Asymptotische Dimension

In der Mathematik ist die asymptotische Dimension eine Invariante metrischer Räume, die vor allem in der geometrischen Gruppentheorie von Bedeutung ist.

Definition

Die asymptotische Dimension $\operatorname {asdim} (X)$ eines metrischen Raumes $X$ ist die kleinste natürliche Zahl $n$ mit folgender Eigenschaft:

für jedes $R>0$ gibt es eine Überdeckung von $X$ durch offene Mengen $U_{\alpha }$ von beschränktem Durchmesser, so dass für jedes $x\in X$ die metrische Kugel $B(x,R)$ höchstens $n+1$ dieser Mengen schneidet.

Beispiele

• Die asymptotische Dimension eines kompakten Raums ist 0.
• Die asymptotische Dimension des euklidischen Raums $\mathbb {R} ^{n}$ ist $n$.
• Die asymptotische Dimension eines Gromov-hyperbolischen Raums ist $1+\dim(\partial _{\infty }X)$, wobei $\partial _{\infty }X$ den Rand im Unendlichen bezeichnet.

Eigenschaften

• Aus $Y\subset X$ folgt $\operatorname {asdim} (Y)\leq \operatorname {asdim} (X)$.
• Die asymptotische Dimension ist invariant unter Quasi-Isometrien und allgemeiner unter groben Isometrien.
• Für Produkträume gilt $\operatorname {asdim} (X\times Y)\leq \operatorname {asdim} (X)+\operatorname {asdim} (Y)$.
• Satz von Bell-Dranishnikov: Sei $X$ ein geodätischer metrischer Raum, $f\colon X\to Y$ eine Lipschitz-stetige Abbildung und für alle $R>0$ und alle $y\in Y$ sei $\operatorname {asdim} (f^{-1}(B(y,R)))\leq n$, dann gilt $\operatorname {asdim} (X)\leq \operatorname {asdim} (Y)+n$.

Weblinks

• Bell-Dranishnikov: Asymptotic Dimension