Benutzer:CoTangent/Elementare Funktion Alternativvorschlag

Die elementaren Funktionen sind in der Mathematik solche Funktionen, die sich aus immer wieder auftauchenden, grundlegenden Funktionen wie z. B. Polynomen oder dem Logarithmus mittels der Grundrechenarten und Verkettung bilden lassen. Die genaue Liste der erlaubten Funktionen, aus denen elemenar genannte Funktionen zusammen gebaut sein dürfen, variiert manchmal von Autor zu Autor.

Die elementaren Funktionen ergeben sich oftmals als Lösungen einer einfachen Differential- oder Funktionalgleichung, und sind deshalb – mehr noch als die speziellen Funktionen – auch für viele Naturwissenschaften wie Physik oder Chemie grundlegend, weil sie immer wieder in den unterschiedlichsten Zusammenhängen auftreten.

Es ist für gewöhnlich relativ schwierig, zu zeigen, dass eine gegebene Funktion nicht elementar ist. Wichtige nicht elementar integrierbare Funktionen sind das Fehlerintegral und der Integralsinus. Von elementar integrierbaren Funktionen wird gesprochen, wenn die Stammfunktion einer elementaren Funktion selbst elementar ist. Auch diese Sprechweise ist nicht exakt.

Eingeführt wurden elementare Funktionen von Joseph Liouville in einer Reihe von Artikeln von 1833 bis 1841.

Definition

Meistens wird eine Funktionen elementar genannt, wenn Sie in der folgenden Liste auftaucht:

• konstante Funktionen: $2,\ \pi ,\ e,$ etc.
• Potenzfunktionen: $x,\ x^{2},\ x^{3},$ etc.
• Wurzelfunktionen: ${\sqrt {x}},\ {\sqrt[{3}]{x}},$ etc.
• natürliche Exponentialfunktion: $e^{x}$
• natürlicher Logarithmus: $\ln x$
• Trigonometrische Funktionen: $\sin x,\ \cos x,\ \tan x,$ etc.
• Inverse trigonometrische Funktionen: $\arcsin x,\ \arccos x,\arctan x$ etc.
• Hyperbolische Functionen: $\sinh x,\ \cosh x,$ etc.
• Inverse hyperbolische Funktionen: $\operatorname {arcsinh} x,\ \operatorname {arccosh} x,$ etc.

oder sich aus Funktionen in dieser Liste in endlich vielen Schritten durch Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division oder Verkettung erzeugen lässt.

Man beachte, dass die Die Nebenbedingung "in endlich vielen Schritten" ist wichtig, damit nicht zum Beispiel alle Potenzreihen elementar sind.

Beispiele

Aus der obigen Definition folgt direkt, dass folgende Funktionen alle elementar sind:

• Addition, z.B. (x+1)
• Multiplication, z.B. (2x)
• Polynomfunktionen, z.B. $7x^{5}+4x^{4}-9x^{2}+1$
• Rationale Funktionen, z.B. ${\frac {7x^{5}+4x^{4}-9x^{2}+1}{x^{4}+9}}$
• ${\dfrac {e^{\tan x}}{1+x^{2}}}\sin \left({\sqrt {1+(\ln x)^{2}}}\right)$

Gegenbeispiele

Ein Beispiel für eine nichtelementare Funktion ist die Fehlerfunktion:

• $\mathrm {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,dt.$

Dass diese Funktion nicht elementar ist, ist überhaupt nicht offensichtlich, kann aber mit dem Risch-Algorithmus gezeigt werden.

Die folgenden Funktionen sind alle elementar, besitzen aber keine elementare Stammfunktion:

• $\exp(x^{2})$
• ${\sqrt {\log(x)}}$
• ${\frac {\sin(x)}{x}}$
• $\exp(\exp(x))$
• $\log(\log(x))$

Eigenschaften der Klasse der elementaren Funktionen

Direkt aus der Definition folgt, dass die Klasse der elementaren Funktionen abgeschlossen ist unter Addition, Subtraktion, Produkt und Quotientenbildung, sowie Verkettung. Mit Hilfe der Produktregel, Quotientenregel und Kettenregel sieht man auch schnell, dass die Ableitung einer elementaren Funktion immer wieder elementar ist (sofern die Funktion differenzierbar ist).

Stammfunktionen von elementaren Funktionen sind oft nicht elementar, wie z.B. die oben erwähnte Fehlerfunktion.

Weblinks

• Elementary functions at Encyclopaedia of Mathematics
• Eric W. Weisstein: Elementary function. In: MathWorld (englisch).

Literatur

• J. H. Davenport: What Might "Understand a Function" Mean. In: M. Kauers, M. Kerber, R. Miner, W. Windsteiger: Towards Mechanized Mathematical Assistants. Springer, Berlin/ Heidelberg 2007, S. 55–65. (semanticscholar.org)
• Maxwell Rosenlicht: Liouville's Theorem on Functions with Elementary Integrals. In: Pacific Journal of Mathematics. 24, No. 1, 1968, S. 153–161.
• Maxwell Rosenlicht: Integration in Finite Terms. In: The American Mathematical Monthly. 79, 1972, S. 963–972.