Stationärer stochastischer Prozess

Ein stationärer stochastischer Prozess ist ein spezieller stochastischer Prozess und damit Untersuchungsobjekt der Wahrscheinlichkeitstheorie. Man unterscheidet

• schwach stationäre Prozesse (selten auch kovarianzstationäre Prozesse genannt)
• stark stationäre Prozesse, bei denen der Zusatz „stark“ oft weggelassen wird und man lediglich von stationären Prozessen spricht.

Beide besitzen zeitunabhängige Eigenschaften.

Definition

Zeitreihe von Residuen, nichtstationär gemäß dem Dickey-Fuller-Test

Ein stochastischer Prozess $(x_{t})_{t\in \mathbb {T} }$ heißt stark stationär, wenn die Verteilung von $(x_{s+t})_{t\in \mathbb {T} }$ nicht von der Verschiebung $s\in \mathbb {T}$ abhängt. Hier bezeichnet $\mathbb {T}$ eine beliebige Indexmenge (auf der eine binäre Operation $+$ erklärt ist), meist die ganzen Zahlen, manchmal auch die natürlichen oder die reellen Zahlen; häufig wird mit $T$ die Zeit modelliert.

Ein stochastischer Prozess $(x_{t})_{t\in \mathbb {T} }$ heißt schwach stationär (selten kovarianzstationär), wenn

1. der Erwartungswert $E$ konstant ist, d. h. für alle $t\in \mathbb {T}$ gilt $E(x_{t})=\mu$,
2. die Varianz ${\text{Var}}$ endlich ist, d. h. für alle $t\in \mathbb {T}$ gilt ${\text{Var}}(x_{t})<\infty$ und
3. die Autokovarianz nicht von der Verschiebung $s\in \mathbb {T}$ abhängt, d. h. für alle $s,t_{1},t_{2}\in \mathbb {T}$ gilt ${\text{Cov}}(x_{t_{1}},x_{t_{2}})={\text{Cov}}(x_{s+t_{1}},x_{s+t_{2}})$ mit der Kovarianz ${\text{Cov}}$.

Interpretation

Stationarität ist eine der bedeutendsten Eigenschaften stochastischer Prozesse in der Zeitreihenanalyse. Mit der Stationarität erhält man Eigenschaften, die nicht nur für einzelne Zeitpunkte gelten, sondern Invarianzen über die Zeit hinweg sind. Die Zeitreihe hat zu allen Zeitpunkten den gleichen Erwartungswert und die gleiche Varianz. (Die wichtigste Klasse von nichtstationären Prozessen sind integrierte Prozesse.)

Mit der ersten Eigenschaft kann man zu einem neuen Prozess $x_{t}-E(x_{t})$ übergehen, für den dann $E(x_{t}-E(x_{t}))=0$ gilt. Dieser Prozess wird auch zentrierter Prozess genannt. Man kann also ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, ein stationärer stochastischer Prozess habe den Mittelwert 0.

Die zweite Eigenschaft sagt schlichtweg, dass jede der Zufallsvariablen endliche Varianz hat und somit zu dem Hilbertraum $L^{2}$ gehört. Hieraus folgt dann auch, dass der Erwartungswert $E(x_{t})$ existiert.

Die dritte Forderung stellt eine Beziehung zwischen den unterschiedlichen Zeitpunkten her und ist damit die bedeutendste Eigenschaft. Sie sagt aus, dass die Kovarianzen zwischen den Zeitpunkten nicht von den beiden Zeitpunkten selbst, sondern nur von dem Abstand $r=t_{2}-t_{1}$ der beiden Zeitpunkte zueinander abhängt. Die Bedingung kann auch so formuliert werden, dass $\gamma (r)=Cov(x_{t_{1}},x_{t_{1}+r})$ eine Funktion nur einer einzigen Variablen $r$ ist. Dies hat unter anderem zur Konsequenz, dass $\Gamma =E(xx^{*})-E(x)E(x^{*})$ eine unendliche Block-Toeplitz-Matrix ist.

Geometrische Bedeutung

Die geometrische Interpretation des univariaten Falles ($n=1$) greift auf den Hilbertraum $L^{2}$ zurück, dessen Elemente die einzelnen Zufallsvariablen des Prozesses sind. Die geometrische Interpretation unterstützt das tiefere Verständnis des Begriffs der Stationarität.

Da $E(x_{t}^{2})$ eine Norm in $L^{2}$ ist, kann die Forderung $E(x_{t}^{2})=\gamma (0)$ so verstanden werden, dass alle Prozessvariablen gleich lang sind, d. h. auf einer Kugel liegen.

$E(x_{t+s}x_{t})=\gamma (s)$ sagt dann, obiger Interpretation folgend, dass für festes $s$ alle $x_{t}$ den gleichen Winkel einschließen. Erhöht man $s$ um Eins, so wird immer um denselben Winkel weitergedreht.

Forderung (ii) bedeutet nichts anderes als $\langle x_{t},1\rangle =m$, also der Winkel zwischen der Einheit und jeder Prozessvariablen ist konstant. Hier wird ein Breitengrad aus der Einheitskugel ausgeschnitten.

Stationarisierung

Eine nichtstationäre Zeitreihe stationär zu machen ist eine wichtige erste Aufgabe bei der Zeitreihenanalyse. Weit verbreitete Methoden sind hier die Bildung von Differenzen, das Umskalieren oder das Logarithmieren der Zeitreihe. Allgemeiner kann man versuchen eine stationäre Zeitreihe zu erhalten, indem man ein geeignetes Trend-Saison-Modell verwendet.

Beispiele

Der wichtigste (schwach) stationäre Prozess ist das weiße Rauschen. Des Weiteren sind noch bestimmte Gauß-Prozesse und ARMA-Modelle stationär. Von theoretischer Bedeutung sind auch noch harmonische Prozesse, die unter gewissen Bedingungen stationär sind. Des Weiteren sind Markow-Ketten, die in ihrer stationären Verteilung starten, stationäre Prozesse.

Eigenschaften

Stationäre stochastische Prozesse in diskreter Zeit, die als kanonische Prozesse gegeben sind, lassen sich als maßerhaltendes dynamisches System auffassen. Dazu definiert man den Shift-Operator $\tau$ als

$\tau ((\omega _{n})_{n\in \mathbb {N} })=(\omega _{n+1})_{n\in \mathbb {N} }$.

Dann ist $X_{n}(\omega )=X_{0}(\tau ^{n}(\omega ))$ und der Prozess entsteht durch iterierte Anwendung von $\tau$. Somit handelt es sich um ein dynamisches System, das aufgrund der Stationarität maßerhaltend ist. Darauf aufbauend lassen sich auch ergodische stochastische Prozesse definieren, für die wichtige Sätze der Ergodentheorie wie beispielsweise der individuelle Ergodensatz gelten und damit starke Gesetze der großen Zahlen für abhängige Folgen von Zufallsvariablen liefern.

Literatur

• Peter J. Brockwell, Richard A. Davis: Time Series: Theory and Methods. Springer Verlag, Berlin 2002, ISBN 0387974296
• G. E. P. Box, G. M. Jenkins: Times Series Analysis: Forecasting and Control. 3. Auflage, ISBN 0130607746