Benutzer:Alva2004/Tensoralgebra

${\sqrt[{n}]{x}}$

Dieser Artikel ist eine Formelsammlung zum Thema Tensoralgebra. Es werden mathematische Symbole verwendet, die im Artikel Liste mathematischer Symbole erläutert werden.

Alle hier verwendeten Vektoren sind Elemente des dreidimensionalen euklidischen Vektorraums $\mathbb {V} ^{3}$.

In Formeln, wo ein Index $i,j,k,\ldots$ nur einfach vorkommt, gilt die Formel für alle Werte von $i,j,k,\ldots \in \lbrace {1,2}\mathrm {,3} \rbrace$.

Die hier behandelten Tensoren sind Tensoren zweiter Stufe, die Vektoren aus einem euklidischen Vektorraum $\mathbb {V} _{1}^{3}$ linear auf Vektoren eines anderen euklidischen Vektorraumes $\mathbb {V} _{2}^{3}$ abbilden. Diese Tensoren sind Elemente der Menge $\mathrm {Lin} (\mathbb {V} _{1}^{3},\mathbb {V} _{2}^{3})$. In der Kontinuumsmechanik sind diese Vektorräume meist identisch mit dem euklidischen Vektorraum der geometrischen Vektoren $\mathbb {V} ^{3}$.

Allgemeines

Notation

• Buchstaben am Anfang des Alphabets $(a,b,c,\ldots )$ stehen für beliebige Zahlen.
• Buchstaben in der Mitte des Alphabets $(i,j,m,n,\ldots )$ stehen für natürliche Zahlen.
• Es gilt die Operatorrangfolge (Punkt- vor Strichrechnung): Rechenoperationen der zweiten Stufe (Multiplikation und Division) binden stärker als die der ersten Stufe (Addition und Subtraktion) und Rechenoperationen der dritten Stufe (Wurzelziehen und Potenzieren) stärker als die der zweiten Stufe.
• Es gilt die Klammerregel: Stehen Operationen in Klammern, so werden diese zuerst ausgeführt. Stehen Operationen der gleichen Stufe ohne Klammern hintereinander, so werden die Operationen von links nach rechts ausgeführt.

Kronecker Symbol

$\delta _{ij}=\delta ^{ij}=\delta _{i}^{j}=\delta _{j}^{i}=\left\{{\begin{array}{ll}1&\mathrm {falls} i=j\\0&\mathrm {sonst} \end{array}}\right.$

Matrizen aus Spaltenvektoren

Drei Vektoren ${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}\in \mathbb {V} ^{3}$ können spaltenweise in einer $3\times 3$ Matrix $M$ arrangiert werden:

$M=\left({\begin{array}{ccc}{\vec {a}}&{\vec {b}}&{\vec {c}}\end{array}}\right)$.

Die Determinante der Matrix

$|M|=|{\begin{array}{ccc}{\vec {a}}&{\vec {b}}&{\vec {c}}\end{array}}|$

ist

• ungleich null, wenn die Spaltenvektoren linear unabhängig sind und

• größer null, wenn die Spaltenvektoren ein Rechstsystem bilden.

Also gewährleistet $|{\begin{array}{ccc}{\vec {a}}&{\vec {b}}&{\vec {c}}\end{array}}|>0$, dass die Vektoren ${\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}$ ein rechtshändige Basis bilden.

Die Spaltenvektoren bilden eine Orthonormalbasis, wenn

$M^{\mathrm {T} }M=\left({\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}}\right)$.

Alle hier verwendeten Basissysteme sollen ein Rechtssystem bilden.

Basissysteme

Eine Orthonormalbasis wird hier mit den Vektoren ${\hat {e}}_{1},{\hat {e}}_{2},{\hat {e}}_{3}\in \mathbb {V} ^{3}$ bezeichnet.

Dreiergruppen von Vektoren, wie z. B. ${\vec {h}}_{1},{\vec {h}}_{2},{\vec {h}}_{3}$ oder ${\vec {g}}^{1},{\vec {g}}^{2},{\vec {g}}^{3}$ bezeichnen hier eine allgemeine Basis mit

$|{\begin{array}{ccc}{\vec {h}}_{1}&{\vec {h}}_{2}&{\vec {h}}_{3}\end{array}}|>0$ und $|{\begin{array}{ccc}{\vec {g}}^{1}&{\vec {g}}^{2}&{\vec {g}}^{3}\end{array}}|>0$.

Basis und Duale Basis

Basisvektoren ${\vec {g}}_{1},{\vec {g}}_{2},{\vec {g}}_{3}$

Duale Basisvektoren ${\vec {g}}^{1},{\vec {g}}^{2},{\vec {g}}^{3}\in \mathbb {V} ^{3}$

Beziehungen zwischen den Basisvektoren

${\vec {g}}_{i}\cdot {\vec {g}}^{j}=\delta _{i}^{j}$

${\vec {g}}^{1}={\frac {{\vec {g}}_{2}\times {\vec {g}}_{3}}{({\vec {g}}_{1},{\vec {g}}_{2},\quad {\vec {g}}_{3})}},g^{2}={\frac {{\vec {g}}_{3}\times {\vec {g}}_{1}}{({\vec {g}}_{1},{\vec {g}}_{2},\quad {\vec {g}}_{3})}},g^{3}={\frac {{\vec {g}}_{1}\times {\vec {g}}_{2}}{({\vec {g}}_{1},{\vec {g}}_{2},\quad {\vec {g}}_{3})}}$

${\vec {g}}_{1}={\frac {{\vec {g}}^{2}\times {\vec {g}}^{3}}{({\vec {g}}^{1},{\vec {g}}^{2},\quad {\vec {g}}^{3})}},g_{2}={\frac {{\vec {g}}^{3}\times {\vec {g}}^{1}}{({\vec {g}}^{1},{\vec {g}}^{2},\quad {\vec {g}}^{3})}},g_{3}={\frac {{\vec {g}}^{1}\times {\vec {g}}^{2}}{({\vec {g}}^{1},{\vec {g}}^{2},\quad {\vec {g}}^{3})}}$

mit dem Spatprodukt

$({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}):={\vec {a}}\cdot ({\vec {b}}\times {\vec {c}})={\vec {c}}\cdot ({\vec {a}}\times {\vec {b}})={\vec {b}}\cdot ({\vec {c}}\times {\vec {a}})$.

In einer Orthonormalbasis ${\hat {e}}_{1},{\hat {e}}_{2},{\hat {e}}_{3}$ sind die Basisvektoren zu sich selbst dual: ${\hat {e}}_{i}={\hat {e}}^{i}$

Skalarprodukte der Basisvektoren:

$g_{ij}={\vec {g}}_{i}\cdot {\vec {g}}_{j},\quad g^{ij}={\vec {g}}^{i}\cdot {\vec {g}}^{j},\quad g_{i}^{j}={\vec {g}}_{i}\cdot {\vec {g}}^{j}=\delta _{i}^{j},\quad g_{j}^{i}={\vec {g}}^{i}\cdot {\vec {g}}_{j}=\delta _{j}^{i}$

$\sum _{k=1}^{3}g_{ik}g^{kj}=\sum _{k=1}^{3}({\vec {g}}_{i}\cdot {\vec {g}}_{k})({\vec {g}}^{j}\cdot {\vec {g}}^{k})=\sum _{k=1}^{3}{\vec {g}}_{i}\cdot ({\vec {g}}^{j}\cdot {\vec {g}}^{k}){\vec {g}}_{k}={\vec {g}}_{i}\cdot {\vec {g}}^{j}=\delta _{i}^{j}$

Berechnung von Vektorkomponenten

$v_{i}={\vec {v}}\cdot {\hat {e}}_{i}\rightarrow {\vec {v}}=\sum _{i=1}^{3}v_{i}{\hat {e}}_{i}$

$v_{i}={\vec {v}}\cdot {\vec {g}}_{i}\rightarrow {\vec {v}}=\sum _{i=1}^{3}v_{i}{\vec {g}}^{i}$

$v_{i}={\vec {v}}\cdot {\vec {g}}^{i}\rightarrow {\vec {v}}=\sum _{i=1}^{3}v_{i}{\vec {g}}_{i}$

mit $v_{i}\in \mathbb {R}$.

Wechsel der Basis

Wechsel von

Basis ${\vec {g}}^{1},{\vec {g}}^{2},{\vec {g}}^{3}$ mit dualer Basis ${\vec {g}}_{1},{\vec {g}}_{2},{\vec {g}}_{3}$

nach

Basis ${\vec {h}}^{1},{\vec {h}}^{2},{\vec {h}}^{3}$ mit dualer Basis ${\vec {h}}_{1},{\vec {h}}_{2},{\vec {h}}_{3}$ :

${\vec {v}}=\sum _{i=1}^{3}v_{i}\,{\vec {g}}^{i}=\sum _{i=1}^{3}v_{i}^{\mathrm {*} }\,{\vec {h}}^{i}\rightarrow v_{i}^{\mathrm {*} }=\sum _{j=1}^{3}({\vec {h}}_{i}\cdot {\vec {g}}^{j})v_{j}$

Koordinatentransformation:

$\left({\begin{array}{c}v_{1}^{\mathrm {*} }\\v_{2}^{\mathrm {*} }\\v_{3}^{\mathrm {*} }\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{ccc}{\vec {h}}_{1}\cdot {\vec {g}}^{1}&{\vec {h}}_{1}\cdot {\vec {g}}^{2}&{\vec {h}}_{1}\cdot {\vec {g}}^{3}\\{\vec {h}}_{2}\cdot {\vec {g}}^{1}&{\vec {h}}_{2}\cdot {\vec {g}}^{2}&{\vec {h}}_{2}\cdot {\vec {g}}^{3}\\{\vec {h}}_{3}\cdot {\vec {g}}^{1}&{\vec {h}}_{3}\cdot {\vec {g}}^{2}&{\vec {h}}_{3}\cdot {\vec {g}}^{3}\end{array}}\right)\left({\begin{array}{c}v_{1}\\v_{2}\\v_{3}\end{array}}\right)$

Dyadisches Produkt

Gegeben:

• Euklidische Vektorräume $\mathbb {V} _{1}^{3},\mathbb {V} _{2}^{3}$ und $\mathbb {V} _{3}^{3}$
• Vektoren ${\vec {a}},{\vec {b}}\in \mathbb {V} _{1}^{3}$,   ${\vec {g}},{\vec {h}}\in \mathbb {V} _{2}^{3}$    sowie    ${\vec {u}}\in \mathbb {V} _{3}^{3}$.

Definition der Dyade

Dyade Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{a}\otimes \vec{g}\in \mathrm{Lin}(\mathbb{V}_{1}^{3},\mathbb{V}_{2}^{3}) }

Eigenschaften

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{a}\otimes (\vec{g}+\vec{h}) =\vec{a}\otimes \vec{g}+\vec{a}\otimes \vec{h} }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\vec{a}+\vec{b})\otimes \vec{g} =\vec{a}\otimes \vec{g}+\vec{b}\otimes \vec{g} }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x(\vec{a}\otimes \vec{g}) =(x\vec{a})\otimes \vec{g} =\vec{a}\otimes (x\vec{g}) =x\vec{a}\otimes \vec{g}{\quad\forall\;}x\in \mathbb{R} }

Vektortransformation

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\vec{a}\otimes \vec{g})\vec{h} =(\vec{g}\cdot \vec{h})\vec{a} }

Tensorprodukt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\vec{a}\otimes \vec{g})(\vec{h}\otimes \vec{u}) =(\vec{g}\cdot \vec{h})\vec{a}\otimes \vec{u} }

Transposition und Spur

Transposition: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {(\vec{a}\otimes \vec{g})}^{\mathrm{T}} =\vec{g}\otimes \vec{a} }

Spur: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{Sp}(\vec{a}\otimes \vec{b}) =\mathrm{Sp}\left((\vec{a}\otimes \vec{b})^{\mathrm{T}}\right) =\vec{a}\cdot \vec{b} }

Tensoren als Elemente eines Vektorraumes

Durch die Eigenschaften des dyadischen Produktes wird Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{Lin}(\mathbb{V}_{1}^{3},\mathbb{V}_{2}^{3}) } zu einem Vektorraum und entsprechend kann man jeden Tensor komponentenweise bezüglich einer Basis darstellen.

Voraussetzungen:

• Die Vektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lbrace \vec{a}_{1},\vec{a}_{2},\vec{a}_{3}\rbrace } sind eine Basis von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{V}_{1}^{3} } und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lbrace \vec{a}^{1},\vec{a}^{2},\vec{a}^{3}\rbrace } die duale Basis.

• Die Vektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lbrace \vec{b}_{1},\vec{b}_{2},\vec{b}_{3}\rbrace } sind eine weitere beliebige Basis von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{V}_{1}^{3} } .

• Die Vektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lbrace \hat{e}_{1},\hat{e}_{2},\hat{e}_{3}\rbrace } sind die Orthonormalbasis von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{V}_{1}^{3} } .

• Die Vektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lbrace \vec{g}_{1},\vec{g}_{2},\vec{g}_{3}\rbrace } sind eine Basis von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{V}_{2}^{3} } und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lbrace \vec{g}^{1},\vec{g}^{2},\vec{g}^{3}\rbrace } die duale Basis.

• Tensoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{A},\mathbf{B},\mathbf{Q} \in \mathrm{Lin}(\mathbb{V}_{1}^{3},\mathbb{V}_{1}^{3}) } .

• Tensoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{S},\mathbf{T}\in \mathrm{Lin}(\mathbb{V}_{2}^{3},\mathbb{V}_{1}^{3}) } .

Tensorkomponenten

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{T} =\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3} T^{ij}\vec{a}_{i}\otimes \vec{g}_{j} }

mit Komponenten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T^{ij}\in \mathbb{R} } .

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{A} =\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3} A_{ij}\hat{e}_{i}\otimes \hat{e}_{j} =\left(\begin{array}{ccc} A_{11}& A_{12}& A_{13}\\ A_{21}& A_{22}& A_{23}\\ A_{31}& A_{32}& A_{33} \end{array}\right) \rightarrow A_{ij} = \hat{e}_{i}\cdot \mathbf{A}\hat{e}_{j} }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{T} =\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3} T^{ij}\vec{a}_{i}\otimes \vec{g}_{j} \rightarrow T^{ij} = \vec{a}^{i}\cdot \mathbf{T}\vec{g}^{j} }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{T} =\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3} T_{ij}\vec{a}^{i}\otimes \vec{g}^{j} \rightarrow T_{ij} = \vec{a}_{i}\cdot \mathbf{T}\vec{g}_{j} }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{T} =\sum_{i =1}^{3}\sum_{j=1}^{3} T_j^{i}\vec{a}_{i}\otimes \vec{g}^{j} \rightarrow T_j^{i} = \vec{a}^{i}\cdot \mathbf{T}\vec{g}_{j} }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{T} =\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3} T_i^{j}\vec{a}^{i}\otimes \vec{g}_{j} \rightarrow T_i^{j} = \vec{a}_{i}\cdot \mathbf{T}\vec{g}^{j} }

Operatoren

Spur

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{Sp}\left(\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3} A^{ij}\hat{e}_{i}\otimes \hat{e}_{j}\right) =A^{11}+A^{22}+A^{33} }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{Sp}\left(\sum_{i =1}^{3}\sum_{j =1}^{3}A^{ij}\vec{a}_{i}\otimes \vec{b}_{j}\right) =\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3} A^{ij}\vec{a}_{i}\cdot \vec{b}_{j} }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{Sp}\left(\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3} A_j^{i}\vec{a}_{i}\otimes \vec{a}^{j}\right) =\sum_{i=1}^{3}A_i^{i} }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{Sp}\left(\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3} A_i^{j}\vec{a}^{i}\otimes \vec{a}_{j}\right) =\sum_{i=1}^{3}A_i^{i} }

Determinante

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{lcl} \mathrm{det}\left(\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3} A_{ij}\hat{e}_{i}\otimes \hat{e}_{j}\right) &=& \left| \begin{array}{ccc} A_{11}& A_{12}& A_{13}\\ A_{21}& A_{22}& A_{23}\\ A_{31}& A_{32}& A_{33} \end{array}\right| \\ &=& A_{11}(A_{22}A_{33}-A_{23}A_{32})+A_{12}(A_{23}A_{31}-A_{21}A_{33}) +A_{13}(A_{21}A_{32}-A_{22}A_{31}) \\ \mathrm{det}\left( \sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3} T_{ij}\vec{a}_{i}\otimes \vec{b}_{j}\right) &=& | \begin{array}{ccc} \vec{a}_{1}& \vec{a}_{2}& \vec{a}_{3} \end{array}| \left| \begin{array}{ccc} T_{11}& T_{12}& T_{13}\\ T_{21}& T_{22}& T_{23}\\ T_{31}& T_{32}& T_{33} \end{array}\right| |\begin{array}{ccc} \vec{b}_{1}& \vec{b}_{2}& \vec{b}_{3}\end{array}| \end{array} }

Skalarprodukt

Skalarprodukt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{T}\cdot \mathbf{S} =\mathrm{Sp}(\mathbf{T}^{\mathrm{T}}\mathbf{S}) =\mathrm{Sp}(\mathbf{S}^{\mathrm{T}}\mathbf{T}) =\mathbf{S}\cdot \mathbf{T} }

Sind Urbild- und Bildräume der Tensoren identisch gilt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{A}\cdot \mathbf{B} =\mathbf{A}^{\mathrm{T}}\cdot \mathbf{B}^{\mathrm{T}} =\mathrm{Sp}(\mathbf{A}^{\mathrm{T}}\mathbf{B}) =\mathrm{Sp}(\mathbf{A B}^{\mathrm{T}}) =\mathrm{Sp}(\mathbf{B}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}) =\mathrm{Sp}(\mathbf{B A}^{\mathrm{T}}) }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{A}^{\mathrm{T}}\cdot \mathbf{B} =\mathbf{A}\cdot \mathbf{B}^{\mathrm{T}} =\mathrm{Sp}(\mathbf{A B}) =\mathrm{Sp}(\mathbf{B A}) =\mathrm{Sp}(\mathbf{A}^{\mathrm{T}}\mathbf{B}^{\mathrm{T}}) =\mathrm{Sp}(\mathbf{B}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}^{\mathrm{T}}) }

Rechnen mit dem dyadischen Produkt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{T}(\vec{g}\otimes \vec{a}) =(\mathbf{T}\vec{g})\otimes \vec{a} }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{a}\otimes (\mathbf{T}\vec{g}) =(\vec{a}\otimes \vec{g})\mathbf{T}^{\mathrm{T}} }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{a}\cdot \mathbf{T}\vec{g} =\mathbf{T}^{\mathrm{T}}\vec{a}\cdot \vec{g} =(\vec{a}\otimes \vec{g})\cdot \mathbf{T} }

Sind Urbild- und Bildräume der Tensoren identisch gilt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{Sp}(\mathbf{A B}) =\mathrm{Sp}(\mathbf{B A}) }

Sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{V}_{3}^{3} } ein euklidischer Vektorraum, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{U}\in \mathrm{Lin}(\mathbb{V}_{2}^{3},\mathbb{V}_{3}^{3}) } und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{V}\in \mathrm{Lin}(\mathbb{V}_{3}^{3},\mathbb{V}_{1}^{3}) } . Dann gilt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{Sp}(\mathbf{T U V}) =\mathrm{Sp}(\mathbf{U V T}) =\mathrm{Sp}(\mathbf{V T U}) } .

Wechsel der Basis

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{A} =\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3} A_{ij}\vec{a}^{i}\otimes \vec{a}^{j} =\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3} A_{ij}^{\mathrm*}\vec{b}^{i}\otimes \vec{b}^{j} }

Die Komponenten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A_{ij}^{\mathrm*} } ergeben sich durch Vor- und Nachmultiplikation mit der Transformationsmatrix

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{B} =\sum_{i=1}^{3} \vec{b}^{i}\otimes \vec{b}_{i} } ,

die ein Einheitstensor ist:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{lcl} \mathbf{B A B}^{\mathrm{T}} &=& \displaystyle \left(\sum_{i=1}^{3} \vec{b}^{i}\otimes \vec{b}_{i} \right) \left(\sum_{k=1}^{3}\sum_{l=1}^{3} A_{kl}\vec{a}^{k}\otimes \vec{a}^{l} \right) \left(\sum_{j=1}^{3}\vec{b}_{j}\otimes \vec{b}^{j} \right) \\ &=& \displaystyle \sum_{i=1}^{3}\sum_{k=1}^{3}\sum_{l=1}^{3}\sum_{j=1}^{3} A_{{kl}}(\vec{b}_{i}\cdot \vec{a}^{k})(\vec{a}^{l}\cdot \vec{b}_{j}) \vec{b}^{i}\otimes \vec{b}^{j} =\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3} A_{ij}^{\mathrm*}\vec{b}^{i}\otimes \vec{b}^{j} \\ \rightarrow A_{ij}^{*} &=& \displaystyle \sum_{k=1}^{3}\sum_{l=1}^{3} A_{{kl}}(\vec{b}_{i}\cdot \vec{a}^{k})(\vec{b}_{j}\cdot \vec{a}^{l}) \end{array} }

Identität

Zwei Tensoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{S}} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{T}} sind identisch wenn gilt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{a}\in \mathbb{V}_{1}^{3},\vec{g}\in \mathbb{V}_{2}^{3} \quad\rightarrow\quad \vec{a}\cdot \mathbf{S}\vec{g} = \vec{a}\cdot \mathbf{T}\vec{g} }

Spezielle Tensoren

Einheitstensor

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{I} =\sum_{i=1}^{3}\hat{e}_{i}\otimes \hat{e}_{i} =\left(\begin{array}{ccc} 1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right) }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{I} =\sum_{i=1}^{3}\vec{a}_{i}\otimes \vec{a}^{i} =\sum_{i=1}^{3}\vec{a}^{i}\otimes \vec{a}_{i} =\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3}a^{ij}\vec{a}_{i}\otimes \vec{a}_{i} =\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3}a_{ij}\vec{a}^{i}\otimes \vec{a}^{i} }

mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a_{ij} =\vec{a}_{i}\cdot \vec{a}_{j},a^{ij} =\vec{a}^{i}\cdot \vec{a}^{j} }

Symmetrie: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{I} = {\mathbf{I}}^{\mathrm{T}} }

Tensorprodukt: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{A I} =\mathbf{I A} =\mathbf{A} }

Skalarprodukt: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{A}\cdot \mathbf{I} =\mathrm{Sp}(\mathbf{A}) }

Spur: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{Sp}(\textbf{I}) =3 }

Determinante: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{det}(\textbf{I}) =1 }

Symmetrische und Schiefsymmetrische Tensoren

Aufteilung:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{A} =\mathbf{A}^{\mathrm{S}}+\mathbf{A}^{\mathrm{A}} }     mit    Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{A}^{\mathrm{S}}: =\frac{1}{2}(\mathbf{A}+\mathbf{A}^{\mathrm{T}}) }     und    Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{A}^{\mathrm{A}}: =\frac{1}{2}(\mathbf{A}-\mathbf{A}^{\mathrm{T}}) }

Symmetrischer Tensor:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{A} =\mathbf{A}^{\mathrm{T}} =\mathbf{A}^{\mathrm{S}} }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{A}^{\mathrm{S}} =\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3} A_{ij}\hat{e}_{i}\otimes \hat{e}_{j} =\left(\begin{array}{ccc}A_{11}& A_{12}& A_{13}\\ A_{12}& A_{22}& A_{23}\\ A_{13}& A_{23}& A_{33}\end{array}\right) }

Schiefsymmetrischer Tensor:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{A} =-\mathbf{A}^{\mathrm{T}} =\mathbf{A}^{\mathrm{A}} }   und deshalb   Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{Sp}(\mathbf{A}^{\mathrm{A}}) =0 }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{A}^{\mathrm{A}} =\sum_{i=1}^{3}\sum_{j=1}^{3} A_{ij}\hat{e}_{i}\otimes \hat{e}_{j} =\left(\begin{array}{ccc} 0& A_{12}& A_{13}\\ -A_{12}& 0& A_{23}\\ -A_{13}& -A_{23}& 0 \end{array}\right) }

Symmetrische und schiefsymmetrische Tensoren sind orthogonal zueinander:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{A}^{\mathrm{S}}\cdot \mathbf{B}^{\mathrm{A}} =0 }

Orthogonale Tensoren

→ Hauptartikel: Orthogonale Matrix

Definition: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{Q}:\quad\mathbf{Q}^{-1} =\mathbf{Q}^{\mathrm{T}} }     oder    Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{Q}\mathbf{Q}^{\mathrm{T}} =\mathbf{I} }

Determinante: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{det}(\mathbf{Q}) =\pm 1 }

Reine Drehung: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{det}(\mathbf{Q}) =+1 }

Drehspiegelung: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{det}(\mathbf{Q}) =-1 }

Drehwinkel: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \cos (\alpha ) =\frac{1}{2}(\mathrm{Sp}(\mathbf{Q})-\mathrm{det}(\mathbf{Q})) }

Drehachse ist die Vektorinvariante Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{Q}_{\times }^{A} } des schiefsymmetrischen Anteils von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{Q} } .

Eigenwerte:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda_{1} =\mathrm{det}(\mathbf{Q}),\lambda_{2} =e^{\mathrm{i}\alpha},\lambda_{3} =e^{-\mathrm{i}\alpha} }

Gegeben der Einheitsvektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hat{e} } , sein axialer Tensor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hat{\mathbf{e}} } und Drehwinkel Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha } , dann ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{Q} =\mathbf{I}+\sin (\alpha )\hat{\mathbf{e}} +(1-\cos (\alpha ))\hat{\mathbf{e}}\hat{\mathbf{e}} }

orthogonal und dreht um die Achse Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hat{e} } mit Winkel Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha } .

(Entsprechende Drehspiegelung: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{Q} =-\mathbf{I}+\sin (\alpha )\hat{\mathbf{e}} -(1-\cos (\alpha ))\hat{\mathbf{e}}\hat{\mathbf{e}} } )

Deviator und Kugeltensor

Aufteilung: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{A} =\mathbf{A}^{\mathrm{D}}+\mathbf{A}^{\mathrm{K}} }

Deviator Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{A}^{\mathrm{D}}: =\mathbf{A}-\frac{1}{3}\mathrm{Sp}(\mathbf{A})\mathbf{I} }    mit    Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{Sp}(\mathbf{A}^{\mathrm{D}}) =0 }

Kugelanteil Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{A}^{\mathrm{K}}: =\frac{1}{3}\mathrm{Sp}(\mathbf{A})I }     mit    Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{Sp}(\mathbf{A}^{\mathrm{K}}) =\mathrm{Sp}(\mathbf{A}) }

Deviatorischer Tensor: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{A} =\mathbf{A}^{\mathrm{D}} }

Kugeltensor: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{A} =\mathbf{A}^{\mathrm{K}} }

Deviatoren und Kugeltensoren sind orthogonal zueinander:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{A}^{\mathrm{D}}\cdot \mathbf{B}^{\mathrm{K}} =0 }

Falls Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{A} =\sum_{i =1}^{3}\sum_{j =1}^{3}A_{ij}\hat{e}_{i}\otimes \hat{e}_{j} }  :

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{A}^{\mathrm{K}} =\frac{1}{3}(A_{11}+A_{22}+A_{33})\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right) }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{A}^{\mathrm{D}} =\left(\begin{array}{ccc}\frac{2}{3}A_{11}-\frac{1}{3}A_{22}-\frac{1}{3}A_{33}& A_{12}& A_{13}\\ A_{21}& \frac{2}{3}A_{22}-\frac{1}{3}A_{11}-\frac{1}{3}A_{33}& A_{23}\\ A_{31}& A_{32}& \frac{2}{3}A_{33}-\frac{1}{3}A_{11}-\frac{1}{3}A_{22}\end{array}\right) }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I_{2}(\mathbf{A}^{\mathrm{D}}) =\frac{1}{3}(A_{11}A_{22}+A_{11}A_{33}+A_{22}A_{33}-A_{11}^{2}-A_{22}^{2}-A_{33}^{2})-A_{12}A_{21}-A_{13}A_{31}-A_{23}A_{32} }

Eigensystem

Eigenwertproblem:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{T}\vec{g}_{i} =\lambda _{i}\vec{g}_{i} }

mit Eigenvektoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{g}_{i} } und Eigenwerten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda _{i} } . Die Eigenvektoren werden auf die Länge eins normiert.

Eigenwerte

Charakteristische Gleichung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{det}(\mathbf{A}-\lambda _{i} \mathbf{I} ) =-\lambda _i^{3} + I_{1}(\mathbf{A})\lambda _i^{2} - I_{2}(\mathbf{A})\lambda _{i} + I_{3}(\mathbf{A}) =0 }

Die Koeffizienten sind die Hauptinvarianten:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I_{1}(\mathbf{A}): =\mathrm{Sp}(\mathbf{A}) =\lambda _{1}+\lambda _{2}+\lambda _{3} }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I_{2}(\mathbf{A}): =\frac{1}{2}[ I_{1}{(\mathbf{A})}^{2}- I_{1}(\mathbf{A}^{2})] =\lambda _{1}\lambda _{2}+\lambda _{2}\lambda _{3}+\lambda _{3}\lambda _{1} }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I_{3}(\mathbf{A}): =\mathrm{det}(\mathbf{A}) =\frac{1}{3}[ I_{1}(\mathbf{A}^{3})+3 I_{1}(\mathbf{A}) I_{2}(\mathbf{A}) - I_{1}{(\mathbf{A})}^{3}] =\lambda _{1}\lambda _{2}\lambda _{3} }

Falls Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{A} =\sum_{i =1}^{3}\sum_{j =1}^{3}A_{ij}\hat{e}_{i}\otimes \hat{e}_{j} }  :

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I_{1}(\mathbf{A}) =A_{11}+A_{22}+A_{33} }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I_{2}(\mathbf{A}) =A_{11}A_{22}+A_{11}A_{33}+A_{22}A_{33}-A_{12}A_{21}-A_{13}A_{31}-A_{23}A_{32} }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I_{3}(\mathbf{A}) =A_{11}(A_{22}A_{33}-A_{23}A_{32})+A_{12}(A_{23}A_{31}-A_{21}A_{33})+A_{13}(A_{21}A_{32}-A_{22}A_{31}) }

Satz von Cayley-Hamilton:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -\mathbf{A}^{3}+ I_{1}(\mathbf{A})\mathbf{A}^{2}- I_{2}(\mathbf{A})\mathbf{A}+ I_{3}(\mathbf{A})\mathbf{I} =0 }

Symmetrische Tensoren

→ Hauptartikel: Symmetrische Matrix

Sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{A} =\mathbf{A}^{\mathrm{T}} } symmetrisch.

Symmetrische Tensoren haben reelle Eigenwerte und paarweise zueinander senkrechte Eigenvektoren, die also eine Orthonormalbasis aufbauen. Sind Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda _{i} } die Eigenwerte und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{a}_{i} } Eigenvektoren des symmetrischen Tensors Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{A} } dann ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{A} = \sum_{i=1}^{3}\lambda_{i}\vec{a}_{i}\otimes \vec{a}_{i} }

Hauptachsentransformation:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{array}{lcl} \mathbf{A} &=& \displaystyle \sum_{i=1}^{3}\lambda_{i}\vec{a}_{i}\otimes \vec{a}_{i} =\left(\sum_{i=1}^{3}\vec{a}_{i}\otimes \hat{e}_{i}\right) \left(\sum_{j=1}^{3}\lambda_{j} \hat{e}_{j}\otimes \hat{e}_{j}\right) \left(\sum_{k=1}^{3}\hat{e}_{k}\otimes \vec{a}_{k}\right) \\ &=& \left(\begin{array}{ccc}\vec{a}_{1}& \vec{a}_{2}& \vec{a}_{3}\end{array}\right) \left(\begin{array}{ccc} \lambda_{1}& 0& 0\\ 0& \lambda_{2}& 0\\ 0& 0& \lambda_{3} \end{array}\right) (\begin{array}{ccc} \vec{a}_{1}& \vec{a}_{2}& \vec{a}_{3} \end{array})^{\mathrm{T}}\end{array} }

bzw.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {\left(\begin{array}{ccc}\vec{a}_{1}& \vec{a}_{2}& \vec{a}_{3}\end{array}\right)}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\left(\begin{array}{ccc}\vec{a}_{1}& \vec{a}_{2}& \vec{a}_{3}\end{array}\right) ={\left(\begin{array}{ccc}\vec{a}_{1}& \vec{a}_{2}& \vec{a}_{3}\end{array}\right)}^{\mathrm{T}}\left(\begin{array}{ccc}\lambda_{1}\vec{a}_{1}& \lambda_{2}\vec{a}_{2}& \lambda_{3}\vec{a}_{3}\end{array}\right) =\left(\begin{array}{ccc}\lambda_{1}& 0& 0\\ 0& \lambda_{2}& 0\\ 0& 0& \lambda_{3}\end{array}\right) }

Schiefsymmetrische Tensoren

Sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{A} =-\mathbf{A}^{\mathrm{T}} } schiefsymmetrisch und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{u}\in \mathbb{V}_{1}^{3} } .

Schiefsymmetrische Tensoren haben einen reellen und zwei konjugiert komplexe, rein imaginäre Eigenwerte. Der reelle Eigenwert von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{A} } ist null zu dem ein Eigenvektor gehört, der proportional zur reellen Vektorinvariante Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{A}_{\times } } ist.

Defintion der Vektorinvariante: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{A}_{\times }:\quad \mathbf{A}_{\times }\times \vec{u} =\mathbf{A}\vec{u}{\quad\forall\;}\vec{u}\in \mathbb{V}_{1}^{3} }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{A} =\sum_{i =1}^{3}\sum_{j =1}^{3}A_{ij}\hat{e}_{i}\otimes \hat{e}_{j}\rightarrow \mathbf{A}_{\times } =-\frac{1}{2}\sum_{i =1}^{3}\sum_{j =1}^{3}A_{ij}\hat{e}_{i}\times \hat{e}_{j} }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{A} =\sum_{i =1}^{3}\sum_{j =1}^{3}A_{ij}(\vec{a}_{i}\otimes \vec{b}_{j}-\vec{b}_{j}\otimes \vec{a}_{i})\rightarrow \mathbf{A}_{\times } =-\sum_{i =1}^{3}\sum_{j =1}^{3}A_{ij}\vec{a}_{i}\times \vec{b}_{j} }

Axialer Tensor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hat{\mathbf{u}} } eines Vektors Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{u} }  :

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{u} =\sum_{i =1}^{3}u_{i}\vec{e}_{i} =\left(\begin{array}{c}u_{1}\\ u_{2}\\ u_{3}\end{array}\right) \rightarrow \hat{\mathbf{u}}: =\sum_{i=1}^{3}(\vec{u}\times \hat{e}_{i})\otimes \hat{e}_{i} =\left(\begin{array}{ccc}0& -u_{3}& u_{2}\\ u_{3}& 0& -u_{1}\\ -u_{2}& u_{1}& 0\end{array}\right)\in \mathrm{Lin}(\mathbb{V}_{1}^{3},\mathbb{V}_{1}^{3}) }

Dann ist: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hat{\mathbf{u}}_{\times } =\vec{u} } .

Potenzen von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hat{\mathbf{u}} }  : Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \hat{\mathbf{u}}\hat{\mathbf{u}} = \vec{u}\otimes \vec{u}-\mathbf{I} \,,\quad \hat{\mathbf{u}}\hat{\mathbf{u}}\hat{\mathbf{u}} =-\hat{\mathbf{u}} }

Invarianten

Eigenwerte: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda_{1},\lambda_{2},\lambda_{3} }

Hauptinvarianten:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I_{1}(\mathbf{A}): =\mathrm{Sp}(\mathbf{A}) =\lambda_{1}+\lambda_{2}+\lambda_{3} }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I_{2}(\mathbf{A}): =\frac{1}{2}[ I_{1}{(\mathbf{A})}^{2}- I_{1}(\mathbf{A}^{2})] =\lambda_{1}\lambda_{2}+\lambda_{2}\lambda_{3}+\lambda_{3}\lambda_{1} }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I_{3}(\mathbf{A}): =\mathrm{det}(\mathbf{A}) =\frac{1}{3}[ I_{1}(\mathbf{A}^{3})+3 I_{1}(\mathbf{A}) I_{2}(\mathbf{A})- I_{1}{(\mathbf{A})}^{3}] =\lambda_{1}\lambda_{2}\lambda_{3} }

Betrag: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\mathbf{A}): =\sqrt{\mathrm{Sp}(\mathbf{A}^{\mathrm{T}}\mathbf{A})} =\sqrt{\lambda_{1}^{2}+\lambda_{2}^{2}+\lambda_{3}^{2}} }

Falls Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{A} =\sum_{i =1}^{3}\sum_{j =1}^{3}A_{ij}\hat{e}_{i}\otimes \hat{e}_{j} }  :

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I_{1}(\mathbf{A}) =A_{11}+A_{22}+A_{33} }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I_{2}(\mathbf{A}) =A_{11}A_{22}+A_{11}A_{33}+A_{22}A_{33}-A_{12}A_{21}-A_{13}A_{31}-A_{23}A_{32} }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I_{3}(\mathbf{A}) =A_{11}(A_{22}A_{33}-A_{23}A_{32})+A_{12}(A_{23}A_{31}-A_{21}A_{33})+A_{13}(A_{21}A_{32}-A_{22}A_{31}) }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {\parallel}\mathbf{A}{\parallel} =\sqrt{A_{11}^{2}+A_{22}^{2}+A_{33}^{3}+A_{12}^{2}+A_{21}^{2}+A_{13}^{2}+A_{31}^{2}+A_{23}^{2}+A_{32}^{2}} }

Falls Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{A} =\sum_{i =1}^{3}\sum_{j =1}^{3}A_{ij}\vec{a}_{i}\otimes \vec{b}_{j} }  :

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{Sp}(\mathbf{A}) =\sum_{i =1}^{3}\sum_{j =1}^{3}A_{ij}\vec{a}_{i}\cdot \vec{b}_{j} }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{det}(\mathbf{A}) =|\begin{array}{ccc}\vec{a}_{1}& \vec{a}_{2}& \vec{a}_{3}\end{array}|\left(\begin{array}{ccc}A_{11}& A_{12}& A_{13}\\ A_{21}& A_{22}& A_{23}\\ A_{31}& A_{32}& A_{33}\end{array}\right)|\begin{array}{ccc}\vec{b}_{1}& \vec{b}_{2}& \vec{b}_{3}\end{array}| }

Invariant sind auch die Hauptinvarianten der n-ten Potenzen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{A}^{n} } des Tensors sowie der symmetrischen, schiefsymmetrischen, deviatorischen und Kugelanteile.

Invariant sind alle Funktionen der oben genannten Invarianten.

Von den genannten Invarianten sind nur drei voneinander unabhängig und aus denen können dann alle anderen abgeleitet werden .