec {a}}\otimes {\vec {g}})=(x{\vec {a}})\otimes {\vec {g}}={\vec {a}}\otimes (x{\vec {g}})=x{\vec {a}}\otimes {\vec {g}}{\quad \forall \;}x\in \mathbb {R}$

Vektortransformation

$({\vec {a}}\otimes {\vec {g}}){\vec {h}}=({\vec {g}}\cdot {\vec {h}}){\vec {a}}$

Tensorprodukt

$({\vec {a}}\otimes {\vec {g}})({\vec {h}}\otimes {\vec {u}})=({\vec {g}}\cdot {\vec {h}}){\vec {a}}\otimes {\vec {u}}$

Transposition und Spur

Transposition: ${({\vec {a}}\otimes {\vec {g}})}^{\mathrm {T} }={\vec {g}}\otimes {\vec {a}}$

Spur: $\mathrm {Sp} ({\vec {a}}\otimes {\vec {b}})=\mathrm {Sp} \left(({\vec {a}}\otimes {\vec {b}})^{\mathrm {T} }\right)={\vec {a}}\cdot {\vec {b}}$

Tensoren als Elemente eines Vektorraumes

Durch die Eigenschaften des dyadischen Produktes wird $\mathrm {Lin} (\mathbb {V} _{1}^{3},\mathbb {V} _{2}^{3})$ zu einem Vektorraum und entsprechend kann man jeden Tensor komponentenweise bezüglich einer Basis darstellen.

Voraussetzungen:

• Die Vektoren $\lbrace {\vec {a}}_{1},{\vec {a}}_{2},{\vec {a}}_{3}\rbrace$ sind eine Basis von $\mathbb {V} _{1}^{3}$ und $\lbrace {\vec {a}}^{1},{\vec {a}}^{2},{\vec {a}}^{3}\rbrace$ die duale Basis.

• Die Vektoren $\lbrace {\vec {b}}_{1},{\vec {b}}_{2},{\vec {b}}_{3}\rbrace$ sind eine weitere beliebige Basis von $\mathbb {V} _{1}^{3}$.

• Die Vektoren $\lbrace {\hat {e}}_{1},{\hat {e}}_{2},{\hat {e}}_{3}\rbrace$ sind die Orthonormalbasis von $\mathbb {V} _{1}^{3}$.

• Die Vektoren $\lbrace {\vec {g}}_{1},{\vec {g}}_{2},{\vec {g}}_{3}\rbrace$ sind eine Basis von $\mathbb {V} _{2}^{3}$ und $\lbrace {\vec {g}}^{1},{\vec {g}}^{2},{\vec {g}}^{3}\rbrace$ die duale Basis.

• Tensoren $\mathbf {A} ,\mathbf {B} ,\mathbf {Q} \in \mathrm {Lin} (\mathbb {V} _{1}^{3},\mathbb {V} _{1}^{3})$.

• Tensoren $\mathbf {S} ,\mathbf {T} \in \mathrm {Lin} (\mathbb {V} _{2}^{3},\mathbb {V} _{1}^{3})$.

Tensorkomponenten

$\mathbf {T} =\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}T^{ij}{\vec {a}}_{i}\otimes {\vec {g}}_{j}$

mit Komponenten $T^{ij}\in \mathbb {R}$.

$\mathbf {A} =\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}A_{ij}{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j}=\left({\begin{array}{ccc}A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{21}&A_{22}&A_{23}\\A_{31}&A_{32}&A_{33}\end{array}}\right)\rightarrow A_{ij}={\hat {e}}_{i}\cdot \mathbf {A} {\hat {e}}_{j}$

$\mathbf {T} =\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}T^{ij}{\vec {a}}_{i}\otimes {\vec {g}}_{j}\rightarrow T^{ij}={\vec {a}}^{i}\cdot \mathbf {T} {\vec {g}}^{j}$

$\mathbf {T} =\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}T_{ij}{\vec {a}}^{i}\otimes {\vec {g}}^{j}\rightarrow T_{ij}={\vec {a}}_{i}\cdot \mathbf {T} {\vec {g}}_{j}$

$\mathbf {T} =\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}T_{j}^{i}{\vec {a}}_{i}\otimes {\vec {g}}^{j}\rightarrow T_{j}^{i}={\vec {a}}^{i}\cdot \mathbf {T} {\vec {g}}_{j}$

$\mathbf {T} =\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}T_{i}^{j}{\vec {a}}^{i}\otimes {\vec {g}}_{j}\rightarrow T_{i}^{j}={\vec {a}}_{i}\cdot \mathbf {T} {\vec {g}}^{j}$

Operatoren

Spur

$\mathrm {Sp} \left(\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}A^{ij}{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j}\right)=A^{11}+A^{22}+A^{33}$

$\mathrm {Sp} \left(\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}A^{ij}{\vec {a}}_{i}\otimes {\vec {b}}_{j}\right)=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}A^{ij}{\vec {a}}_{i}\cdot {\vec {b}}_{j}$

$\mathrm {Sp} \left(\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}A_{j}^{i}{\vec {a}}_{i}\otimes {\vec {a}}^{j}\right)=\sum _{i=1}^{3}A_{i}^{i}$

$\mathrm {Sp} \left(\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}A_{i}^{j}{\vec {a}}^{i}\otimes {\vec {a}}_{j}\right)=\sum _{i=1}^{3}A_{i}^{i}$

Determinante

${\begin{array}{lcl}\mathrm {det} \left(\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}A_{ij}{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j}\right)&=&\left|{\begin{array}{ccc}A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{21}&A_{22}&A_{23}\\A_{31}&A_{32}&A_{33}\end{array}}\right|\\&=&A_{11}(A_{22}A_{33}-A_{23}A_{32})+A_{12}(A_{23}A_{31}-A_{21}A_{33})+A_{13}(A_{21}A_{32}-A_{22}A_{31})\\\mathrm {det} \left(\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}T_{ij}{\vec {a}}_{i}\otimes {\vec {b}}_{j}\right)&=&|{\begin{array}{ccc}{\vec {a}}_{1}&{\vec {a}}_{2}&{\vec {a}}_{3}\end{array}}|\left|{\begin{array}{ccc}T_{11}&T_{12}&T_{13}\\T_{21}&T_{22}&T_{23}\\T_{31}&T_{32}&T_{33}\end{array}}\right||{\begin{array}{ccc}{\vec {b}}_{1}&{\vec {b}}_{2}&{\vec {b}}_{3}\end{array}}|\end{array}}$

Skalarprodukt

Skalarprodukt:

$\mathbf {T} \cdot \mathbf {S} =\mathrm {Sp} (\mathbf {T} ^{\mathrm {T} }\mathbf {S} )=\mathrm {Sp} (\mathbf {S} ^{\mathrm {T} }\mathbf {T} )=\mathbf {S} \cdot \mathbf {T}$

Sind Urbild- und Bildräume der Tensoren identisch gilt:

$\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }\cdot \mathbf {B} ^{\mathrm {T} }=\mathrm {Sp} (\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }\mathbf {B} )=\mathrm {Sp} (\mathbf {AB} ^{\mathrm {T} })=\mathrm {Sp} (\mathbf {B} ^{\mathrm {T} }\mathbf {A} )=\mathrm {Sp} (\mathbf {BA} ^{\mathrm {T} })$

$\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }\cdot \mathbf {B} =\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} ^{\mathrm {T} }=\mathrm {Sp} (\mathbf {AB} )=\mathrm {Sp} (\mathbf {BA} )=\mathrm {Sp} (\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }\mathbf {B} ^{\mathrm {T} })=\mathrm {Sp} (\mathbf {B} ^{\mathrm {T} }\mathbf {A} ^{\mathrm {T} })$

Rechnen mit dem dyadischen Produkt

$\mathbf {T} ({\vec {g}}\otimes {\vec {a}})=(\mathbf {T} {\vec {g}})\otimes {\vec {a}}$

${\vec {a}}\otimes (\mathbf {T} {\vec {g}})=({\vec {a}}\otimes {\vec {g}})\mathbf {T} ^{\mathrm {T} }$

${\vec {a}}\cdot \mathbf {T} {\vec {g}}=\mathbf {T} ^{\mathrm {T} }{\vec {a}}\cdot {\vec {g}}=({\vec {a}}\otimes {\vec {g}})\cdot \mathbf {T}$

Sind Urbild- und Bildräume der Tensoren identisch gilt:

$\mathrm {Sp} (\mathbf {AB} )=\mathrm {Sp} (\mathbf {BA} )$

Sei $\mathbb {V} _{3}^{3}$ ein euklidischer Vektorraum, $\mathbf {U} \in \mathrm {Lin} (\mathbb {V} _{2}^{3},\mathbb {V} _{3}^{3})$ und $\mathbf {V} \in \mathrm {Lin} (\mathbb {V} _{3}^{3},\mathbb {V} _{1}^{3})$. Dann gilt:

$\mathrm {Sp} (\mathbf {TUV} )=\mathrm {Sp} (\mathbf {UVT} )=\mathrm {Sp} (\mathbf {VTU} )$.

Wechsel der Basis

$\mathbf {A} =\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}A_{ij}{\vec {a}}^{i}\otimes {\vec {a}}^{j}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}A_{ij}^{\mathrm {*} }{\vec {b}}^{i}\otimes {\vec {b}}^{j}$

Die Komponenten $A_{ij}^{\mathrm {*} }$ ergeben sich durch Vor- und Nachmultiplikation mit der Transformationsmatrix

$\mathbf {B} =\sum _{i=1}^{3}{\vec {b}}^{i}\otimes {\vec {b}}_{i}$,

die ein Einheitstensor ist:

${\begin{array}{lcl}\mathbf {BAB} ^{\mathrm {T} }&=&\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{3}{\vec {b}}^{i}\otimes {\vec {b}}_{i}\right)\left(\sum _{k=1}^{3}\sum _{l=1}^{3}A_{kl}{\vec {a}}^{k}\otimes {\vec {a}}^{l}\right)\left(\sum _{j=1}^{3}{\vec {b}}_{j}\otimes {\vec {b}}^{j}\right)\\&=&\displaystyle \sum _{i=1}^{3}\sum _{k=1}^{3}\sum _{l=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}A_{kl}({\vec {b}}_{i}\cdot {\vec {a}}^{k})({\vec {a}}^{l}\cdot {\vec {b}}_{j}){\vec {b}}^{i}\otimes {\vec {b}}^{j}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}A_{ij}^{\mathrm {*} }{\vec {b}}^{i}\otimes {\vec {b}}^{j}\\\rightarrow A_{ij}^{*}&=&\displaystyle \sum _{k=1}^{3}\sum _{l=1}^{3}A_{kl}({\vec {b}}_{i}\cdot {\vec {a}}^{k})({\vec {b}}_{j}\cdot {\vec {a}}^{l})\end{array}}$

Identität

Zwei Tensoren $\mathbf {S}$ und $\mathbf {T}$ sind identisch wenn gilt:

${\vec {a}}\in \mathbb {V} _{1}^{3},{\vec {g}}\in \mathbb {V} _{2}^{3}\quad \rightarrow \quad {\vec {a}}\cdot \mathbf {S} {\vec {g}}={\vec {a}}\cdot \mathbf {T} {\vec {g}}$

Spezielle Tensoren

Einheitstensor

$\mathbf {I} =\sum _{i=1}^{3}{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{i}=\left({\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}}\right)$

$\mathbf {I} =\sum _{i=1}^{3}{\vec {a}}_{i}\otimes {\vec {a}}^{i}=\sum _{i=1}^{3}{\vec {a}}^{i}\otimes {\vec {a}}_{i}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}a^{ij}{\vec {a}}_{i}\otimes {\vec {a}}_{i}=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}a_{ij}{\vec {a}}^{i}\otimes {\vec {a}}^{i}$

mit $a_{ij}={\vec {a}}_{i}\cdot {\vec {a}}_{j},a^{ij}={\vec {a}}^{i}\cdot {\vec {a}}^{j}$

Symmetrie: $\mathbf {I} ={\mathbf {I} }^{\mathrm {T} }$

Tensorprodukt: $\mathbf {AI} =\mathbf {IA} =\mathbf {A}$

Skalarprodukt: $\mathbf {A} \cdot \mathbf {I} =\mathrm {Sp} (\mathbf {A} )$

Spur: $\mathrm {Sp} ({\textbf {I}})=3$

Determinante: $\mathrm {det} ({\textbf {I}})=1$

Symmetrische und Schiefsymmetrische Tensoren

Aufteilung:

$\mathbf {A} =\mathbf {A} ^{\mathrm {S} }+\mathbf {A} ^{\mathrm {A} }$    mit    $\mathbf {A} ^{\mathrm {S} }:={\frac {1}{2}}(\mathbf {A} +\mathbf {A} ^{\mathrm {T} })$    und    $\mathbf {A} ^{\mathrm {A} }:={\frac {1}{2}}(\mathbf {A} -\mathbf {A} ^{\mathrm {T} })$

Symmetrischer Tensor:

$\mathbf {A} =\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }=\mathbf {A} ^{\mathrm {S} }$

$\mathbf {A} ^{\mathrm {S} }=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}A_{ij}{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j}=\left({\begin{array}{ccc}A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{12}&A_{22}&A_{23}\\A_{13}&A_{23}&A_{33}\end{array}}\right)$

Schiefsymmetrischer Tensor:

$\mathbf {A} =-\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }=\mathbf {A} ^{\mathrm {A} }$   und deshalb   $\mathrm {Sp} (\mathbf {A} ^{\mathrm {A} })=0$

$\mathbf {A} ^{\mathrm {A} }=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}A_{ij}{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j}=\left({\begin{array}{ccc}0&A_{12}&A_{13}\\-A_{12}&0&A_{23}\\-A_{13}&-A_{23}&0\end{array}}\right)$

Symmetrische und schiefsymmetrische Tensoren sind orthogonal zueinander:

$\mathbf {A} ^{\mathrm {S} }\cdot \mathbf {B} ^{\mathrm {A} }=0$

Orthogonale Tensoren

→ Hauptartikel: Orthogonale Matrix

Definition: $\mathbf {Q} :\quad \mathbf {Q} ^{-1}=\mathbf {Q} ^{\mathrm {T} }$    oder    $\mathbf {Q} \mathbf {Q} ^{\mathrm {T} }=\mathbf {I}$

Determinante: $\mathrm {det} (\mathbf {Q} )=\pm 1$

Reine Drehung: $\mathrm {det} (\mathbf {Q} )=+1$

Drehspiegelung: $\mathrm {det} (\mathbf {Q} )=-1$

Drehwinkel: $\cos(\alpha )={\frac {1}{2}}(\mathrm {Sp} (\mathbf {Q} )-\mathrm {det} (\mathbf {Q} ))$

Drehachse ist die Vektorinvariante $\mathbf {Q} _{\times }^{A}$ des schiefsymmetrischen Anteils von $\mathbf {Q}$.

Eigenwerte:

$\lambda _{1}=\mathrm {det} (\mathbf {Q} ),\lambda _{2}=e^{\mathrm {i} \alpha },\lambda _{3}=e^{-\mathrm {i} \alpha }$

Gegeben der Einheitsvektor ${\hat {e}}$, sein axialer Tensor ${\hat {\mathbf {e} }}$ und Drehwinkel $\alpha$, dann ist

$\mathbf {Q} =\mathbf {I} +\sin(\alpha ){\hat {\mathbf {e} }}+(1-\cos(\alpha )){\hat {\mathbf {e} }}{\hat {\mathbf {e} }}$

orthogonal und dreht um die Achse ${\hat {e}}$ mit Winkel $\alpha$.

(Entsprechende Drehspiegelung: $\mathbf {Q} =-\mathbf {I} +\sin(\alpha ){\hat {\mathbf {e} }}-(1-\cos(\alpha )){\hat {\mathbf {e} }}{\hat {\mathbf {e} }}$ )

Deviator und Kugeltensor

Aufteilung: $\mathbf {A} =\mathbf {A} ^{\mathrm {D} }+\mathbf {A} ^{\mathrm {K} }$

Deviator $\mathbf {A} ^{\mathrm {D} }:=\mathbf {A} -{\frac {1}{3}}\mathrm {Sp} (\mathbf {A} )\mathbf {I}$    mit    $\mathrm {Sp} (\mathbf {A} ^{\mathrm {D} })=0$

Kugelanteil $\mathbf {A} ^{\mathrm {K} }:={\frac {1}{3}}\mathrm {Sp} (\mathbf {A} )I$    mit    $\mathrm {Sp} (\mathbf {A} ^{\mathrm {K} })=\mathrm {Sp} (\mathbf {A} )$

Deviatorischer Tensor: $\mathbf {A} =\mathbf {A} ^{\mathrm {D} }$

Kugeltensor: $\mathbf {A} =\mathbf {A} ^{\mathrm {K} }$

Deviatoren und Kugeltensoren sind orthogonal zueinander:

$\mathbf {A} ^{\mathrm {D} }\cdot \mathbf {B} ^{\mathrm {K} }=0$

Falls $\mathbf {A} =\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}A_{ij}{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j}$ :

$\mathbf {A} ^{\mathrm {K} }={\frac {1}{3}}(A_{11}+A_{22}+A_{33})\left({\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}}\right)$

$\mathbf {A} ^{\mathrm {D} }=\left({\begin{array}{ccc}{\frac {2}{3}}A_{11}-{\frac {1}{3}}A_{22}-{\frac {1}{3}}A_{33}&A_{12}&A_{13}\\A_{21}&{\frac {2}{3}}A_{22}-{\frac {1}{3}}A_{11}-{\frac {1}{3}}A_{33}&A_{23}\\A_{31}&A_{32}&{\frac {2}{3}}A_{33}-{\frac {1}{3}}A_{11}-{\frac {1}{3}}A_{22}\end{array}}\right)$

$I_{2}(\mathbf {A} ^{\mathrm {D} })={\frac {1}{3}}(A_{11}A_{22}+A_{11}A_{33}+A_{22}A_{33}-A_{11}^{2}-A_{22}^{2}-A_{33}^{2})-A_{12}A_{21}-A_{13}A_{31}-A_{23}A_{32}$

Eigensystem

Eigenwertproblem:

$\mathbf {T} {\vec {g}}_{i}=\lambda _{i}{\vec {g}}_{i}$

mit Eigenvektoren ${\vec {g}}_{i}$ und Eigenwerten $\lambda _{i}$. Die Eigenvektoren werden auf die Länge eins normiert.

Eigenwerte

Charakteristische Gleichung

$\mathrm {det} (\mathbf {A} -\lambda _{i}\mathbf {I} )=-\lambda _{i}^{3}+I_{1}(\mathbf {A} )\lambda _{i}^{2}-I_{2}(\mathbf {A} )\lambda _{i}+I_{3}(\mathbf {A} )=0$

Die Koeffizienten sind die Hauptinvarianten:

$I_{1}(\mathbf {A} ):=\mathrm {Sp} (\mathbf {A} )=\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}$

$I_{2}(\mathbf {A} ):={\frac {1}{2}}[I_{1}{(\mathbf {A} )}^{2}-I_{1}(\mathbf {A} ^{2})]=\lambda _{1}\lambda _{2}+\lambda _{2}\lambda _{3}+\lambda _{3}\lambda _{1}$

$I_{3}(\mathbf {A} ):=\mathrm {det} (\mathbf {A} )={\frac {1}{3}}[I_{1}(\mathbf {A} ^{3})+3I_{1}(\mathbf {A} )I_{2}(\mathbf {A} )-I_{1}{(\mathbf {A} )}^{3}]=\lambda _{1}\lambda _{2}\lambda _{3}$

Falls $\mathbf {A} =\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}A_{ij}{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j}$ :

$I_{1}(\mathbf {A} )=A_{11}+A_{22}+A_{33}$

$I_{2}(\mathbf {A} )=A_{11}A_{22}+A_{11}A_{33}+A_{22}A_{33}-A_{12}A_{21}-A_{13}A_{31}-A_{23}A_{32}$

$I_{3}(\mathbf {A} )=A_{11}(A_{22}A_{33}-A_{23}A_{32})+A_{12}(A_{23}A_{31}-A_{21}A_{33})+A_{13}(A_{21}A_{32}-A_{22}A_{31})$

Satz von Cayley-Hamilton:

$-\mathbf {A} ^{3}+I_{1}(\mathbf {A} )\mathbf {A} ^{2}-I_{2}(\mathbf {A} )\mathbf {A} +I_{3}(\mathbf {A} )\mathbf {I} =0$

Symmetrische Tensoren

→ Hauptartikel: Symmetrische Matrix

Sei $\mathbf {A} =\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }$ symmetrisch.

Symmetrische Tensoren haben reelle Eigenwerte und paarweise zueinander senkrechte Eigenvektoren, die also eine Orthonormalbasis aufbauen. Sind $\lambda _{i}$ die Eigenwerte und ${\vec {a}}_{i}$ Eigenvektoren des symmetrischen Tensors $\mathbf {A}$ dann ist

$\mathbf {A} =\sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}{\vec {a}}_{i}\otimes {\vec {a}}_{i}$

Hauptachsentransformation:

${\begin{array}{lcl}\mathbf {A} &=&\displaystyle \sum _{i=1}^{3}\lambda _{i}{\vec {a}}_{i}\otimes {\vec {a}}_{i}=\left(\sum _{i=1}^{3}{\vec {a}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{i}\right)\left(\sum _{j=1}^{3}\lambda _{j}{\hat {e}}_{j}\otimes {\hat {e}}_{j}\right)\left(\sum _{k=1}^{3}{\hat {e}}_{k}\otimes {\vec {a}}_{k}\right)\\&=&\left({\begin{array}{ccc}{\vec {a}}_{1}&{\vec {a}}_{2}&{\vec {a}}_{3}\end{array}}\right)\left({\begin{array}{ccc}\lambda _{1}&0&0\\0&\lambda _{2}&0\\0&0&\lambda _{3}\end{array}}\right)({\begin{array}{ccc}{\vec {a}}_{1}&{\vec {a}}_{2}&{\vec {a}}_{3}\end{array}})^{\mathrm {T} }\end{array}}$

bzw.

${\left({\begin{array}{ccc}{\vec {a}}_{1}&{\vec {a}}_{2}&{\vec {a}}_{3}\end{array}}\right)}^{\mathrm {T} }\mathbf {A} \left({\begin{array}{ccc}{\vec {a}}_{1}&{\vec {a}}_{2}&{\vec {a}}_{3}\end{array}}\right)={\left({\begin{array}{ccc}{\vec {a}}_{1}&{\vec {a}}_{2}&{\vec {a}}_{3}\end{array}}\right)}^{\mathrm {T} }\left({\begin{array}{ccc}\lambda _{1}{\vec {a}}_{1}&\lambda _{2}{\vec {a}}_{2}&\lambda _{3}{\vec {a}}_{3}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{ccc}\lambda _{1}&0&0\\0&\lambda _{2}&0\\0&0&\lambda _{3}\end{array}}\right)$

Schiefsymmetrische Tensoren

Sei $\mathbf {A} =-\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }$ schiefsymmetrisch und ${\vec {u}}\in \mathbb {V} _{1}^{3}$.

Schiefsymmetrische Tensoren haben einen reellen und zwei konjugiert komplexe, rein imaginäre Eigenwerte. Der reelle Eigenwert von $\mathbf {A}$ ist null zu dem ein Eigenvektor gehört, der proportional zur reellen Vektorinvariante $\mathbf {A} _{\times }$ ist.

Defintion der Vektorinvariante: $\mathbf {A} _{\times }:\quad \mathbf {A} _{\times }\times {\vec {u}}=\mathbf {A} {\vec {u}}{\quad \forall \;}{\vec {u}}\in \mathbb {V} _{1}^{3}$

$\mathbf {A} =\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}A_{ij}{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j}\rightarrow \mathbf {A} _{\times }=-{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}A_{ij}{\hat {e}}_{i}\times {\hat {e}}_{j}$

$\mathbf {A} =\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}A_{ij}({\vec {a}}_{i}\otimes {\vec {b}}_{j}-{\vec {b}}_{j}\otimes {\vec {a}}_{i})\rightarrow \mathbf {A} _{\times }=-\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}A_{ij}{\vec {a}}_{i}\times {\vec {b}}_{j}$

Axialer Tensor ${\hat {\mathbf {u} }}$ eines Vektors ${\vec {u}}$ :

${\vec {u}}=\sum _{i=1}^{3}u_{i}{\vec {e}}_{i}=\left({\begin{array}{c}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\end{array}}\right)\rightarrow {\hat {\mathbf {u} }}:=\sum _{i=1}^{3}({\vec {u}}\times {\hat {e}}_{i})\otimes {\hat {e}}_{i}=\left({\begin{array}{ccc}0&-u_{3}&u_{2}\\u_{3}&0&-u_{1}\\-u_{2}&u_{1}&0\end{array}}\right)\in \mathrm {Lin} (\mathbb {V} _{1}^{3},\mathbb {V} _{1}^{3})$

Dann ist: ${\hat {\mathbf {u} }}_{\times }={\vec {u}}$.

Potenzen von ${\hat {\mathbf {u} }}$ : ${\hat {\mathbf {u} }}{\hat {\mathbf {u} }}={\vec {u}}\otimes {\vec {u}}-\mathbf {I} \,,\quad {\hat {\mathbf {u} }}{\hat {\mathbf {u} }}{\hat {\mathbf {u} }}=-{\hat {\mathbf {u} }}$

Invarianten

Eigenwerte: $\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}$

Hauptinvarianten:

$I_{1}(\mathbf {A} ):=\mathrm {Sp} (\mathbf {A} )=\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3}$

$I_{2}(\mathbf {A} ):={\frac {1}{2}}[I_{1}{(\mathbf {A} )}^{2}-I_{1}(\mathbf {A} ^{2})]=\lambda _{1}\lambda _{2}+\lambda _{2}\lambda _{3}+\lambda _{3}\lambda _{1}$

$I_{3}(\mathbf {A} ):=\mathrm {det} (\mathbf {A} )={\frac {1}{3}}[I_{1}(\mathbf {A} ^{3})+3I_{1}(\mathbf {A} )I_{2}(\mathbf {A} )-I_{1}{(\mathbf {A} )}^{3}]=\lambda _{1}\lambda _{2}\lambda _{3}$

Betrag: $(\mathbf {A} ):={\sqrt {\mathrm {Sp} (\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }\mathbf {A} )}}={\sqrt {\lambda _{1}^{2}+\lambda _{2}^{2}+\lambda _{3}^{2}}}$

Falls $\mathbf {A} =\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}A_{ij}{\hat {e}}_{i}\otimes {\hat {e}}_{j}$ :

$I_{1}(\mathbf {A} )=A_{11}+A_{22}+A_{33}$

$I_{2}(\mathbf {A} )=A_{11}A_{22}+A_{11}A_{33}+A_{22}A_{33}-A_{12}A_{21}-A_{13}A_{31}-A_{23}A_{32}$

$I_{3}(\mathbf {A} )=A_{11}(A_{22}A_{33}-A_{23}A_{32})+A_{12}(A_{23}A_{31}-A_{21}A_{33})+A_{13}(A_{21}A_{32}-A_{22}A_{31})$

${\parallel }\mathbf {A} {\parallel }={\sqrt {A_{11}^{2}+A_{22}^{2}+A_{33}^{3}+A_{12}^{2}+A_{21}^{2}+A_{13}^{2}+A_{31}^{2}+A_{23}^{2}+A_{32}^{2}}}$

Falls $\mathbf {A} =\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}A_{ij}{\vec {a}}_{i}\otimes {\vec {b}}_{j}$ :

$\mathrm {Sp} (\mathbf {A} )=\sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{3}A_{ij}{\vec {a}}_{i}\cdot {\vec {b}}_{j}$

$\mathrm {det} (\mathbf {A} )=|{\begin{array}{ccc}{\vec {a}}_{1}&{\vec {a}}_{2}&{\vec {a}}_{3}\end{array}}|\left({\begin{array}{ccc}A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{21}&A_{22}&A_{23}\\A_{31}&A_{32}&A_{33}\end{array}}\right)|{\begin{array}{ccc}{\vec {b}}_{1}&{\vec {b}}_{2}&{\vec {b}}_{3}\end{array}}|$

Invariant sind auch die Hauptinvarianten der n-ten Potenzen $\mathbf {A} ^{n}$ des Tensors sowie der symmetrischen, schiefsymmetrischen, deviatorischen und Kugelanteile.

Invariant sind alle Funktionen der oben genannten Invarianten.

Von den genannten Invarianten sind nur drei voneinander unabhängig und aus denen können dann alle anderen abgeleitet werden .