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$Deus>\infty ^{\infty }>Mathematica$

Mersenne-Primzahlen

Die Mersenne-Primzahl ist eine Primzahl, die ausschließlich mit der Binärziffer "1" geschrieben wird.
binär	11	111	11111	1111111	1111111111111	11111111111111111	1111111111111111111	1111111111111111111111111111111	…
potenz	2²-1	2³-1	2⁵-1	2⁷-1	2¹³-1	2¹⁷-1	2¹⁹-1	2³¹-1	…
dezimal	3	7	31	127	8191	131071	524287	2147483647	…
Die wichtigste Eigenschaft einer Mersenne-Primzahl: „Die Anzahl der Binärziffern muss eine Primzahl sein.“

Die Mersennezahl $M_{n}$ ist eine Binärzahl, die gerade aus $n$ Einsen besteht (Zahlenpalindrom). Bei Mersenne-Primzahlen (Primzahlpalindrom) ist also die Anzahl der Einsen selbst eine Primzahl. Dies ist eine notwendige aber nicht hinreichende Voraussetzung!

Teilbarkeit von Repunits

Repunits sind Zahlen, die nur mit der Ziffer Eins geschrieben werden. Jede Repunit deren Ziffernanzahl keine Primzahl ist, ist durch jede Repunit teilbar die soviel Ziffern enthält wie ein Teiler der Ziffernanzahl des Dividenden. Beispiel: Die Zahl 111111111111 ist eine Repunit und enthält 12 Ziffern. 12 ist teilbar durch 2, 3, 4 und durch 6, deswegen ist die Zahl teilbar durch die Repunits 11, 111, 1111 und auch durch 111111. Das Ergebnis einer solchen Division ist immer eine Palindromzahl, die nur aus den Ziffern Eins und Null besteht. Das Ergebnis sieht in jedem polyadischen Zahlensystem gleich aus, obwohl diese Zahlen ganz unterschiedliche Werte darstellen.

Repunit _Basis durch Teilerrepunit _Basis:

Repunit_Basis	Teilerrepunit_Basis	Quotient_Basis	Quotient_dezimal
111111111111₂	11₂	10101010101₂	1365_dezimal
111111111111₂	111₂	1001001001₂	585_dezimal
111111111111₂	1111₂	100010001₂	273_dezimal
111111111111₂	111111₂	1000001₂	65_dezimal

Verallgemeinerung:
Repunit _b durch Teilerrepunit _b
Wobei b Element der Ganzen Zahlen >1:

Repunit_b	Teilerrepunit_b	Quotient_b
11 11 11 11 11 11_b	11_b	1 01 01 01 01 01_b
111 111 111 111_b	111_b	1 001 001 001_b
1111 1111 1111_b	1111_b	1 0001 0001_b
111111 111111_b	111111_b	1 000001_b

Fazit:
Jede als Repunit darstellbare Zahl ist teilbar (keine Primzahl), wenn die Anzahl ihrer Ziffern teilbar ist!

Repunits

Repunits sind eine Teilmenge der Repdigits. Unter den Repdigits können nur bei den Repunits Primzahlen sein.

Die ersten Zahlen dieser Art, die aus diesem Grund keine Primzahlen sein können sind:

15 (1111 Basis 2)
40 (1111 Basis 3)
63 (111111 Basis 2)
85 (1111 Basis 4)
156 (1111 Basis 5)
255 (11111111 Basis 2)
259 (1111 Basis 6)
364 (111111 Basis 3)
400 (1111 Basis 7)
511 (111111111 Basis 2)

...

Umgekehrt ist jede Primzahl p>2 in dem Stellenwertsystem mit der Basis p-1 eine 2-stellige Repunit. Besonders interessant sind aber die Repunits mit mehr als 2 Stellen die Primzahlen sind. In der Folge A085104 in OEIS sind diese Art Primzahlen aufgeführt.

Pythonprogramm Lucas-Lehmer-Test

Mit dem Lucas-Lehmer-Test läßt sich sehr schnell prüfen ob eine Mersennezahl auch eine Mersenne-Primzahl ist. Mit dem hier gezeigten Pythonprogramm können Mersennezahlen überprüft werden, wobei die Berechnungen bis zur 20ten Mersenne-Primzahl jeweils nur wenige Sekunden dauern. (Download: Portable Python 2.6.1)

#!/Lucas-Lehmer-Test für Python 2.6.1
print 'Lucas-Lehmer-Test (Mersenne-Zahlen)'
p = int(raw_input ('Exponent p  von 2^p-1'))
m=2**p-1
print 'm = 2 ^',p,'- 1 =',m
s=4
for i in range (2,p):
    s=(s*s-2)%m
print 'ist',
if s==0:
    print 'eine',
else:
    print 'keine',
print 'Mersenne-Primzahl'

Exponenten p (2^p-1) der ersten 20 Mersenne-Primzahlen

2
3
5
7
13
17
19
31
61
89
107
127
521
607
1279
2203
2281
3217
4253
4423

Repunits², besondere Palindromzahlen

Quadrate der Repunits mit b-1 Ziffern in der Basis b ergeben unvollständige Palindromzahlen der Form 123..(b-1)..321 in der entsprechenden Basis b.

Beispiel: 11111²₍₆₎=123454321₍₆₎=1555²₍₁₀₎=2418025₍₁₀₎

Die dezimalen Werte dieser Repunits sind in der Folge A060072 in OEIS aufgeführt.

Basis 2 Repunits² (Mersennezahlen²)

(2ⁿ-1)² = 2⁽ⁿ⁺¹⁾(2^(n-1)-1)+1

Repunits und Palindrome in Dreieckszahlen

Unter den Dreieckszahlen sind besondere Palindromzahlen aufgeführt. Die n-ten Dreieckszahlen bei denen n Repunits mit einer geraden Anzahl von Stellen (vollständige Palindromzahlen) sind, scheinen vollständige palindromische Dreieckszahlen zu indizieren die eine auffällige Ziffernfolge aufweisen. Tatsächlich lassen sich n-te palindromische Dreieckszahlen in Stellenwertsystemen mit gerader Basis > 2 konstruieren.

(Folge A000217 in OEIS) und Liste der Dreieckszahlen

Repunit 11_Basis n-te palindromische Dreieckszahl_Basis:

n_Basis	Dreieckszahl_Basis	n_dezimal	Dreieckszahl_dezimal
11₄	33₄	5_dezimal	15_dezimal
11₆	44₆	7_dezimal	28_dezimal
11₈	55₈	9_dezimal	45_dezimal
11₁₀	66₁₀	11_dezimal	66_dezimal
11₁₂	77₁₂	13_dezimal	91_dezimal
11₁₄	88₁₄	15_dezimal	120_dezimal
...	...	...	...

(Siehe hierzu auch: A000384)

Repunit 1111_Basis n-te palindromische Dreieckszahl_Basis:

n_Basis	Dreieckszahl_Basis	n_dezimal	Dreieckszahl_dezimal
1111₄	-	85_dezimal	-
1111₆	415514₆	259_dezimal	33670_dezimal
1111₈	516615₈	585_dezimal	171405_dezimal
1111₁₀	617716₁₀	1111_dezimal	617716_dezimal
1111₁₂	718817₁₂	1885_dezimal	1777555_dezimal
1111₁₄	819918₁₄	2955_dezimal	4367490_dezimal
...	...	...	...

Repunit 111111_Basis n-te palindromische Dreieckszahl_Basis:

n_Basis	Dreieckszahl_Basis	n_dezimal	Dreieckszahl_dezimal
111111₄	-	1365_dezimal	-
111111₆	-	9331_dezimal	-
111111₈	5162772615₈	37449_dezimal	701232525_dezimal
111111₁₀	6172882716₁₀	111111_dezimal	6172882716_dezimal
111111₁₂	7182992817₁₂	271453_dezimal	36843501331_dezimal
111111₁₄	8192AA2918₁₄	579195_dezimal	167733713610_dezimal
...	...	...	...

Je größer die Basis eines Stellenwertsystems gewählt wird, desto mehr palindromische Dreieckszahlen lassen sich konstruieren!

Die größten hexadezimalen palindromischen Dreieckszahlen dieser Art sind:

Repunit_Basis n-te palindromische Dreieckszahl_Basis:

n_Basis	Dreieckszahl_Basis	n_dezimal	Dreieckszahl_dezimal
111111111111_hex	91A2B3C4D5EE5D4C3B2A19_hex	18764998447377_dezimal	176062583365039992818313753_dezimal
11111111111111_hex	91A2B3C4D5E6FF6E5D4C3B2A19_hex	4803839602528529_dezimal	11538437463410730145064930716185_dezimal

Algorithmus

Bildungsalgorithmus für die größte palindromische Dreieckszahl in einem Stellenwertsystem mit einer geradezahligen Basis > 2.

Die n-te Dreieckszahl wird bestimmt durch eine Repunit zur ausgewählten Basis b mit b-2 Ziffern (Stellen).
Die Anzahl der Ziffern der palindromischen Dreieckszahl ist (b-3)*2, die erste Hälfte der Palindromzahl hat somit b-3 Ziffern.
Die erste Stelle der palindromischen Dreieckszahl erhält die Ziffer b/2+1.
Die zweite Stelle der ersten Hälfte der Palindromzahl (sofern vorhanden) erhält die Ziffer 1.
Die weiteren Stellen der ersten Hälfte der Palindromzahl (sofern vorhanden) erhalten die um 1 erhöhten Ziffern der vorvorherigen Stelle.
Die zweite Hälfte der palindromischen Dreieckszahl wird dann durch Anhängen der gespiegelten Ziffernfolge gebildet.

Mehr zu Dreieckszahlen

Zu: Alle Dreieckszahlen > 3 sich zusammengesetzte Zahlen

Bei allen (Dreieckszahlen > 6) - 1 handelt es sich ebenfalls um zusammengesetzte Zahlen.

Von Quadraten zu den Dreieckszahlen

Wird eine ungerade Zahl $u$ quadriert, dann 1 subtrahiert und der Differenzwert durch 8 dividiert, dann ergibt es immer eine Dreieckszahl $\Delta$ .

$\Delta =(u^{2}-1)/8=(u+1)*(u-1)/8$

Pascalsches Dreieck und Palindromzahlen

Im Pascalschen Dreieck können die Zeilen als Palindromzahlen angesehen werden, wobei die einzelnen Zahlen dann als Symbole für die Ziffern in einem b-adischen Zahlensystem stehen. Die Quersumme dieser Ziffern in einer Zeile ergeben bekanntlich Zweierpotenzen. (Siehe auch: Binomialkoeffizient)

Pythonprogramm zur Berechnung von Zeilen des Pascalschen Dreiecks. (Download: Portable Python 2.6.1)

Hier von Zeile 0 bis 50

#!Pascalsches Dreieck (Zeilen 0 bis 50 als Palindromzahlen)
b=126410606437752+1 #! Basis b muss hinreichend gross sein
                    #! mindestens gr?sste "Ziffer" + 1
for p in range (0,51):
    c=(b+1)**p      #! entspricht: c=(b+1)^p
    print""
    while c>0:
        print c%b,  #! entspricht: print c-c//b*b oder (print c mod b)
        c=c//b      #! entspricht: c=int(c/b) oder c=c\b

Repunits, Euler-Dreieck, Fakultäten

                                                0
                                             1     0    
                                          2     1     0
                                       3     4     2     0
                                    4    11    14     6     0
                                 5    26    64    66    24     0
                              6    57    244   456   384   120    0
                           7    120   846  2556  3744  2640   720    0
                        8    247  2778  12762 28944 34560 20880 5040    0

Folge A107893 in OEIS

Zweitletzte Spalte von links oben nach rechts unten n! (Fakultät)
Zweite Spalte von rechts oben nach links unten 2ⁿ-n-1 (Euler-Dreieck) oeis:A000295 und oeis:A125128
Drittletzte Spalte von links oben nach rechts unten (n(n+1)/2+1)(n-1)!
Viertletzte Spalte von links oben nach rechts unten oeis:A144335(n-2)!

Für die Zeilen gilt z.B.:

 4 | 4+11=15 |15+25=40 |40+45=85 |...
11 |11+14=25 |25+20=45 |45+26=71 |...
14 |14+ 6=20 |20+ 6=26 |26+ 6=32 |...
 6 | 6+ 0= 6 | 6+ 0= 6 | 6+ 0= 6 |...
 0

Repunits zur _Basis

4=1111₁ |15=1111₂ |40=1111₃ |85=1111₄ |...

Zweites Dreieck, Mersenne-Zahlen, Stirling-Zahlen, Fakultäten

                                                0
                                             1     0    
                                          3     1     0
                                       7     6     2     0
                                   15    25    20     6     0
                                31    90    130   90    24     0
                             63    301   700   840   504   120    0
                          127   966  3402  6300  6384  3360   720    0
                       255  3025  15540 41706 63504 55440 25920 5040    0

Zweitletzte Spalte von links oben nach rechts unten n!
Erste Spalte von rechts oben nach links unten 2ⁿ-1 (Mersenne-Zahlen)
Zweite Spalte von rechts oben nach links unten 2ⁿ-n-1 (Stirling-Zahlen der zweiten Art) oeis:A000392

Vollkommene Zahlen

Eine Zahl ist eine Vollkommene Zahl, wenn sie genauso groß ist wie die Summe ihrer positiven echten Teiler. Aus den Mersenne-Primzahlen lassen sich alle bekannten Vollkommenen Zahlen konstruieren. Die Verwandschaft läßt sich besonders leicht in der Binärdarstellung erkennen.
binär	110	11100	111110000	1111111000000	1111111111111000000000000	111111111111111110000000000000000	1111111111111111111000000000000000000	…
potenz	(2²-1)2¹	(2³-1)2²	(2⁵-1)2⁴	(2⁷-1)2⁶	(2¹³-1)2¹²	(2¹⁷-1)2¹⁶	(2¹⁹-1)2¹⁸	…
dezimal	6	28	496	8128	33550336	8589869056	137438691328	…
Der binäre Darstellung einer Vollkomenen Zahl besteht aus der Mersenne-Primzahl, gefolgt von Ziffern „0“ mit einer um eine Stelle verringerten Anzahl.

Die Vollkommenen Zahlen gehören zu den „Freiwilligen Palindromzahlen“, denn in der Binärschreibweise kann die erforderliche Anzahl der Ziffern „0“ vor der Zahl ergänzt werden, ohne dass sich der Wert der Zahl verändert.

Beispiel: 11100 = 0011100 = Freiwillige Palindromzahl

Formel:

$(2^{n}-1)2^{n-1}$ alternativ $2(2^{n-1})^{2}-2^{n-1}$

Vollkommene Zahlen (1. - 20.)

Die ersten 20 Vollkommenen Zahlen, die nach der oben angegebenen Formel mit den Mersenne-Primzahlen gebildet wurden, lauten:

6
28
496
8128
33550336
8589869056
137438691328
2305843008139952128
2658455991569831744654692615953842176
191561942608236107294793378084303638130997321548169216
13164036458569648337239753460458722910223472318386943117783728128
14474011154664524427946373126085988481573677491474835889066354349131199152128
23562723457267347065789548996709904988477547858392600710143027597506337283178622239730365539602600561360255566462503270175052892578043215543382498428777152427010394496918664028644534128033831439790236838624033171435922356643219703101720713163527487298747400647801939587165936401087419375649057918549492160555646976
141053783706712069063207958086063189881486743514715667838838675999954867742652380114104193329037690251561950568709829327164087724366370087116731268159313652487450652439805877296207297446723295166658228846926807786652870188920867879451478364569313922060370695064736073572378695176473055266826253284886383715072974324463835300053138429460296575143368065570759537328128
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40767271711094423266286789500920409509472451956754173657558947684464681715260993357605734441071512726995067528227747339481802307406017975918463751821848507118336173625166416441051751909733833921511752076653991689253045435925355114303300112240094312492366309429025181937703076074631694330891971804062290637324463063370007444165676699382865548574698013900725344417715580901794517787294713626725247616431165717354475083506329812661542345174259067891050196093969424325393268526237129649381671501429508518532700654319135658688537822432173525578067619513381189044904675194018182193349875318307576479629202619084300084497552929130566459016664436323063518973396208264181441158994259766077215199598273505770807393645474832736784296681037040447804670653738245607704296033370069548245058222346937754342008266115596746009270472531585662215058309416971412450120373149200391305139626391147758497714062124945414219545021663761325651848979096956363445054874071200187004098334242171313866643279783121709224161095222080608666106221075196556669546036212033916214620015754946773858930331944632744676736422424630471770419404321630175578272380575860947613876452571102541656491464344575071152521057073596731123384560986412117728286743021819378916115542964437048959026512685144124956065485652281953670546881779736097894174076453897164963235414848542178185638376039787558515854327876892100291586150169593481653250617283841617035992495539326209286081463451168016943400175227907739209129141984002670216279803245614932227988255785347373220924269748847852670574748163344676257876208108900678912830541369572996543783984620215364954353893838464888672671453393130927672103268849597298792373028395452767031129100333696063046099180328138782391367566104347713165495897021159454503241952055937183814515589264894586591501363147676413662843302502175075791426238440513015405476007476498747783201892106205584698383524005031036187539925202274453467202350823213372999023061199920256689198899908817944610695281886646630824678765305845231339408011870948795735488385897157930791657525540518959449984465130248721166519809265271872913736358591494923276213116461018047328995621925367809697847697726183327599265650527446129800629718921404375627930737500435684546352140119118622625161732119556975036023320412126344181833754571377867747583783758174317957011000027824913530257131124993626863404596480086028834672069335493603141485087204213357254720762673897857837928958409382883536405344396217119883289266162616394049286804626796372654015917535645430198053751867174961912991147525380624081763689015391680510756697550659469557112900507657356152843089480485079285160832736274980123243426924630558985552020642912534528

Länge der Sehne (Kreis) mit dem Pythagoras

Die Länge der Sehne in einem Kreis läßt sich berechnen, wenn der Radius des Kreises und der Abstand der Sehne vom Mittelpunkt des Kreises bekannt ist. Der Abstand a und die halbe Sehne x bilden immer die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks. Der Radius r entspricht immer der Hypotenuse. Mit dem Satz des Pythagoras läßt sich leicht die Länge der Sehne s ermitteln.

Pythagoras:

r^{2}=a^{2}+x^{2}

Formel nach x umgestellt:

x={\sqrt {r^{2}-a^{2}}}

Sehne gleich 2x:

s=2*x

Annäherung an π mit dem Pythagoras

Es gibt viele Brechnungsmethoden für die Kreiszahl π. Eine läßt sich über die Berechnung von Kreissehnen verwirklichen. Wie oben gezeigt, läßt sich die halbe Länge einer Sehne mit dem Pythagoras direkt berechnen. Werden viele halbe Sehnen zwischen Mittelpunkt und Radius berechnet, dann nähert sich der Mittelwert π/4 an, wenn der Radius 1 gewählt wird.

Besondere primitive pythagoreische Tripel

Siehe auch: Pythagoreisches Tripel

Für jede ungerade Zahl >1 gilt, wenn sie als „a“ (Gegenkathete) eines rechtwinkligen Dreiecks genommen wird, dass sich immer ein pythagoreisches Zahlentripel bilden läßt.
Die Ankathete „b“ ist zu bilden mit (a^2-1)/2
Die Hypotenuse „c“ ist zu bilden mit (a^2+1)/2
Es gilt also: (natürlich) a^2+b^2=c^2 und b+c=a^2 und b=c-1 und c ist ungerade und b gerade

Nach diesen Regeln erhält man folgende primitive pythagoreische Tripel.

a	b	c
3	4	5
5	12	13
7	24	25
9	40	41
11	60	61
13	84	85
...	...	...

Tripel mit zwei Primzahlen

Pythagoreische Tripel mit zwei Primzahlen haben immer die oben beschriebene Form. Wobei die Seiten a und c die Primzahlen sind.

Die Tabelle dieser Tripel beginnt dann wie folgt:

a_prime	b	c_prime
3	4	5
5	12	13
11	60	61
19	180	181
29	420	421
59	1740	1741
...	...	...

Für a, Folge A048161 in OEIS

Primzahl = a+b

Wenn zusätzlich die Bedingung gestellt wird, dass a+b ebenfalls eine Primzahl sein soll, dann sieht die Tabelle so aus:

a_prime	b	c_prime	a+b_(prime)
3	4	5	7
5	12	13	17
11	60	61	71
19	180	181	199
29	420	421	449
71	2520	2521	2591
...	...	...	...

Primzahl = a+b+ größter Primfaktor (b)

Wenn die Summe der größten Primfaktoren der Seiten (a+c+b)_>prime eine Primzahl ist, dann ergibt sich folgende Tabelle:

a_prime	b	c_prime	b_{>prime factor}	a+c+b_{>prime factor_(prime)}
29	420	421	7	457
199	19800	19801	11	20011
1091	595140	595141	109	596341
2711	3674760	3674761	271	3677743
3491	6093540	6093541	349	6097381
4691	11002740	11002741	67	11007499
...	...	...	...	...

Auffällig ist hier, dass viele größte Primfaktoren von b in einem besonderen Verhältnis zu a stehen. Es gibt häufig die Konstellation (a-1)/10 = b_{>prime factor}

Perfekte und Fast Perfekte Primzahlen (rechtsstutzbare Primzahlen)

Seite hierzu: Truncatable prime

Weitere Seiten:Madbros/Perfekte Primzahl und Thogo/Fast Perfekte Primzahl

Primzahlen sollen dann Perfekte Primzahlen heißen, wenn sie durch das wiederholte Anhängen einer Ziffer an eine Primzahl entstanden sind und das Anhängen jeder weiteren beliebigen Ziffer keine Primzahl mehr ergibt.
Primzahlen sollen dann Fast Perfekte Primzahlen heißen, wenn sie eine einstellige Primzahl sind oder durch das wiederholte Anhängen einer Ziffer an eine Primzahl entstanden sind. Die Perfekten Primzahlen sind somit eine Teilmenge der Fast Perfekten Primzahlen.

Die Fast Perfekten Primzahlen und die Perfekten Primzahlen sind abhängug vom verwendeten Stellenwertsystem. So gibt es im Binärsystem keine Fast Perfekten Primzahlen (und damit auch keine Perfekten Primzahlen) weil weder 0 noch 1 Primzahlen sind.

Basis₃ mit 4 Fast Perfekten Primzahlen

(Siehe hierzu auch: A129669)

(Perfekte Primzahlen sind fett gedruckt)

n	Basis₃	Dezimal
1.	2	2
2.	21	7
3.	212	23
4.	2122	71

Es gibt eine Perfekte Primzahl zur Basis₃

n	Basis₃	Dezimal
1.	2122	71

Basis₄ mit 7 Fast Perfekten Primzahlen

(Siehe hierzu auch: A129670)

(Perfekte Primzahlen sind fett gedruckt)

n	Basis₄	Dezimal
1.	2	2
2.	3	3
3.	23	11
4.	31	13
5.	233	47
6.	311	53
7.	2333	191

Es gibt 2 Perfekte Primzahlen zur Basis₄

n	Basis₄	Dezimal
1.	311	53
2.	2333	191

Basis₅ mit 14 Fast Perfekten Primzahlen

(Perfekte Primzahlen sind fett gedruckt)

n	Basis₅	Dezimal
1.	2	2
2.	3	3
3.	21	11
4.	23	13
5.	32	17
6.	34	19
7.	214	59
8.	232	67
9.	324	89
10.	342	97
11.	2322	337
12.	3244	449
13.	3422	487
14.	34222	2437

Es gibt 4 Perfekte Primzahlen zur Basis₅

n	Basis₅	Dezimal
1.	214	59
2.	2322	337
3.	3244	449
4.	34222	2437

Basis₆ mit 36 Fast Perfekten Primzahlen

(Siehe hierzu auch: A129672)

(Perfekte Primzahlen sind fett gedruckt)

n	Basis₆	Dezimal
1.	2	2
2.	3	3
3.	5	5
4.	21	13
5.	25	17
6.	31	19
7.	35	23
8.	51	31
9.	211	79
10.	215	83
11.	251	103
12.	255	107
13.	351	139
14.	515	191
15.	2115	479
16.	2151	499
17.	2155	503
18.	2511	619
19.	2551	643
20.	2555	647
21.	3515	839
22.	5155	1151
23.	21155	2879
24.	21515	2999
25.	21551	3019
26.	21555	3023
27.	25115	3719
28.	25515	3863
29.	35155	5039
30.	51551	6907
31.	51555	6911
32.	215515	18119
33.	215555	18143
34.	515511	41443
35.	515551	41467
36.	2155555	108863

Es gibt 11 Perfekte Primzahlen zur Basis₆

n	Basis₆	Dezimal
1.	31	19
2.	2555	647
3.	21155	2879
4.	21515	2999
5.	25115	3719
6.	25515	3863
7.	35155	5039
8.	215515	18119
9.	515511	41443
10.	515551	41467
11.	2155555	108863

Basis₇ mit 19 Fast Perfekten Primzahlen

(Siehe hierzu auch: A129673)

(Perfekte Primzahlen sind fett gedruckt)

n	Basis₇	Dezimal
1.	2	2
2.	3	3
3.	5	5
4.	23	17
5.	25	19
6.	32	23
7.	52	37
8.	56	41
9.	254	137
10.	256	139
11.	322	163
12.	326	167
13.	524	263
14.	566	293
15.	2564	977
16.	3262	1171
17.	5246	1847
18.	5662	2053
19.	25642	6841

Es gibt 7 Perfekte Primzahlen zur Basis₇

n	Basis₇	Dezimal
1.	23	17
2.	254	137
3.	322	163
4.	3262	1171
5.	5246	1847
6.	5662	2053
7.	25642	6841

Basis₈ mit 68 Fast Perfekten Primzahlen

(Siehe hierzu auch: A129692)

(Perfekte Primzahlen sind fett gedruckt)

n	Basis₈	Dezimal
1.	2	2
2.	3	3
3.	5	5
4.	7	7
5.	21	17
6.	23	19
7.	27	23
8.	35	29
9.	37	31
10.	51	41
11.	53	43
12.	57	47
13.	73	59
14.	75	61
15.	211	137
16.	213	139
17.	235	157
18.	277	191
19.	351	233
20.	357	239
21.	373	251
22.	513	331
23.	533	347
24.	535	349
25.	573	379
26.	577	383
27.	737	479
28.	753	491
29.	2111	1097
30.	2117	1103
31.	2135	1117
32.	2353	1259
33.	2773	1531
34.	3513	1867
35.	3517	1871
36.	3571	1913
37.	3733	2011
38.	5331	2777
39.	5355	2797
40.	5735	3037
41.	5773	3067
42.	7371	3833
43.	7531	3929
44.	7533	3931
45.	21113	8779
46.	21117	8783
47.	21177	8831
48.	21355	8941
49.	23537	10079
50.	27733	12251
51.	27735	12253
52.	35133	14939
53.	35171	14969
54.	35713	15307
55.	37333	16091
56.	53555	22381
57.	73717	30671
58.	211135	70237
59.	211177	70271
60.	277331	98009
61.	277333	98011
62.	351331	119513
63.	351717	119759
64.	535553	179051
65.	2111771	562169
66.	3513313	956107
67.	5355533	1432411
68.	21117717	4497359

Es gibt 20 Perfekte Primzahlen zur Basis₈

n	Basis₈	Dezimal
1.	513	331
2.	5331	2777
3.	5735	3037
4.	5773	3067
5.	7531	3929
6.	7533	3931
7.	21177	8831
8.	21355	8941
9.	23537	10079
10.	27735	12253
11.	35713	15307
12.	37333	16091
13.	73717	30671
14.	211135	70237
15.	277331	98009
16.	277333	98011
17.	351717	119759
18.	3513313	956107
19.	5355533	1432411
20.	21117717	4497359

Basis₉ mit 68 Fast Perfekten Primzahlen

(Siehe hierzu auch: A129693)

(Perfekte Primzahlen sind fett gedruckt)

n	Basis₉	Dezimal
1.	2	2
2.	3	3
3.	5	5
4.	7	7
5.	21	19
6.	25	23
7.	32	29
8.	34	31
9.	52	47
10.	58	53
11.	74	67
12.	78	71
13.	212	173
14.	218	179
15.	254	211
16.	322	263
17.	328	269
18.	342	281
19.	344	283
20.	528	431
21.	582	479
22.	744	607
23.	782	641
24.	784	643
25.	788	647
26.	2122	1559
27.	2182	1613
28.	2188	1619
29.	2542	1901
30.	2548	1907
31.	3224	2371
32.	3282	2423
33.	3422	2531
34.	3442	2549
35.	3444	2551
36.	5282	3881
37.	7448	5471
38.	7844	5791
39.	7884	5827
40.	21222	14033
41.	21822	14519
42.	25428	17117
43.	25484	17167
44.	32242	21341
45.	32248	21347
46.	34224	22783
47.	34228	22787
48.	34422	22943
49.	34442	22961
50.	34444	22963
51.	78442	52121
52.	78448	52127
53.	254284	154057
54.	254288	154061
55.	344222	206489
56.	344422	206651
57.	2542882	1386551
58.	2542888	1386557
59.	3442222	1858403
60.	3444224	1859863
61.	25428888	12479021
62.	34422222	16725629
63.	34442242	16738769
64.	254288882	112311191
65.	344422422	150648923
66.	2542888824	1010800723
67.	2542888828	1010800727
68.	3444224222	1355840309

Es gibt 23 Perfekte Primzahlen zur Basis₉

n	Basis₉	Dezimal
1.	582	479
2.	782	641
3.	2188	1619
4.	3282	2423
5.	5282	3881
6.	7448	5471
7.	7884	5827
8.	21222	14033
9.	21822	14519
10.	25484	17167
11.	32242	21341
12.	32248	21347
13.	34224	22783
14.	34228	22787
15.	34444	22963
16.	78442	52121
17.	78448	52127
18.	254284	154057
19.	2542882	1386551
20.	34422222	16725629
21.	2542888824	1010800723
22.	2542888828	1010800727
23.	3444224222	1355840309

Basis₁₀ mit 83 Fast Perfekten Primzahlen

(Siehe hierzu auch: A024770)

(Perfekte Primzahlen sind fett gedruckt)

n	Basis₁₀	Dezimal
1.	2	2
2.	3	3
3.	5	5
4.	7	7
5.	23	23
6.	29	29
7.	31	31
8.	37	37
9.	53	53
10.	59	59
11.	71	71
12.	73	73
13.	79	79
14.	233	233
15.	239	239
16.	293	293
17.	311	311
18.	313	313
19.	317	317
20.	373	373
21.	379	379
22.	593	593
23.	599	599
24.	719	719
25.	733	733
26.	739	739
27.	797	797
28.	2333	2333
29.	2339	2339
30.	2393	2393
31.	2399	2399
32.	2939	2939
33.	3119	3119
34.	3137	3137
35.	3733	3733
36.	3739	3739
37.	3793	3793
38.	3797	3797
39.	5939	5939
40.	7193	7193
41.	7331	7331
42.	7333	7333
43.	7393	7393
44.	23333	23333
45.	23339	23339
46.	23399	23399
47.	23993	23993
48.	29399	29399
49.	31193	31193
50.	31379	31379
51.	37337	37337
52.	37339	37339
53.	37397	37397
54.	59393	59393
55.	59399	59399
56.	71933	71933
57.	73331	73331
58.	73939	73939
59.	233993	233993
60.	239933	239933
61.	293999	293999
62.	373379	373379
63.	373393	373393
64.	593933	593933
65.	593993	593993
66.	719333	719333
67.	739391	739391
68.	739393	739393
69.	739397	739397
70.	739399	739399
71.	2339933	2339933
72.	2399333	2399333
73.	2939999	2939999
74.	3733799	3733799
75.	5939333	5939333
76.	7393913	7393913
77.	7393931	7393931
78.	7393933	7393933
79.	23399339	23399339
80.	29399999	29399999
81.	37337999	37337999
82.	59393339	59393339
83.	73939133	73939133

Es gibt 27 Perfekte Primzahlen zur Basis₁₀

n	Basis₁₀	Dezimal
1.	53	53
2.	317	317
3.	599	599
4.	797	797
5.	2393	2393
6.	3793	3793
7.	3797	3797
8.	7331	7331
9.	23333	23333
10.	23339	23339
11.	31193	31193
12.	31379	31379
13.	37397	37397
14.	73331	73331
15.	373393	373393
16.	593993	593993
17.	719333	719333
18.	739397	739397
19.	739399	739399
20.	2399333	2399333
21.	7393931	7393931
22.	7393933	7393933
23.	23399339	23399339
24.	29399999	29399999
25.	37337999	37337999
26.	59393339	59393339
27.	73939133	73939133

Basis₁₁ mit 89 Fast Perfekten Primzahlen

(Perfekte Primzahlen sind fett gedruckt)

n	Basis₁₁	Dezimal
1.	2	2
2.	3	3
3.	5	5
4.	7	7
5.	21	23
6.	27	29
7.	29	31
8.	34	37
9.	38	41
10.	3A	43
11.	54	59
12.	56	61
13.	72	79
14.	76	83
15.	214	257
16.	21A	263
17.	296	347
18.	298	349
19.	342	409
20.	386	457
21.	38A	461
22.	3A6	479
23.	544	653
24.	54A	659
25.	562	673
26.	566	677
27.	728	877
28.	766	919
29.	2146	2833
30.	214A	2837
31.	21A4	2897
32.	21AA	2903
33.	2964	3821
34.	2966	3823
35.	2988	3847
36.	3428	4507
37.	38A6	5077
38.	38AA	5081
39.	3A64	5273
40.	3A6A	5279
41.	5444	7187
42.	544A	7193
43.	54A4	7253
44.	5628	7411
45.	5664	7451
46.	566A	7457
47.	7282	9649
48.	7662	10111
49.	21A46	31873
50.	29668	42061
51.	29886	42323
52.	38A62	55849
53.	38AA6	55897
54.	38AAA	55901
55.	3A64A	58013
56.	3A6A4	58073
57.	54446	79063
58.	544AA	79133
59.	56286	81527
60.	56646	81967
61.	5664A	81971
62.	566A4	82031
63.	566AA	82037
64.	76626	111227
65.	76628	111229
66.	296682	462673
67.	296686	462677
68.	38AAA6	614917
69.	3A64A4	638147
70.	562866	896803
71.	566466	901643
72.	5664A6	901687
73.	566A46	902347
74.	566A4A	902351
75.	566AA6	902413
76.	766288	1223527
77.	2966828	5089411
78.	2966864	5089451
79.	5628666	9864839
80.	5664A66	9918563
81.	566A466	9925823
82.	7662882	13458799
83.	29668286	55983527
84.	2966864A	55983971
85.	56286664	108513233
86.	566A4664	109184057
87.	76628828	148046797
88.	29668286A	615818807
89.	29668286AA	6774006887

Es gibt 28 Perfekte Primzahlen zur Basis₁₁

n	Basis₁₁	Dezimal
1.	27	29
2.	386	457
3.	2146	2833
4.	214A	2837
5.	21AA	2903
6.	2964	3821
7.	3428	4507
8.	54A4	7253
9.	7282	9649
10.	21A46	31873
11.	29886	42323
12.	38A62	55849
13.	38AA6	55897
14.	3A6A4	58073
15.	54446	79063
16.	544AA	79133
17.	76626	111227
18.	38AAA6	614917
19.	3A64A4	638147
20.	566466	901643
21.	566A4A	902351
22.	566AA6	902413
23.	5664A66	9918563
24.	2966864A	55983971
25.	56286664	108513233
26.	566A4664	109184057
27.	76628828	148046797
28.	29668286AA	6774006887

Basis₁₂ mit 179 Fast Perfekten Primzahlen

(Perfekte Primzahlen sind fett gedruckt)

n	Basis₁₂	Dezimal
1.	2	2
2.	3	3
3.	5	5
4.	7	7
5.	B	11
6.	25	29
7.	27	31
8.	31	37
9.	35	41
10.	37	43
11.	3B	47
12.	51	61
13.	57	67
14.	5B	71
15.	75	89
16.	B5	137
17.	B7	139
18.	251	349
19.	255	353
20.	25B	359
21.	271	373
22.	277	379
23.	27B	383
24.	315	449
25.	357	499
26.	35B	503
27.	375	521
28.	377	523
29.	3B5	569
30.	3B7	571
31.	511	733
32.	517	739
33.	51B	743
34.	575	809
35.	577	811
36.	5B1	853
37.	5B5	857
38.	5B7	859
39.	5BB	863
40.	751	1069
41.	B71	1669
42.	2555	4241
43.	2557	4243
44.	2715	4481
45.	2717	4483
46.	2771	4549
47.	27B1	4597
48.	27B7	4603
49.	3155	5393
50.	315B	5399
51.	35B1	6037
52.	35B7	6043
53.	35BB	6047
54.	3755	6257
55.	375B	6263
56.	3771	6277
57.	377B	6287
58.	3B51	6829
59.	3B55	6833
60.	3B75	6857
61.	3B7B	6863
62.	5117	8803
63.	511B	8807
64.	51B7	8923
65.	575B	9719
66.	5771	9733
67.	5777	9739
68.	577B	9743
69.	5B17	10243
70.	5B1B	10247
71.	5B55	10289
72.	5B75	10313
73.	5BB1	10357
74.	7511	12829
75.	B711	20029
76.	25551	50893
77.	25577	50923
78.	27151	53773
79.	27155	53777
80.	2715B	53783
81.	27B17	55171
82.	27B77	55243
83.	31551	64717
84.	315B5	64793
85.	375B5	75161
86.	375BB	75167
87.	37715	75329
88.	3B515	81953
89.	3B557	82003
90.	3B55B	82007
91.	3B7B5	82361
92.	511B7	105691
93.	51B71	107077
94.	575BB	116639
95.	57711	116797
96.	57717	116803
97.	577B7	116923
98.	577BB	116927
99.	5B175	122921
100.	5B1B7	122971
101.	5B55B	123479
102.	5B751	123757
103.	5BB17	124291
104.	75111	153949
105.	75115	153953
106.	B7111	240349
107.	B7115	240353
108.	255515	610721
109.	255775	611081
110.	271555	645329
111.	2715B1	645397
112.	27B177	662059
113.	27B17B	662063
114.	27B771	662917
115.	375B55	901937
116.	375BB5	902009
117.	377151	903949
118.	3B5155	983441
119.	3B5157	983443
120.	3B515B	983447
121.	3B5571	984037
122.	3B557B	984047
123.	3B55B7	984091
124.	3B7B5B	988343
125.	511B77	1268299
126.	51B717	1284931
127.	575BBB	1399679
128.	577117	1401571
129.	577175	1401641
130.	577B75	1403081
131.	5B55B1	1481749
132.	5B55BB	1481759
133.	5BB171	1491493
134.	751115	1847393
135.	B71157	2884243
136.	2715551	7743949
137.	27B7715	7955009
138.	27B7717	7955011
139.	375B555	10823249
140.	375B557	10823251
141.	375BB5B	10824119
142.	3771515	10847393
143.	3B5155B	11801303
144.	3B5157B	11801327
145.	3B55715	11808449
146.	3B557B5	11808569
147.	3B557B7	11808571
148.	3B55B71	11809093
149.	3B55B77	11809099
150.	3B55B7B	11809103
151.	511B775	15219593
152.	5771171	16818853
153.	5771755	16819697
154.	5B55B1B	17780999
155.	5B55BB1	17781109
156.	5BB1711	17897917
157.	7511151	22168717
158.	7511157	22168723
159.	27B77151	95460109
160.	27B7715B	95460119
161.	27B77175	95460137
162.	375BB5B5	129889433
163.	3B5155BB	141615647
164.	3B5157B7	141615931
165.	3B557151	141701389
166.	3B557B75	141702857
167.	3B55B775	141709193
168.	3B55B7B5	141709241
169.	3B55B7BB	141709247
170.	511B7755	182635121
171.	5B55B1B5	213371993
172.	27B771511	1145521309
173.	27B771755	1145521649
174.	375BB5B51	1558673197
175.	375BB5B55	1558673201
176.	3B5571515	1700416673
177.	3B55B7755	1700510321
178.	3B55B7B57	1700510899
179.	375BB5B515	18704078369

Es gibt 61 Perfekte Primzahlen zur Basis₁₂

n	Basis₁₂	Dezimal
1.	B5	137
2.	251	349
3.	25B	359
4.	357	499
5.	517	739
6.	2717	4483
7.	2771	4549
8.	35B1	6037
9.	35B7	6043
10.	35BB	6047
11.	3755	6257
12.	377B	6287
13.	3B75	6857
14.	5117	8803
15.	5777	9739
16.	27151	53773
17.	31551	64717
18.	315B5	64793
19.	577BB	116927
20.	5B175	122921
21.	5B1B7	122971
22.	5B751	123757
23.	75115	153953
24.	B7111	240349
25.	255515	610721
26.	255775	611081
27.	2715B1	645397
28.	27B177	662059
29.	27B17B	662063
30.	3B515B	983447
31.	3B7B5B	988343
32.	51B717	1284931
33.	575BBB	1399679
34.	577B75	1403081
35.	B71157	2884243
36.	2715551	7743949
37.	375B555	10823249
38.	375B557	10823251
39.	3771515	10847393
40.	3B557B5	11808569
41.	3B55B71	11809093
42.	5771171	16818853
43.	5771755	16819697
44.	5B55BB1	17781109
45.	5BB1711	17897917
46.	7511151	22168717
47.	7511157	22168723
48.	27B7715B	95460119
49.	3B5155BB	141615647
50.	3B5157B7	141615931
51.	3B557B75	141702857
52.	3B55B7BB	141709247
53.	511B7755	182635121
54.	5B55B1B5	213371993
55.	27B771511	1145521309
56.	27B771755	1145521649
57.	375BB5B55	1558673201
58.	3B5571515	1700416673
59.	3B55B7755	1700510321
60.	3B55B7B57	1700510899
61.	375BB5B515	18704078369

Basis₁₃ mit 176 Fast Perfekten Primzahlen

(Perfekte Primzahlen sind fett gedruckt)

n	Basis₁₃	Dezimal
1.	2	2
2.	3	3
3.	5	5
4.	7	7
5.	B	11
6.	23	29
7.	25	31
8.	2B	37
9.	32	41
10.	34	43
11.	38	47
12.	52	67
13.	56	71
14.	58	73
15.	76	97
16.	7A	101
17.	7C	103
18.	B6	149
19.	B8	151
20.	232	379
21.	236	383
22.	23C	389
23.	256	409
24.	2B6	487
25.	2BA	491
26.	328	541
27.	344	563
28.	34A	569
29.	34C	571
30.	382	613
31.	386	617
32.	388	619
33.	526	877
34.	52A	881
35.	52C	883
36.	566	929
37.	584	953
38.	7A6	1319
39.	7A8	1321
40.	B6C	1949
41.	B8A	1973
42.	2324	4931
43.	2326	4933
44.	232A	4937
45.	2368	4987
46.	23C2	5059
47.	2566	5323
48.	2B66	6337
49.	2B6C	6343
50.	2BA6	6389
51.	3286	7039
52.	328A	7043
53.	3442	7321
54.	344C	7331
55.	34CA	7433
56.	3886	8053
57.	388C	8059
58.	526A	11411
59.	52C4	11483
60.	52CA	11489
61.	52CC	11491
62.	5842	12391
63.	584C	12401
64.	7A6C	17159
65.	7A8A	17183
66.	B6C2	25339
67.	B6C6	25343
68.	B6CC	25349
69.	B8A8	25657
70.	23246	64109
71.	232A6	64187
72.	232A8	64189
73.	23C2A	65777
74.	25664	69203
75.	2B666	82387
76.	2B66C	82393
77.	2B6C4	82463
78.	2B6CA	82469
79.	2B6CC	82471
80.	2BA62	83059
81.	2BA66	83063
82.	32866	91513
83.	328AC	91571
84.	34424	95177
85.	344C8	95311
86.	38864	104693
87.	3886C	104701
88.	388C6	104773
89.	388CC	104779
90.	52C48	149287
91.	52CCA	149393
92.	58424	161087
93.	5842A	161093
94.	584C8	161221
95.	7A8A2	223381
96.	B6C2C	329419
97.	B6C6C	329471
98.	23246C	833429
99.	232A62	834433
100.	232A68	834439
101.	232A8C	834469
102.	2B66CC	1071121
103.	2B6CA6	1072103
104.	2B6CC6	1072129
105.	2B6CCA	1072133
106.	2BA62A	1079777
107.	2BA62C	1079779
108.	2BA662	1079821
109.	2BA66C	1079831
110.	328664	1189673
111.	328AC6	1190429
112.	344248	1237309
113.	388642	1361011
114.	38864C	1361021
115.	3886CA	1361123
116.	388C6A	1362059
117.	388CC4	1362131
118.	52CCA2	1942111
119.	52CCAC	1942121
120.	584248	2094139
121.	5842AC	2094221
122.	7A8A26	2903959
123.	B6C2CA	4282457
124.	B6C6C8	4283131
125.	23246CC	10834589
126.	232A624	10847633
127.	232A68C	10847719
128.	2B66CC4	13924577
129.	2B66CC6	13924579
130.	2B66CCA	13924583
131.	2B6CA6C	13937351
132.	2B6CC66	13937683
133.	2B6CC6A	13937687
134.	2B6CCAC	13937741
135.	2BA62AC	14037113
136.	2BA62CC	14037139
137.	2BA6626	14037679
138.	2BA66C6	14037809
139.	328664C	15465761
140.	3886424	17693147
141.	388C6A2	17706769
142.	52CCA26	25247449
143.	52CCAC8	25247581
144.	5842484	27223811
145.	7A8A266	37751473
146.	7A8A26C	37751479
147.	B6C2CA6	55671947
148.	B6C2CA8	55671949
149.	23246CC2	140849659
150.	2B66CC66	181019533
151.	2B6CC66C	181189891
152.	2B6CC6A2	181189933
153.	2BA62ACC	182482481
154.	2BA66266	182489833
155.	388C6A24	230188001
156.	388C6A26	230188003
157.	7A8A26C4	490769231
158.	B6C2CA66	723735317
159.	B6C2CA6C	723735323
160.	B6C2CA8A	723735347
161.	2B66CC664	2353253933
162.	2B66CC66C	2353253941
163.	2B6CC6A2C	2355469141
164.	2BA66266A	2372367839
165.	2BA66266C	2372367841
166.	388C6A26C	2992444051
167.	7A8A26C46	6380000009
168.	B6C2CA668	9408559129
169.	B6C2CA66C	9408559133
170.	B6C2CA6C2	9408559201
171.	B6C2CA6C8	9408559207
172.	B6C2CA8A8	9408559519
173.	388C6A26C6	38901772669
174.	B6C2CA66C2	122311268731
175.	B6C2CA66CC	122311268741
176.	B6C2CA8A8A	122311273757

Es gibt 61 Perfekte Primzahlen zur Basis₁₃

n	Basis₁₃	Dezimal
1.	76	97
2.	7C	103
3.	34A	569
4.	382	613
5.	386	617
6.	52A	881
7.	566	929
8.	2326	4933
9.	2368	4987
10.	34CA	7433
11.	526A	11411
12.	52CA	11489
13.	7A6C	17159
14.	B6CC	25349
15.	B8A8	25657
16.	23C2A	65777
17.	25664	69203
18.	2B666	82387
19.	2B6C4	82463
20.	344C8	95311
21.	52C48	149287
22.	584C8	161221
23.	232A8C	834469
24.	328AC6	1190429
25.	344248	1237309
26.	38864C	1361021
27.	3886CA	1361123
28.	388CC4	1362131
29.	5842AC	2094221
30.	B6C6C8	4283131
31.	232A624	10847633
32.	232A68C	10847719
33.	2B66CC4	13924577
34.	2B66CCA	13924583
35.	2B6CA6C	13937351
36.	2B6CCAC	13937741
37.	2BA62CC	14037139
38.	2BA66C6	14037809
39.	328664C	15465761
40.	3886424	17693147
41.	52CCA26	25247449
42.	52CCAC8	25247581
43.	5842484	27223811
44.	7A8A266	37751473
45.	23246CC2	140849659
46.	2B6CC66C	181189891
47.	2BA62ACC	182482481
48.	388C6A24	230188001
49.	2B66CC664	2353253933
50.	2B66CC66C	2353253941
51.	2B6CC6A2C	2355469141
52.	2BA66266A	2372367839
53.	2BA66266C	2372367841
54.	7A8A26C46	6380000009
55.	B6C2CA668	9408559129
56.	B6C2CA6C2	9408559201
57.	B6C2CA6C8	9408559207
58.	388C6A26C6	38901772669
59.	B6C2CA66C2	122311268731
60.	B6C2CA66CC	122311268741
61.	B6C2CA8A8A	122311273757

Dreiecksberechnung

Siehe auch: Dreieck

Umfang:	$u=8r\cdot \cos {\frac {\alpha }{2}}\cdot \cos {\frac {\beta }{2}}\cdot \cos {\frac {\gamma }{2}}$
Inkreisradius:	$\rho =4r\cdot \sin {\frac {\alpha }{2}}\cdot \sin {\frac {\beta }{2}}\cdot \sin {\frac {\gamma }{2}}={\frac {2A}{u}}$
Umkreisradius:	$r={\frac {a}{2\sin \alpha }}={\frac {b}{2\sin \beta }}={\frac {c}{2\sin \gamma }}$
Höhenformeln:	$h_{a}=c\cdot \sin \beta =b\cdot \sin \gamma$
	$h_{b}=a\cdot \sin \gamma =c\cdot \sin \alpha$
	$h_{c}=b\cdot \sin \alpha =a\cdot \sin \beta$
Flächeninhalt:	$A={\frac {1}{2}}ah_{a}={\frac {1}{2}}bh_{b}={\frac {1}{2}}ch_{c}$
	$16A^{2}=\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)^{2}-2\left(a^{4}+b^{4}+c^{4}\right)$
	$A={\sqrt {\frac {4b^{2}c^{2}-\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right)^{2}}{16}}}$ nach a umgestellt $a={\sqrt {b^{2}+c^{2}-{\sqrt {4b^{2}c^{2}-16A^{2}}}}}$
	Heronsche Flächenformel: $A={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}$ wobei $s={\frac {a+b+c}{2}}={\frac {U}{2}}$ ist
	Vollständige Flächenformel: $A={\frac {\sqrt {2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-a^{4}-b^{4}-c^{4}}}{4}}$
Flächenschwerpunkt:	$x_{s}={\frac {1}{3}}(x_{A}+x_{B}+x_{C})$
Flächenschwerpunkt:	$y_{s}={\frac {1}{3}}(y_{A}+y_{B}+y_{C})$

Fakultät

Die Fakultät ist in der Mathematik eine Funktion, die einer natürlichen Zahl das Produkt aller natürlichen Zahlen kleiner oder gleich dieser Zahl zuordnet. Sie wird durch ein dem Argument nachgestelltes Ausrufezeichen („!“) abgekürzt.

Es gibt eine auffällige Beziehung zwischen einigen Quadratzahlen und Fakultäten.

5^2-1 = 24 = 4!
11^2-1 = 120 = 5!
71^2-1 = 5040 = 7!

Fakultäten und Primzahlen

Bis auf die Zahl 2 = 2! müssen alle größeren Fakultäten zusammengesetzte Zahlen sein, denn sie sind Produkte der natürlichen Zahlen. Wie sieht es aber mit den Fakultäten +1 aus?