Asymptotische Dimension

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In der Mathematik ist die asymptotische Dimension eine Invariante metrischer Räume, die vor allem in der geometrischen Gruppentheorie von Bedeutung ist.

Definition

Die asymptotische Dimension eines metrischen Raumes ist die kleinste natürliche Zahl mit folgender Eigenschaft:

für jedes gibt es eine Überdeckung von durch offene Mengen von beschränktem Durchmesser, so dass für jedes die metrische Kugel höchstens dieser Mengen schneidet.

Beispiele

  • Die asymptotische Dimension eines kompakten Raums ist 0.
  • Die asymptotische Dimension des euklidischen Raums ist .
  • Die asymptotische Dimension eines Gromov-hyperbolischen Raums ist , wobei den Rand im Unendlichen bezeichnet.

Eigenschaften

  • Aus folgt .
  • Die asymptotische Dimension ist invariant unter Quasi-Isometrien und allgemeiner unter groben Isometrien.
  • Für Produkträume gilt .
  • Satz von Bell-Dranishnikov: Sei ein geodätischer metrischer Raum, eine Lipschitz-stetige Abbildung und für alle und alle sei , dann gilt .

Weblinks