Diskussion:Untermannigfaltigkeit

Warum wird das untere Kapitel 2 nicht in den eigentlichn Artikel integriert? Hier in der Diskussion kann das auch schon mal ungelesen bleiben, und der Artikel selbst ist ja ziemlich knapp geraten --Undergaveragent 00:06, 27. Jan. 2007 (CET)

Dieses Kapitel wurde in den Artikel Differenzierbare Mannigfaltigkeit eingearbeitet. Eventuell ist auf Untermannigfaltigkeit ein Verweis dahin angebracht. --TN

Der beschriebene Begriff ist "eingebettete Untermannigfaltigkeit" (oder immersiert? ich bin mir da immer unsicher). "Untermannigfaltigkeit" ist allgemeiner, also zB auch das Bild von

$\mathbf {R} \to \mathbf {R} ^{2},\quad t\mapsto (t,t{\sqrt {2}})$

unter der Projektion

$\mathbf {R} ^{2}\to \mathbf {R} ^{2}/\mathbf {Z} ^{2}$

als Untermannigfaltigkeit des Torus.--Gunther 12:22, 13. Mär 2005 (CET)

Die im Artikel angegebene Definition stimmt mit der in den zwei Literaturquellen überein. Aus meiner Sicht wäre die einzige mögliche Verallgemeinerung, unendlichdimensionale Mannigfaltigkeiten zuzulassen (siehe [Abraham,Marsden,Ratiu]). Aber davon würde ich in diesem Wiki absehen. --Benutzer:TN

Referenz: S. Helgason, Differential Geometry and Symmetric Spaces, American Mathematical Society 1962 ISBN 0821827359

Darin steht auf S. 23: „M is called a submanifold of N if (1) $M\subseteq N$ (set-theoretically); (2) the identity mapping I of M into N is regular at each point of M.“

--Gunther 11:18, 3. Mai 2006 (CEST)

Hallo Gunther, vielen Dank für den Literaturhinweis. Das Buch steht bei uns in der Bibliothek. Voraussichtlich am Samstag kann ich mir diese Version einmal anschauen. --TN 21:25, 4. Mai 2006 (CEST); Ich habe mir die betreffende Stelle im Buch heute angeschaut. Ist $M$ eine Untermannigfaltigkeit von $N$ und $x\in M$, so kann es sein, dass es in jeder $N$-Umgebung von $x$ Punkte von $M$ gibt, die jedoch in Bezug auf das Umgebungssystem von $M$ weit voneinander entfernt liegen (soll heißen, es ex. eine $M$-Umgebung von $x$ in der diese Punkte nicht mehr enthalten sind). Hm, na gut. Muss man einfach akzeptieren. --TN 23:24, 6. Mai 2006 (CEST)

Bezeichnung $\mathbb {R} ^{n}\times 0$

Die Bezeichnung $\mathbb {R} ^{n}\times 0$ ist kritisch. Zum Beispiel ist

$\mathbb {R} ^{n}\times \{0\}$ mit $0\in \mathbb {R} ^{m-n}$

nicht das selbe wie

$\left\{x\in \mathbb {R} ^{m}\mid x_{n+1}=\ldots =x_{m}=0\right\}$.

Das erste ist eine Paarmenge und das zweite ein Unterraum des $\mathbb {R} ^{m}$. Falls, wie üblich, diese Mengen miteinander identifiziert werden sollen, so muss ein Hinweis darauf in den Artikel.

Eine Alternative wäre, zu sagen, dass die Kartenabbildungen $\phi$ in einen Banachraum $B$ abbilden und mit einem Unterraum $B'$ von $B$ für jeden Punkt $x\in N$ eine Karte $(\phi ,U)$ mit $x\in U$ existieren muss, die der Bedingung $\phi (U\cap N)=B'\cap \phi (U)$ genügt.

Das würde dann sogar den Fall unendlichdimensionaler Untermannigfaltigkeiten mit abdecken.--TN 15:43, 30. Apr 2006 (CEST)

Der erste Punkt ist i.w. die Identifizierung $X^{m}\times X^{n}=X^{m+n}$; aber man kann das natürlich erwähnen.

Einen beliebigen Unterraum zu verwenden ist mir nicht so richtig sympathisch. Koordinaten dienen ja gerade dazu, um in eine Standardsituation zu gelangen, und dann frage ich mich: Wenn schon beliebige Unterräume, warum dann nicht gleich lokale Untermannigfaltigkeiten (definiert als Niveaufläche einer lokalen Submersion $\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{m-n}$). Die Wahl dieses Unterraums bringt auch eine Struktur hinein, die (zumindest im endlichdimensionalen Fall) irrelevant ist. Man kann einer Untermannigfaltigkeit nicht ansehen, auf welchem $n$-dimensionalen Unterraum des $\mathbb {R} ^{m}$ sie modelliert ist.--Gunther 11:34, 3. Mai 2006 (CEST)

Hallo Gunther, vielen Dank für deinen Kommentar. Ich bin mir allerdings immer noch nicht sicher, welche Variante die bessere ist. Aus meiner Sicht zählt der Fakt, dass man auch ohne Identifikations-Trick hinkommt, relativ schwer. Man kann ja im Nachhinein sagen, dass die Wahl von $B'$ im Rahmen der Banachraum-Isomorphie willkürlich ist und dass man bei der Rechnung im $R^{n}$ für eine $m$-dimensionale Untermannigfaltigkeit einer $n$-dimensionalen Mannigfaltigkeit gerne $B'=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid x_{m+1}=\ldots =x_{n}=0\}$ wählt.

Aber das ist wahrscheinlich Geschmackssache. Ein schwerwiegenderer Fakt ist, dass hier in der Wikipedia im Rahmen der Variationsprinzipien der klassischen Mechanik schon mit unendlichdimensionalen Mannigfaltigkeiten gearbeitet wird (nämlich $C^{2}(I,N)$, wenn $I$ das Beobachtungszeitintervall und $N$ eine unendlichdimensionale Zwangsmannigfaltigkeit ist). Ein Beispiel für $N$ ist ein Balken, bei dem man die zunächst freie Bewegung des Balkenkontinuums so einschränkt, dass die Balkenquerschnitte starr bleiben. Bei der numerischen Simulation beschränkt man sich dann weiter, so dass man nur noch Balkenbewegungen zulässt, die sich mit gewissen gewichteten Formfunktionen darstellen lassen, dadurch entsteht dann eine endlichdimensionale Zwangsmannigfaltigkeit $N'$. Die zugehörige Untermannigfaltigkeit $C^{2}(I,N')$ von $C^{2}(I,N)$ ist jedoch immer noch unendlichdimensional. Zur Ermittlung der Lösung wird dann auf das reduzierte Problem ein Variationsprinzip angewandt und erst danach wird zeitlich diskretisiert. --TN 23:28, 5. Mai 2006 (CEST)

Die Frage, wie allgemein die erste Definition aussehen soll, ist mMn unabhängig davon, welche Allgemeinheit in der WP benötigt wird. Man kann den Artikel problemlos mehrteilig aufbauen mit einem elementareren und einem oder mehreren allgemeineren Abschnitten. Die Frage sollte in etwa sein: Welches ist der zentrale Begriff? In meiner Wahrnehmung sind alle Mannigfaltigkeiten endlichdimensional, aber die meisten kommen nicht zusammen mit einer Einbettung in irgendeinen $\mathbb {R} ^{N}$, bzw. eine Einbettung hilft nicht wirklich weiter (typisches Beispiel: $\mathbb {R} ^{n}/\mathbb {Z} ^{n}$). Deshalb würde ich die Artikel im wesentlich auf endlichdimensionale abstrakte Mannigfaltigkeiten ausrichten und einerseits Untermannigfaltigkeiten des $\mathbb {R} ^{N}$ als anschaulichen Spezialfall, andererseits unendlichdimensionale Mannigfaltigkeiten als eine Verallgemeinerung erwähnen.--Gunther 16:34, 6. Mai 2006 (CEST)

In die endlichdim. Fassung füge ich mich. Im Sinne des Aufbaus vom einfachen zum schweren würde ich eventuell die Untermannigfaltigkeiten des $\mathbb {R} ^{n}$ gleich hinter der Einleitung einschieben. Etwas in dieser Richtung hatte ich schon auf deiner Diskussionseite erwähnt. Einen Vorschlag setze ich in Bälde als Vorschau hier auf die Diskussionsseite. --TN 23:11, 6. Mai 2006 (CEST)

Untermannigfaltigkeit des Rn

Zuerst sollen Untermannigfaltigkeiten des Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{R}^n} beschrieben werden, da diese häufig in Anwendungen auftreten und eine besonders einfache Struktur besitzen.

Ausgewählte Beispiele in denen Untermannigfaltigkeiten des Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{R}^n} eine Rolle spielen sind:

• Optimierung unter Nebenbedingungen
• Mechanische Systeme mit Zwangsbedingungen
• Algebro-Differentialgleichungssysteme bei der numerischen Netzwerkanalyse in der Elektrotechnik

In all diesen Anwendungen wird die Menge der betrachteten Punkte von vornherein auf eine Teilmenge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M} des Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{R}^n} eingeschränkt, die sich lokal durch Diffeomorphismen auf Gebiete eines Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{R}^m} mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0\leq m \leq n} abbilden lässt. Diese Teilmenge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M} wird als Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m} -dimensionale Untermannigfaltigkeit des Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{R}^n} bezeichnet. Mit Hilfe der Diffeomorphismen kann man auf der Untermannigfaltigkeit im differentialgeometrischen Sinne genauso rechnen, wie in Gebieten des Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{R}^m} .

Meistens wird die Menge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M} durch Nebenbedingungen beschrieben. Das heißt, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M} enthält gerade diejenigen Punkte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} , die mit einer vorgegeben stetig differenzierbaren Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^{n-m}} mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0<m<n} die Gleichung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x)=0}

erfüllen. Außerdem wird noch gefordert, dass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0} ein regulärer Wert von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} ist, d.h., dass die Jacobi-Matrix Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Df(x)} von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} für alle Punkte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x\in M} den Maximalrang Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left.n-m\right.} hat.

Die letzte Bedingung sichert die Anwendbarkeit des Satzes über implizite Funktionen. Dieser besagt, dass es zu jedem Punkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \bar{x}\in M} eine Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{R}^n} -Umgebung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U_{\bar{x}}} von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \bar{x}} gibt, in der die Punkte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x\in U_{\bar{x}}\cap M} schon eindeutig durch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m} Koordinaten parametrisiert sind. Die Abbildung, die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x\in U_{\bar{x}}\cap M} auf die zur Parametrisierung benötigten Koordinaten projiziert, ist ein Beispiel für eine Kartenabbildungen und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U_{\bar{x}}\cap M} ist das zugehörige Kartengebiet. Da es zu jedem Punkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \bar{x}\in M} eine Kartenabbildung gibt, kann man ganz Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M} mit den zugehörigen Kartengebieten überdecken. Eine Menge solcher Karten, mit deren Kartengebieten man Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M} überdecken kann, ist ein Beispiel für einen Atlas.

Mit Hilfe der Kartenabbildungen kann man auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M} lokal wie im Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{R}^m} rechnen. Das motiviert, dass die natürliche Zahl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m} Dimension von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M} genannt wird und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M} als Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m} -dimensionale Untermannigfaltigkeit des Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{R}^n} bezeichnet wird.

Beispiel

Datei:KartenS1.png

Kartengebiete und Projektionen als Kartenabbildungen für die eindim. Einheitssphäre

Die Einheitssphäre im Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{R}^n} wird mit der stetig differenzierbaren Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x):=\|x\|^2-1} durch die Gleichung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x)=0 } beschrieben. Die Jacobi-Matrix Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Df(x) = 2x^T} hat für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x\in\mathbb{R}^n} mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \|x\|=1} ihren Maximalrang eins. Also ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M:=\{x\in\mathbb{R}^n\mid \|x\|^2-1=0\}} eine Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left.(n-1)\right.} -dimensionale Untermannigfaltigkeit des Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{R}^n} . In jedem Punkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \bar{x}\in M} ist mindestens eine Koordinate Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \bar{x}_k} ungleich null. Für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \bar{x}_k>0} kann man mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U_{\bar{x}}=\{x\in\mathbb{R}^n\mid x_k >0\}} die Menge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M\cap U_{\bar{x}}=\{x\in\mathbb{R}^n\mid \|x\|=1,\,x_k >0\}} als Kartengebiet nutzen und für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \bar{x}_k<0} mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U_{\bar{x}}=\{x\in\mathbb{R}^n\mid x_k <0\}} die Menge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M\cap U_{\bar{x}}=\{x\in\mathbb{R}^n\mid \|x\|=1,\,x_k <0\}} . Die Abbildung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \phi(x)=(x_1,\ldots,x_{k-1},x_k\pm\sqrt{1-x_1^2-\ldots-x_{k-1}^2-x_{k+1}^2-\ldots-x_n^2},x_{k+1},\ldots,x_{n})} eignet sich dann für den ersten Fall mit dem Minus vor der Wurzel und im zweiten Fall mit dem Plus vor der Wurzel als lokaler Flachmacher.

Am einfachsten zu veranschaulichen ist dieses Vorgehen für die eindimensionale Einheitssphäre im Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{R}^2} . Im nebenstehenden Bild sind die vier Kartengebiete als dick durchgezogene Linien eingezeichnet. Die Vereinigung der Kartengebiete überdeckt die gesamte Einheitssphäre, also bilden diese Karten zusammen einen Atlas. Die jeweils zu den Kartengebieten gehörigen Flachmacher sind durch einen kleinen Pfeil angedeutet. Die Bilder der Kartengebiete sind dick gestrichelt.

Für die zweidimensionale Einheitssphäre im Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{R}^3} benötigt man schon zwei Koordinaten zur eindeutigen Parametrisierung der Punkte in den Kartengebieten. Zum Beispiel wählt man für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \bar{x}_1>0} die Menge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U_{\bar{x}} := \{ x\in\mathbb{R}^3\mid x_1>0 \},} und als Kartenabbildung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \phi(x) = (x_2,x_3)} .

Auch das Möbiusband hat lokal Eigenschaften wie ein Gebiet des Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{R}^2} und soll deshalb auch als zweidimensionale differenzierbare Untermannigfaltigkeit des Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{R}^2} bezeichnet werden können. Wäre das Möbiusband als Urbild eines regulären Wertes einer stetig differenzierbaren Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f:\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}} darstellbar, so müsste der senkrecht auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M} stehende stetige Gradient dieser Funktion überall in eine Richtung zeigen (als z.B. von der Vorderseite wegzeigen). Das geht jedoch nicht, da das Möbiusband keine Vorder- oder Rückseite hat. Deshalb muss die Definition der differenzierbaren Untermannigfaltigkeit des Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{R}^n} etwas allgemeiner gefasst werden.

Allgemeine Definition [Untermannigfaltigkeit des Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{R}^n} ]

Eine Menge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M\subset\mathbb{R}^n} ist eine Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m} -dimensionale Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k} -mal stetig differenzierbare Untermannigfaltigkeit des Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{R}^n} , wenn es zu jedem Punkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \bar{x}\in M} eine Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{R}^n} -Umgebung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U_{\bar{x}}} und eine Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k} -mal stetig differenzierbare Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f_{\bar{x}}:U_{\bar{x}}\rightarrow\mathbb{R}^{n-m}} mit regulärem Wert 0 gibt, so dass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f^{-1}(\{0\})=N\cap U_{\bar{x}}} gilt.

Wichtige Aussagen

Äquivalent dazu ist: Eine Menge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M\subset\mathbb{R}^n} ist genau dann eine Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k} -mal stetig differenzierbare Untermannigfaltigkeit des Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{R}^n} , wenn es zu jedem Punkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \bar{x}\in M} einen lokalen Flachmacher gibt, d.h., zu Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \bar{x}} existieren eine Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{R}^n} -Umgebung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U_{\bar{x}}} und ein Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle C^k} Diffeomorphismus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f:U_{\bar{x}}\rightarrow f(U_{\bar{x}})\subset\mathbb{R}^n} mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f_{m+1}(x)=\ldots=f_{n}(x)=0} für alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x\in M\cap U_{\bar{x}}} .

Eine reguläre Parameterdarstellung ist eine stetig differenzierbare Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} , die ein Gebiet Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Omega} des Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{R}^m} in den Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{R}^n} Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (n,m\in\mathbb{N}, m<n)} abbildet und deren Jacobi-Matrix Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Dg(p)} für jeden Parameter Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p\in\Omega} den Maximalrang Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m} hat.

Ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f_{\bar{x}}:U_{\bar{x}}\rightarrow f(U_{\bar{x}})} ein lokaler Flachmacher einer Mannigfaltigkeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M} , so ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g:=\Big( \mathrm{pr}_{1:m} f_{\bar{x}}|(U_{\bar{x}}\cap M) \Big)^{-1} } eine reguläre Parameterdarstellung, die zumindestens den Teil Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U_{\bar{x}}\cap M} von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M} parametrisiert. Dabei projiziert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{pr}_{1:m}:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^m} mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{pr}_{1:m}(x)=(x_1,\ldots,x_m)} auf die wesentlichen Komponenten des lokalen Flachmachers.

Beispiel für eine Immersion, deren volles Bild keine Untermannigfaltigkeit des Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{R}^n} ist

Lokal kann man durch reguläre Parameterdarstellungen auch Mannigfaltigkeiten definieren: Ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g:\Omega\rightarrow\mathbb{R}^n} eine reguläre Parameterdarstellung und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p\in\Omega} beliebig, so exisitert eine Umgebung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U_p\subset\Omega} von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p} , so dass das Bild Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g(U_p)\subset\mathbb{R}^n} von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U_p} unter Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g} eine differenzierbare Untermannigfaltigkeit des Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{R}^n} darstellt.

Beispiel

Die rechts veranschaulichte Immersion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g:(-\pi/2,3\pi/2)\rightarrow\mathbb{R}^2} mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g(p):=\big(2\cos(p),\sin(2p)\big)} ist ein Beispiel dafür, dass die vorstehende Aussage nicht notwendigerweise auf das volle Bild einer Immersion verallgemeinerbar ist (sogar dann nicht, wenn, wie in diesem Beispiel, die Immersion injektiv ist). Die Menge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M:=g\big((-\pi/2,3\pi/2)\big)} ist lokal um den Punkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (0,0)} nicht diffeomorph zu einem Intervall der reellen Achse und stellt somit keine eindimensionale Untermannigfaltigkeit des Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{R}^n} dar.

Tangentialvektoren/Tangentialraum/Tangentialbündel

Tangentialvektor an Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M} in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x \in M} definiert als Geschwindigkeitsvektor einer Kurve Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \gamma} durch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} sowie Tangentialraum an den Punkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x}

Sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M} eine Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m} -dimensionale differenzierbare Untermannigfaltigkeit des Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{R}^n} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x\in M} . Ein Vektor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v\in\mathbb{R}^n} heißt Tangentialvektor an Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M} im Punkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} , falls es eine differenzierbare Kurve Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \gamma:(-\epsilon,\epsilon)\rightarrow M} mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left.\gamma(0)=x\right.} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \dot\gamma(0)=v} gibt.

Betrachtet man Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t\in(-\epsilon,\epsilon)\mapsto\gamma(t)} als Bahnkurve eines sich auf der Untermannigfaltigkeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M} bewegenden Teilchens, so passiert dieses Teilchen zur Zeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t=0} den interessierenden Punkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} gerade mit der Geschwindigkeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v} .

Die Menge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T_x M} aller Tangentialvektoren an Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M} im Punkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x\in M} ist ein Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m} -dimensionaler linearer Raum und wird als Tangentialraum an Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M} im Punkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} bezeichnet.

Definitionsgemäß lässt sich die Untermannigfaltigkeit in einer Umgebung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U_{\bar{x}}} des Punktes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \bar{x}\in M} als reguläre Nullstelle einer Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f:U_{\bar{x}}\rightarrow \mathbb{R}^{n-m}} darstellen. Sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \gamma:(-\epsilon,\epsilon)\rightarrow U_{\bar{x}}\cap M} eine beliebige stetig differenzierbare Kurve mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \gamma(0)=\bar{x}} . Da diese auf der Mannigfaltigkeit verläuft, erfüllt sie die Gleichung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(\gamma(t))=0} . Ableiten nach Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t} an der Stelle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t=0} ergibt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle D f(\gamma(t))\dot\gamma(t)|_{t=0}=0} , woraus folgt:

Der Tangentialraum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T_x M} ergibt sich gerade als Kern der zu Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} gehörigen Jacobi-Matrix Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle D f(\bar{x})} , das heißt, es gilt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T_{\bar{x}} M=\{v\in\mathbb{R}^n\mid D f(\bar{x}) v = 0\}} .

Hat man eine (lokale) reguläre Parameterdarstellung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g:\Omega\subset\mathbb{R}^m\rightarrow M} gegeben, die einen Parameterpunkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p\in\Omega} in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x\in M} abbildet, so lässt sich der Tangentialraum an Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M} in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} auch als volles Bild der zugehörigen Jacobi-Matrix Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Dg(p)} darstellen:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T_x M = \{ Dg(p)u \mid u\in\mathbb{R}^m \}.}

Die Relation Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T M := \{ (x,v)\in M\times \mathbb{R}^n\mid v\in T_x M \}} , die jedem Punkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x\in M} alle Tangentialvektoren an Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M} in diesem Punkt zuordnet, heißt Tangentialbündel von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M} .

Sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M} eine mindestens zweimal stetig differenzierbare Untermannigfaltigkeit des Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{R}^n} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \bar{x}\in M} beliebig. Aus einer lokalen Darstellung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M\cap U_{\bar{x}} = \{ x\in U_{\bar{x}}\mid f(x) = 0 \}} von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M} in einer Umgebung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U_{\bar{x}}} von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \bar{x}} lässt sich eine lokale Darstellung von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle TM } konstruieren:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle TM \cap (U_{\bar{x}}\times\mathbb{R}^n) = \{ (x,v)\in U_{\bar{x}}\times\mathbb{R}^n \mid f(x)=0 \mbox{ und } Df(x)v = 0 \}.}

Damit ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle TM} eine Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2m} -dimensionale (mindestens einmal) stetig differenzierbare Untermannigfaltigkeit des Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{R}^{2n}} (im Sinne der üblichen Identifikation des Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n} mit dem Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{R}^{2n}} ).

--TN 15:36, 7. Mai 2006 (CEST)

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Diskussion zu Untermannigfaltigkeiten des Rn

Ich bin noch nicht so ganz glücklich damit. Du lässt als lokale Koordinaten nur Auswahlen aus den Standardfunktionen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x_1,\ldots,x_n} zu, und das deckt weder Kugelkoordinaten noch stereographische Projektionen ab.--Gunther 10:24, 7. Mai 2006 (CEST)

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Das ist mir bewusst.

1. Das Schriftstück ist noch weniger als ein Stub. Es ist eine Diskussionsgrundlage (vielen Dank für den ersten Beitrag). Vorschläge für den Text sind willkommen. Aufgrund des Problems konkurrierender Versionen bin ich mir noch nicht sicher, ob es günstig wäre, wenn jeder seine Verbesserungsvorschläge gleich in den obigen Text einarbeitet.
2. Dass das ein spezielles Beispiel für Kartenabbildungen ist, hoffe ich, im Text deutlich gemacht zu haben. Was an dieser Stelle weiter geschieht, hängt von einer Grundsatzentscheidung ab: Soll der Text
   1. auf die Seite Untermannigfaltigkeit?
   2. auf die Seite Mannigfaltigkeit?
   3. auf eine eigene Seite Untermannigfaltigkeit des Rn?
   4. einfach nur gelöscht werden? (Wäre ich natürlich etwas traurig darüber.)
3. Ich habe für den einleitenden Text diese Kartenvariante genutzt, da sie
   1. immer realisierbar ist
   2. direkt aus dem Satz über implizite Funktionen folgt und somit (meiner Ansicht nach) am einfachsten nachvollziehbar ist
4. Dass hier nur eine spezielle Variante von Karte vorgestellt wird, ist eins der kleinsten Probleme. Glatter Kartenwechsel fehlt noch vollständig. Daran arbeite ich jetzt.
5. Das Nächste sind dann Tangentialvektoren und Tangentialraum/Tangentialbündel. Das ist das, worauf es mir persönlich am meisten ankommt, da ich nach Fertigstellung endlich den diesbezüglichen Hinweis aus Algebro-Differentialgleichung#Geometrischer Index durch einen Link ersetzen könnte. (Die besonders einfache Struktur von Tangentialvektoren an Untermannigfaltigkeiten des Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{R}^n} trägt an dieser Stelle extrem zur Vereinfachung bei. Bei Tangentialvektoren an allgemeinen Mannigfaltigkeiten hat man das Problem, dass zwischen Tangentialvektoren an einer Mannigfaltigkeit und denen an einer Untermannigfaltigkeit wieder so eine kanonische Identifikation notwendig wird. Solches Zeug umgehe ich wo es nur geht.)

Mit freundlichen Grüßen, --TN 14:39, 7. Mai 2006 (CEST)

Also wenn ich mich jetzt nicht vertan habe, ist bei einer Def. einer Mannigfaltigkeit über Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(x)=0} mit einer stetig diff'baren Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f:\mathbb{R}^n\rightarrow\mathbb{R}^{n-m}} und regulärem Wert 0 sowie einer Kartierung der Mannigfaltigkeit über kanonische Projektionen der Kartenwechsel immer ein Diffeomorphismus. Damit bräuchte man auf den glatten Kartenwechsel in dem einführenden Abschnitt noch nicht einzugehen, sondern man kann dieses Thema nach hinten in dem Artikel verschieben (bzw. das Thema ist auf der Seite Mannigfaltigkeit schon abgehandelt.

Mittlerweile weiß ich: Glattheit des Kartenwechsels ist bei diff'baren Untermannigfaltigkeiten des Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{R}^n} immer gegeben. Also braucht man dieses Thema im Rahmen diff'barer Untermannigfaltigkeiten nicht wirklich ansprechen. (Dank an Prof. V.) --TN 20:09, 7. Mai 2006 (CEST)

ad 2: Als eigene Seite erscheint mir das nicht sinnvoll. Ich würde es eher in Mannigfaltigkeit als hier einarbeiten, weil es weniger um die relative Situation als um die eigentlichen Studienobjekte geht.

ad 3/4: Es wäre wohl vor allem noch sinnvoll, Parameterdarstellungen zu erwähnen.

ad 5: Tangentialbündel würde ich weglassen. (Differenzierbare) Vektorfelder gehen ja auch ohne.

--Gunther 11:30, 9. Mai 2006 (CEST)

Hm, jetzt habe ich wiedermal eine ganze Menge als unangemeldeter Benutzer eingefügt. Ich werde es wohl nie lernen...

zu ad 3/4: Reguläre Parameterdarstellungen definieren Immersionen und keine Untermannigfaltigkeiten des Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{R}^n} . Was im Sinne einer Parametrisierung/Kartendarstellung geht, habe ich als Flachmacher oben ergänzt. (Den Unterschied zwischen Untermannigfaltigkeit und eingebetteter Untermannigfaltigkeit scheint es in der Literatur in Bezug auf Untermannigfaltigkeiten des Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{R}^n} nicht zu geben.)

zu ad 5: bei verdeckten Zwangsmannigfaltigkeiten sind Tangentialbündel von Untermannigfaltigkeiten des Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{R}^n} nahezu ein Segen. Mit einem verallgemeinerten Vektorfeld Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle N\in M\times\mathbb{R}^n} braucht man da gerade Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{pr}_1\left( N \cap TM \right)} , wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle TM:=\{(x,dx)\in M\times T_{x} M\}} das Tangentialbündel von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{pr}_1} die Projektion auf die erste Komponente sind.

(nicht signierter Beitrag von TN (Diskussion | Beiträge) 23:39, 9. Mai 2006)

3/4: Das Bild einer Immersion ist (lokal im Definitionsbereich) eine Untermannigfaltigkeit. Beispiele: Kugelkoordinaten, oder auch die explizite Darstellung des Möbiusbandes wie im dortigen Artikel angegeben.

5: Ist ein bisschen unklar, Vektorfelder sind keine Elemente von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M\times\R^n} . Es geht um diejenigen Punkte der Mannigfaltigkeit, in denen ein nicht tangentiales Vektorfeld doch tangential ist?

--Gunther 23:41, 9. Mai 2006 (CEST)

Ja, genau! Das durch die Algebro-Differentialgleichung vorgeschriebene allgemeine Vektorfeld Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle N} kann in Punkten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x\in M} Richtungen vorschreiben, die garnicht in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle TM} liegen. Dadurch wird die Mannigfaltigkeit, in der wirklich Lösungskurven der Algebro-Differentialgleichung liegen weiter eingeschränkt. Das sind gerade die sogenannten hidden constraints. (nicht signierter Beitrag von TN (Diskussion | Beiträge) 23:48, 9. Mai 2006)

Dann sehe ich allerdings nicht, wofür Du dabei das Tangentialbündel brauchst, ein nicht tangentiales Vektorfeld kannst Du doch auch einfach als Abbildung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M\to\R^n} auffassen.--Gunther 23:57, 9. Mai 2006 (CEST)

Doch, gerade das Tangentialbündel braucht man hier, um die verdeckte Zwangsmannigfaltigkeit, in der überhaupt Lösungskurven liegen können herauszufischen. Die Sache mit der Projektion, die ich oben kurz angesprochen habe und die in Algebro-Differentialgleichung näher beschrieben ist, kann sogar als Algorithmus zur Index-Reduktion bei Algebro-Differentialgleichungen benutzt werden.

3/4: lokal ja, im Definitionsbereich nein: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \phi\mapsto(\mathrm{cos}(\phi),\mathrm{sin}(\phi))} , die Kugelkoordinaten auf Kugelflächen mit Radius ungleich null werden von (inversen) Flachmachern erfasst. Vielleicht verstehe ich an dieser Stelle noch nicht, was du möchtest. Ah, ja: Königsberger nennt Flachmacher auch schon Karten. Vielleicht sollte man sich daran gewöhnen?

Beste Grüße, --TN 00:09, 10. Mai 2006 (CEST)

3/4: "Lokal im Definitionsbereich" sollte heißen: Zu jedem Punkt des Definitionsbereiches gibt es eine Umgebung, so dass die darauf eingeschränkte Abbildung als Bild eine Untermannigfaltigkeit hat.

5: Ja, ich hatte das gerade auch mal durchgelesen: Wenn man Gleichungen auf dem Tangentialbündel betrachtet, ist das die natürliche Sichtweise, klar.--Gunther 00:12, 10. Mai 2006 (CEST)

Ach ja: "Flachmacher" klingt komisch, und der Unterschied zu Karten ist ja nicht so groß.--Gunther 00:13, 10. Mai 2006 (CEST)

3/4: Ich war gestern nacht ein wenig blind. Habe jetzt reguläre Parameterdarstellung ergänzt. (Denke, das ist jetzt so ziemlich alles, was einfach machbar ist.) Dass Bilder von Immersionen nicht immer Untermannigfaltigkeiten des Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{R}^n} sind, müsste noch rein. Schaffe ich jetzt aber nicht.

Bin jetzt erstmal bei Flachmacher geblieben. Unser Analysis-Prof. hat damals gesagt, dass der Begriff die Sache ziemlich gut trifft. Damit hat er meiner Ansicht nach recht. Habe jetzt auch keine Zeit, darüber nachzudenken. Müsste mind. schon eine viertel Stunde auf Arbeit sein!

Beste Grüße, --TN 08:48, 10. Mai 2006 (CEST)

Mittlerweile weiß ich: Flachmacher ist ein etablierter Begriff. Zum Beispiel Jänich benutzt ihn in seiner Vektoranalysis (findet man leicht im Index).

--TN 22:43, 12. Mai 2006 (CEST)

Mal wieder zwei kleine Kommentare: "Flachmacher" finde ich deshalb merkwürdig, weil "Flachheit" etwas mit der Metrik zu tun hat, und um die geht es ja gerade nicht. Aber wenn Jänich das schreibt, dürfen wir das auch. Zum anderen könnte man noch kurz darauf eingehen, dass das Beispiel demonstriert, dass selbst eine injektive Immersion keine Einbettung ist. Für nicht injektive Immersionen muss man sich nicht so anstrengen, vgl. Immersion (Mathematik) oder so etwas wie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\cos t+t/2,\sin t)} .--Gunther 22:32, 13. Mai 2006 (CEST)

Hallo Gunther, du hast natürlich wiedermal recht. An diesen Aspekt bzgl. des Begriffs "Flachmacher" hatte ich noch garnicht gedacht. Mit der Bemerkung zur Injektivität der angesprochenen Immersion hast du mir die Worte aus dem Mund genommen;-)) Ich hatte an diese Sache schon gedacht, jedoch stand ich ein wenig unter Zeitdruck und habe die Bemerkung beim schnellen Texten einfach nicht sinnvoll unterbekommen. Mit dem Bild zu diesem Beispiel bin ich im Moment selber noch nicht so richtig glücklich. Man könnte den Eindruck bekommen, dass da irgendwelche Lücken in der Acht drin sind, was ja nicht der Fall ist. Das Bild sollte jedoch schon auf die Injektivität der Abbildung hinweisen (deshalb die Bögen an den Kurvenenden, die wie Grenzen eines offenen Intervalls aussehen). --TN 12:15, 14. Mai 2006 (CEST)

Neuster Stand: Der Flachmacher bildet die interessierende Untermannigfaltgikeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M\cap U_{x}} auf die neue Untermannigfaltigkeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(M\cap U_{x})} des Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R^n} ab, die auch im Sinne der vom Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R^n} induzierten Metrik flach ist. Somit spricht auch von dieser Seite prinzipiell nichts gegen den Begriff "Flachmacher". Die Abbildung macht die UMF eben wirklich flach;-) Also: Ich bin definitiv für den Begriff. Punkt. Schluss. aus;-)) --TN 17:26, 15. Mai 2006 (CEST)

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Die Texte zu Tangentialvektoren/Tangentialraum/Tangentialbündel sind bis jetzt nur blanke Definitionen. Ein wenig erläuternter Text fehlt noch. --TN 22:24, 13. Mai 2006 (CEST)

Habe soeben noch etwas erläuternden Text zu den Tangetialsachen ergänzt. Welche Ecken und Kanten sind jetzt noch auszubügeln? Wann und wie wollen wir den Text auf eine richtige Seite stellen (Gunther erwähnte schon die Seite Mannigfaltigkeit als mögliches Ziel). --TN 23:06, 14. Mai 2006 (CEST) Ich habe den Eindruck, dass einen an manchen Stellen das Formelwerk ein wenig erschlägt. Außerdem tauchen die in der Einleitung erwähnten (Projektions)-Karten nicht mehr auf. Das ist natürlich unschön! --TN 23:50, 15. Mai 2006 (CEST)

Ich würde vorschlagen, dass Du das Ganze mal unter dem Lemma Differenzierbare Mannigfaltigkeit einstellst. Mannigfaltigkeit selbst würde dadurch gesprengt, und Untermannigfaltigkeit des Rn wäre (abgesehen vom unmöglichen Namen) mMn zu speziell. Man kann dann noch abstrakte diffbare Mf. ergänzen und auf den Satz von Whitney hinweisen usw. Riemannsche Mannigfaltigkeiten haben schon einen eigenen Artikel, und komplexe Mannigfaltigkeiten brauchen einen eigenen, u.a. weil bei ihnen die Entsprechung zu Untermf. des Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb C^n} nicht gegeben ist (und sie sowieso komplett anders sind ;-).--Gunther 18:45, 30. Jul 2006 (CEST)

Da sich hier nichts mehr tut, habe ich den Text wie vorgeschlagen nach Differenzierbare Mannigfaltigkeit eingefügt; eine Überarbeitung folgt.--Gunther 12:30, 23. Nov. 2006 (CET)

Frage

Muss eine Untermannigfaltigkeit selbst eine Mannigfaltigkeit sein? -- 84.61.185.188 17:22, 17. Jun 2006 (CEST)

Ja. Das ist genauso wie bei Vektorräumen. Man definiert erst was eine Untermannigfaltigkeit beziehungsweise ein Untervektorraum ist und zeigt dann, dass dies wieder eine Mannigfaltigkeit bzw. ein Vektorraum ist. --Christian1985 (Diskussion) 16:13, 4. Nov. 2010 (CET)

Allgemeinverständlichkeit und Begriffserklärungen

Leider finde ich diesen Artikel nicht für "Lieschen Müller auf der Straße" verständlich.

Zudem fehlen ein paar weitere Informationen, um den Artikel zu verstehen. So z.B. muss man wissen, was eine Karte ist, um den Begriff Mannigfaltigkeit und damit Untermannigfaltigkeit zu verstehen.

OF

Differenzierbar oder topologisch

In der Definition werden ja Karten verwendet. Das spricht dafür, dass es um eine differenzierbare Mannigfaltigkeit (oder eine Mannigfaltigkeit mit einer anderen durch einen Atlas gegebene Struktur) geht.

Wie ist das mit topologischen Mannigfaltigkeiten? Gilt da die Definition entsprechend? -- Digamma 19:18, 5. Dez. 2010 (CET)

Für topologische Mannigfaltigkeiten gibt es die analogen Definitionen und man sollte das m.E. in den Artikel einbauen. Nebenbei bemerkt führt im Text der Link unter "Mannigfaltigkeit" zum Artikel über topologische Mannigfaltigkeiten, gemeint ist aber im Kontext des Textes "differenzierbare Mannigfaltigkeit". Bleibt die Frage: ändern wir den Link oder den Artikel? --Suhagja (Diskussion) 22:09, 19. Okt. 2012 (CEST)

Wenn der Begriff bei topologischen Mannigfaltigkeiten genauso definiert wird und auch eine Rolle spielt, dann sollten wir den Artikel entsprechend ergänzen. Hast du Literatur dazu? --Digamma (Diskussion) 12:19, 20. Okt. 2012 (CEST)

Die erste Quelle, die ich jetzt gefunden habe, ist Seite 47f. von Tamura: Topology of Foliations. Dort werden allgemein Untermannigfaltigkeiten von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle C^r} -Mannigfaltigkeiten für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r=0,1,\ldots,\infty} definiert, r=0 ist der topologische Fall. Eine deutschsprachige Quelle dürfte wohl Stöcker-Zieschang sein, aber das Buch habe ich jetzt nicht zur Verfügung. Und eine Standard-Referenz für topologische (ausdrücklich nicht-differenzierbare) Mannigfaltigkeiten ist eigentlich Kirby-Siebenmann, was ich jetzt aber auch nicht hier habe. Allgemein muss man sagen, dass viele Lehrbücher tatsächlich nur differenzierbare Mannigfaltigkeiten und Untermannigfaltigkeiten betrachten, wahrscheinlich weil man für diese den Satz über implizite Funktionen anwenden und Untermannigfaltigkeiten dann als Levelmengen regulärer Werte von Funktionen bekommen kann. Trotzdem sollte man die topologische Definition jedenfalls erwähnen und falls jemand in seiner Bibliothek Stöcker-Zieschang zu stehen hat, wäre das wohl eine gute deutschsprachige Quelle. --Suhagja (Diskussion) 07:49, 21. Okt. 2012 (CEST)

Orientierbarkeit

Gehört das wirklich in den Artikel. Da in dem Abschnitt wird die Untermannigfaltigkeit ja nur als Mannigfaltigkeit aufgefasst. Die Untermannigfaltigkeit ist orientierbar, wenn sie als Mannigfaltigkeit orientierbar ist. Interessant wäre das m.E. nur, wenn man auf den Zusammenhang mit der Orientierung der umgebenden Mannigfaltigkeit und die Orientierbarkeit des Normalenbündels eingehen würde.

Das geschieht zwar am Beispiel des Möbiusbands, aber nur sehr oberflächlich. Das Möbiusband hat aber einen eigenen Artikel, wo das besser aufgehoben wäre. Wir haben außerdem einen Artikel über die Orientierbarkeit von Flächen. Wir haben außerdem den Artikel Untermannigfaltigkeit des Rn. --Digamma (Diskussion) 20:19, 10. Nov. 2016 (CET)