Benutzer:NikelsenH/Invariante Verteilungsklasse

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Rahmenbedingungen

Gegeben sei ein Messraum $(X,{\mathcal {A}}_{X})$ und eine (multiplikativ geschriebene) Gruppe $({\mathcal {G}},\cdot )$. Sei

${\mathcal {U}}=\{u_{\gamma }\mid \gamma \in {\mathcal {G}}\}$

eine Gruppe von messbaren Transformationen auf den Messraum $(X,{\mathcal {A}}_{X})$. Dies bedeutet, dass

• Für alle $\gamma \in {\mathcal {G}}$ sind die Funktionen

$u_{\gamma }\colon (X,{\mathcal {A}}_{X})\to (X,{\mathcal {A}}_{X})$

bijektiv und bimessbar.

• Die Abbildung

$\gamma \mapsto u_{\gamma }$

ein Gruppenhomomorphismus von der Gruppe $({\mathcal {g}},\cdot )$ nach ${\mathcal {U}}$, versehen mit der Komposition von Funktionen $\circ$ ist. Für alle $\gamma _{1},\gamma _{2}\in {\mathcal {G}}$ und alle $x\in X$ gilt also

$u_{\gamma _{1}}(u_{\gamma _{1}}(x))=u_{\gamma _{1}\cdot \gamma _{2}}(x)$.

Definition

Gegeben sei eine Familie $(P_{\vartheta })_{\vartheta \in \Theta }$ von Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf $(X,{\mathcal {A}}_{X})$. Für eine messbare Funktion $f$ bezeichne $P_{\vartheta }^{f}$ das Bildmaß von $P_{\vartheta }$ unter $f$ (bzw. die Verteilung von $f$ bei Vorliegen von $P_{\vartheta }$).

Dann wird die Familie $(P_{\vartheta })_{\vartheta \in \Theta }$ genau dann (${\mathcal {U}}$-)invariant genannt, wenn

$P_{\vartheta '}^{u_{\gamma }}\in \{P_{\vartheta }\mid \vartheta \in \Theta \}$

für alle $\vartheta '\in \Theta$ und alle $\gamma \in {\mathcal {G}}$ (bzw alle $u_{\gamma }\in {\mathcal {U}}$). Die Verteilungsklasse ist also abgeschlossen bezüglich der Bildung von Bildmaßen mit den Elementen von ${\mathcal {U}}$.

Beispiel

Lokationsklasse

Gegeben ein festes Wahrscheinlichkeitsmaß ${\tilde {P}}$ auf $(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))$ und das n-fache Produktmaß ${\tilde {P}}^{n}=P$. Wähle

$(X,{\mathcal {A}}_{X})=(\mathbb {R} ^{n},{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n}))$

sowie die Gruppe reellen Zahlen, versehen mit der Addition, also $({\mathcal {G}},\cdot )=(\mathbb {R} ,+)$. Bezeichnet man mit $\mathbf {1} =(1,1,\dots ,1)$ den Einsvektor, so ist eine Gruppe von messbaren Transformationen gegeben durch

$u_{\gamma }(x)=x+\gamma \mathbf {1}$

für $\gamma \in \mathbb {R} ={\mathcal {G}}$. Die Abbildung $u_{\gamma }$ verschiebt also jeden Vektor $x$ um $\gamma$ entlang der Diagonalen.

Definiert man nun

$P_{\gamma }(A)=P^{u_{\gamma }}(A)=P(A+\gamma \mathbf {1} )$

für $A\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n})$, so ist $(P_{\gamma })_{\gamma \in \mathbb {R} }$ eine ${\mathcal {U}}$-invariante Verteilungsklasse für

${\mathcal {U}}=\{u_{\gamma }\mid \gamma \in \mathbb {R} \}$.

Die invarianz folgt dabei aus der Tatsache, dass die Verteiungsklasse durch die Transformationen $u_{\gamma }$ aus $P$ erzeugt werden. Diese Verteilungsklasse wird als Lokationsklasse bezeichnet, da sie eine Wahrscheinlichkeitsverteilung um variierende Werte $\gamma$ verschiebt.

Skalenfamilie

https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Invariance_of_a_statistical_procedure

Literatur

• Ludger Rüschendorf: Mathematische Statistik. Springer Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-41996-6, S. 250–254, doi:10.1007/978-3-642-41997-3. 
• Jürgen Hedderich, Lothar Sachs: Angewandte Statistik. Methodensammlung mit R. 15. Auflage. Springer Spektrum, Berlin Heidelberg 2016, ISBN 978-3-662-45690-3, S. 198–204, doi:10.1007/978-3-662-45691-0.