Diskussion:Maßproblem

Punkte & Flächen

Im Text wird aber für meinen Geschmack erst eine Strohpuppe aufgebaut, um die Laien (mich eingeschlossen) zu verwirren: "Später kommen krummlinig berandete Flächen wie Kreise (π mal Radius zum Quadrat) hinzu, noch später werden Flächenstücke unter Kurven betrachtet." Jetzt kommt es: "Kann man **das** [wir sprechen also von Flächen, denen Flächeninhlte zugeordnet werden] immer weiter treiben und schließlich jeder **Menge** [jetzt ist plötzlich nicht mehr von Flächen die Rede, sondern von Mengen] in der Ebene in vernünftiger Weise eine Zahl als Flächeninhalt zuordnen?"

Der Artikel geht selbstverständlich davon aus, dass klar ist, was eine "Teilmenge einer Ebene" ist. Das Beispiel deutet an: Es geht weiterhin um die Auschöpfung von Flächen, jetzt vielleicht noch toller verformten Flächen. Also wären mit "Elementen" gemeint in etwa: Die jeweils punktfremden Teilfächen einer Ebene bilden - je nach Aufteilung - je die Menge der Elemente einer Ebene.

Der Blick in die Definition von Ebene bietet aber als "Elemente" der Ebene vor allem Punkte an: (a) "man die euklidische Ebene identifizieren mit der Menge aller Paare reeller Zahlen". Damit sind diese Paare (=Punke) die Teilmengen. (b) "die Menge aller eindimensionalen Unterräume im " - sind das auch Punkte? (c) Aus meinem Matheunterricht meine ich die Def. "Menge aller Punkte, die von zwei (punktfremden) Punkten gleich weit entfernt sind" erinnern. Also sind wieder Punkte die Teilmengen,

Dass es möglich ist, jeder beliebigen Menge von Zahlenpaaren, die als in einer Ebene liegend aufgefasst werden können, einen Flächeninhalt zuzuweisen, ist in der Tat - auch einem Laien - nicht so klar.

Kann die Einleitung bitte so verbessert werden, dass die Leser/innen nicht erst in die Irre geführt werden?

Vielen Dank und viele Grüße, --Trinitrix 17:02, 12. Aug. 2011 (CEST)

Hallo Trinitrix. Vielen Dank für Deine Kritik. Dass im einleitenden Teil mit Flächen stets Teilmengen der Ebene gemeint sind, habe ich etwas deutlicher formuliert und zudem illustriert, damit der Leser hier auf den richtigen Weg gebracht wird. Es sollte hier die zunehmende Komplexität bei der Berechnung von Flächeninhalten verdeutlicht werden, auch dass habe ich präzisiert.

zu (a): Die Elemente sind in der Tat die Punkte. Die Teilmengen der Ebene sind daher Mengen von Punkten. Punkte selbst sind keine Teilmengen der Ebene, sondern eben deren Elemente.

zu (b): Eindimensionale Unterräume sind Geraden durch (0,0) und daher besondere Teilmengen.

zu (c): Teilmengen bestehen aus Punkten. Im Geometrieunterricht lernt man z.B., wie Du angedeutet hast, dass die Menge aller Punkte, die von zwei verschiedenen Punkten jeweils den gleichen Abstand haben, auf einer Geraden liegen (Mittelsenkrechte zu den Punkten). Wieder handelt es sich um eine gewisse Menge von Punkten in der Ebene und daher um eine Teilmenge der Ebene. Noch einmal: Die Punkte sind nicht die Teilmengen, sondern Telmengen bestehen aus Punkten.

Ich hoffe hier etwas Klarheit geschaffen zu haben, für weitere Fragen und Verbesserungsvorschläge stehe ich gerne zur Verfügung.--FerdiBf 18:59, 12. Aug. 2011 (CEST)

Lieber Ferdi, vielen Dank für die Erläuterungen oben und den verbesserten Text. Muss/kann es aber dann nicht im Einleitungssatz heißen: "Das Maßproblem stellt die Frage, ob man jeder **aus Punkten bestehenden** Menge in **einer** Ebene in vernünftiger Weise ein Flächenmaß, oft auch Flächeninhalt genannt, zuordnen kann." Dann ist schon mal von Anfang an klar, dass die (Teil-) Mengen aus Punkten bestehen. Viele Grüße, --Trinitrix 01:12, 15. Aug. 2011 (CEST)

Diese Ergänzung ist nicht notwendig, denn da die Ebene eine Menge von Punkten ist (unstrittig, oder?), so muss auch jede Teilmenge der Ebene eine Menge von Punkten sein, möglicher Weise leer. Eine solche Ergänzung könnte sogar in die Irre führen, da sie zu der Annahme verleiten könnte, es gäbe auch andere Teilmengen, die nicht aus Punkten bestehen. Ferner schreibe ich die Ebene (und nicht eine Ebene), weil die meisten Leser sicher die euklidische Ebene mit diesem Begriff verbinden. Im weiteren Text konkretisiere ich das dahingehend, dass die Ebene mit $\mathbb {R} ^{2}$ gleichgesetzt wird. Wenn Du ein gewisses begriffliches Unbehagen, das bei Dir möglicher Weise noch vorliegt, weiter konkretisieren könntest, so können wir gerne über weitere Klarstellungen nachdenken. --FerdiBf 21:51, 16. Aug. 2011 (CEST)

Lieber FerdiBf, ja unstrittig. Ich blicke aber auch mit dem 1/4-Wissen des Laien aud den Text. Eine Menge der Ebene kann halt intuitiv auch eine Menge von Teilflächen sein. Das ist im ersten Satz noch nicht klar, dass dies dann auch je Mengen von Punkten sind. Die Menge bestimmter Mengen ist aber kategorial etwas anderes eine Menge der Elemente die in den Einzelmengen enthalten ist. Der Übergang von Punkt zu Fläche kommt im Text Details ja auch erst dadurch zu Stande, dass dem Einheitsquadrat eine Fläche zugeordnet wird. Ist aber jede ebene Figur (Quadrat) "blos" auch eine Menge von Punkten? -- Das sind die Überlegungen, warum noch ein kleines Restunbehagen mit dem Einleitungssatz da ist. OK, bleiben wir bei **der** Ebene.

Neuer Vorschlag: "Das Maßproblem stellt die Frage, ob man jeder Menge in der Ebene in vernünftiger Weise ein Flächenmaß, oft auch Flächeninhalt genannt, zuordnen kann. **Die Mengen in der Ebene bestehen dabei stets aus Punken.**" - Damit gibt es Klärung, aber ohne die von Dir befürchteten Missverständnisse. Viele Grüße, --Trinitrix 22:20, 16. Aug. 2011 (CEST)

Die Ebene besteht aus Punkten, das heißt jedes Element der Ebene ist ein Punkt. Damit besteht auch jede Teilmenge aus Punkten, denn eine Teilmenge enthält, wie der Name suggeriert, einen Teil der Elemente der Obermenge. Eine Gerade ist eine solche Teilmenge, sie ist aber kein Element. Vielleicht kommt die Verwirrung daher, dass man Punkte, Geraden, Flächen, Kreise, usw. manchmal "Elemente der Geometrie" nennt, aber damit meint man nur Untersuchungsgegenstand. Da Du als Nicht-Mathematiker sicher nicht der einzige bist, der mit manchen mathematischen Bergiffe seine (berechtigten) Schwierigkeiten hat, habe ich den Einleitungssatz Deinem Wunsch entsprechend erweitert.--FerdiBf 15:47, 21. Aug. 2011 (CEST)

Ja super, so ist es gut! VIele Grüße, --Trinitrix 20:27, 21. Aug. 2011 (CEST)

Eigenschaften der Menge V

Mich hat hauptsächlich die Unlösbarkeit mit dem Beispiel interessiert. Aber zu 1.) ist bei der Verschiebung die Schnittmenge ja nicht zwangsläufig leer, sondern nur wenn p und q bestimmte Eigenschaften haben. Das liest sich etwas unverständlich. (nicht signierter Beitrag von Eulermatroid (Diskussion | Beiträge) 12:34, 28. Sep. 2011 (CEST))

Wenn p und q verschiedene rationale Zahlen sind, dann ist $(p+V)\cap (q+V)=\emptyset$. Wäre etwa x aus dem Durchschnitt, so gäbe es v und w aus V mit x=p+v=q+w. Daraus folgt $v+\mathbb {Q} =w+\mathbb {Q}$, das heißt v und w liegen in derselben Nebenklasse. Da aber V aus jeder Nebenklasse definitionsgemäß nur ein Element enthält, muss v=w sein, aber dann ist wegen p+v=q+w auch p=q, im Widerspruch zur Voraussetzung, dass p und q verschieden sind. Ich gebe zu, dieses Argument nicht bis in letzte Einzelheiten ausgeführt zu haben. Ähnliche Argumente sind in der Algebra nicht unüblich (V ist ein (vollständiges) Repräsentantensystem bzgl. der durch die Untergruppe $\mathbb {Q}$ definierten Äquivalenzrelation, das heißt zwei verschiedene Repräsentanten vertreten verschiedene und damit disjunkte Nebenklassen). Wenn Du es für sinnvoll hältst, könnte ich diesen Teil des Beweises auch im Haupttext weiter ausführen.--FerdiBf 17:55, 28. Sep. 2011 (CEST)

Auch ich kann die Argumentation nicht nachvollziehen, was zum Teil auch daran liegt, dass ich fachfremd bin. Ich verstehe aber nicht warum $v+\mathbb {Q} =w+\mathbb {Q}$ folgt? Aber bevor du das näher erläuterst und mit dem Risiko, dass ich es eh nicht verstehe: Wie genau darf ich mir die Menge (p+V) vorstellen? Wenn ich ganz konkret zwei Zahlen wähle p = 0.1 und q = 0.2, dann sind es zwei rationale Zahlen die unterschiedlich sind. Dann habe ich aber die Vorstellung, dass (p+V) das Intervall [0.1,1.1] ist und (q+V) das Intervall [0.2,1.2]. Der Durchschnitt dieser Mengen ist aber mit nichten leer! Er ist [0.2,1.1]! Was verstehe ich an (p+V) falsch? Beste Grüße Sparrow81-- 134.245.66.14 10:06, 27. Okt. 2011 (CEST)

Ok... Stimmst Du zu bis zu dem Satz Wäre etwa x aus dem Durchschnitt, so gäbe es v und w aus V mit x=p+v=q+w? Wenn ja, dann werde ich jetzt $v+\mathbb {Q} \subset w+\mathbb {Q}$ zeigen: Sei $y\in v+\mathbb {Q}$. Dann gibt es ein $r\in \mathbb {Q}$ mit y=v+r = v+p+r-p (nur p addiert und gleich wieder abgezogen) = w+q+r-p, weil ja v+p=w+q, und das ist aus $w+\mathbb {Q}$, da q+r-p eine rationale Zahl ist. Da $y\in v+\mathbb {Q}$ beliebig war, liegt also jedes solche y automatisch in $w+\mathbb {Q}$. Daher folgt wie behauptet $v+\mathbb {Q} \subset w+\mathbb {Q}$. Mit der gleichen Methode zeigt man auch umgekehrt $w+\mathbb {Q} \subset v+\mathbb {Q}$. Insgesamt gilt daher $v+\mathbb {Q} =w+\mathbb {Q}$.

Zu Deinem konkreten Beispiel: p+V ist nicht gleich [0.1,1.1], da V nicht alle Elemente aus dem Einheitsintervall enthält, aber darin enthalten ist. Ebenso enthält q+V nicht alle Punkte aus [0.2,1.2]. Natürlich ist [0.1,1.1] geschnitten mit [0.2,1.2] gleich [0.2,1.1] und daher nicht leer, aber der Durchschnitt der kleineren Mengen p+V und q+V ist leer. An p+V hast Du offenbar missverstanden, dass V nicht alle Punkte aus [0,1] enthält, sondern dass nur $V\subset [0,1]$ gilt.--FerdiBf 18:48, 27. Okt. 2011 (CEST)

Vielen Dank, dass du dir die Zeit genommen hast um zu Antworten. Ich werde das Posting heute abend noch einmal in Ruhe lesen. Das Beispiel ist mir nun klar geworden. Hatte es erst völlig falsch verstanden. Durch deine Antwort ist nun Licht in die Sache gekommen. Man konstruiert also eine Teilmenge mit den geforderten Eigenschaften. Wenn ich es mir richtig vorstelle, dann sollte V quasi die Menge der irrationalen Zahlen aus [0,1] sein, weil ja die Abzählung (Folge pn) von [-1,1] quasi alle rationalen Zahlen enthält. Erst dann wäre ja die 2. Forderung ([0,1] in pn+V) erfüllt. Hoffe ich habe es so richtig verstanden. Den Rest sehe ich mir mal in Ruhe an. -- 134.245.66.14 08:59, 1. Nov. 2011 (CET)

Ich habe den zweiten Teil des Beweises auch nicht verstanden. Wir mir scheint, wird eine Menge konstruiert, die nicht messbar ist. Diese Menge hat gewisse Eigenschaften und im ersten Teil des Beweises wird gezeigt, dass diese Eigenschaften dazu führen, dass die Menge nicht messbar ist. Im zweiten Teil soll offenbar gezeigt werden, dass diese Menge existiert. Den Teil kann ich so nicht verstehen.--Kstammheim (Diskussion) 22:21, 11. Apr. 2013 (CEST)

Meiner Meinung nach ist der Beweis falsch. Ich möchte das kurz erläutern. Es fängt hiermit an.

1. Sind $p$ und $q$ verschiedene rationale Zahlen, so ist $(p+V)\cap (q+V)=\emptyset$. Dabei ist $p+V$ die um $p$ verschobene Menge.

Das hat zur Folge, dass die Elemente von V allesamt irrational sind. Die Annahme, dass ein Element von V rational ist, führt zu einem Widerspruch, weil man dann ein p und ein q finden könnte, die das Element von einer Menge p+V in die andere Menge q+V verschieben könnte. Also noch einmal V ist Teilmenge von [0,1] und alle Elemente von V sind irrational. Das ist noch ganz O.K. Aber jetzt geht es weiter.

"# Ist die Folge $(p_{n})_{n\in {\mathbb {N} }}$ eine Abzählung der im Intervall $[-1,1]$ enthaltenen rationalen Zahlen, so ist $\textstyle [0,1]\subset \bigcup _{n=1}^{\infty }p_{n}+V$."

Genauer gesagt ist hiermit $[0,1]\subset \bigcup _{n=1}^{\infty }(p_{n}+V)$." gemeint, weil später im Beweis das Maß hiervon genommen wird. Dort heißt es dann: $1\leq \sum _{n=1}^{\infty }\mu (p_{n}+V)\leq 3.$ Also müsste man dort Klammern hinzufügen. Ist diese Aussage korrekt? Nein! Wieso? Nun pn ist eine Rationale Zahl und V enthält lediglich irrationale Zahlen. Addiert man eine rationale Zahl zu einer irrationalen Zahl, so ist das Ergebnis immer irrational. Da heißt also, das pn+V eine Menge von irrationalen Zahlen ist. Die Zahl 0 ist eine rationale Zahl. Folglich ist sie in keiner der Mengen pn+V enthalten, also auch nicht in der Vereinigung dieser Mengen. Also ist [0,1] nicht Teilmenge der Vereinigung dieser Mengen.

Also, ich kenne den Beweis von Vitali nicht, aber dieser Beweis stimmt so offenbar nicht. --Kstammheim (Diskussion) 18:11, 12. Apr. 2013 (CEST)

Hallo Kstammheim. Dein Argument geht von der falschen Voraussetzung aus, V enthalte nur irrationale Zahlen. Da V aus jeder Nebenklasse von $\mathbb {Q}$ genau ein Element enthält, ist in V auch eine rationale Zahl aus [0,1] vertreten. --FerdiBf (Diskussion) 07:51, 13. Apr. 2013 (CEST)

In V ist also eine einzige rationale Zahl enthalten? Da hast du Recht, das ginge. Bei zwei rationalen Zahlen wäre der Spaß allerdings vorbei, weil man dann V um die Differenz dieser Zahlen verschieben könnte, so dass der Querschnitt nicht mehr Null ist. Wenn man dann über alle rationalen Zahlen zwischen -1 und +1 verschiebt und summiert, dann erhält man alle rationalen Zahlen im Bereich [0,1]. Ich verstehe allerdings nicht, wieso man mit dieser Konstruktion alle rationalen und irrationalen Zahlen zwischen 0 und 1 abdeckt; aslo : $\textstyle [0,1]\subset \bigcup _{n=1}^{\infty }p_{n}+V$. Das bleibt mir nach wie vor schleierhaft. Kstammheim (Diskussion) 10:20, 13. Apr. 2013 (CEST)

Die Nebenklasse a+Q von Q (hinsichtlich der Addition) ist die Menge der Elemente, die ich erhalte, wenn ich jede rationale Zahl aus Q mit der zahl a addiere. Enthält die Nebenklasse eine rationale Zahl, dann ist die Nebenklasse mit Q identisch. Ist das dann auch eine Nebenklasse? Die "triviale Nebenklasse"? Alle anderen Nebenklassen von Q enthalten keine rationalen Zahlen. --Kstammheim (Diskussion) 11:16, 13. Apr. 2013 (CEST)

O.K., ich habe jetzt den zweiten Teil des Beweises verstanden, wo genau die Menge V konstruiert wird, die diese Eigenschaft besitzt. Wenn man ein beliebiges x aus [0,1] auswählt, dann liegt es in einer Nebenklasse von Q, nämlich in der Nebenklasse x+Q. Aus jeder Nebenklasse von Q wurde genau eine Zahl v Element von V ausgewählt; v liegt in [0,1]. Es gibt also eine rationale zahl r, so dass x+r=v Damit ist r=x-v eine rationale Zahl. r liegt innerhalb von [-1,+1], weil sowohl x und v innerhalb von [0,1] liegen. Da über alle rationalen Zahlen pn innerhalb von [-1,+1] vereinigt wurde, existiert eine rationale Zahl pn* = x-v. Also ist x=pn*+v Element von pn*+V, was wiederum eine Teilmenge von $\bigcup _{n=1}^{\infty }p_{n}+V$ ist. Flüssig ließt sich das aber nicht, wenn man den Beweis noch nicht kennt. --Kstammheim (Diskussion) 11:42, 13. Apr. 2013 (CEST)

Ich habe die Beweisführung im Artikel präzisiert, um das hier offenbar entstandene Missverständnis zu vermeiden. Ich hoffe, so passt es jetzt. Danke für Deine Kritik.--FerdiBf (Diskussion) 12:40, 13. Apr. 2013 (CEST)