Oszillierendes Integral

Ein oszillierendes Integral ist ein Objekt aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis beziehungsweise aus der mikrolokalen Analysis. Es ist ein verallgemeinerter Integralbegriff, welcher insbesondere im Bereich der Distributionentheorie Anwendung findet. Da die Phasenfunktion den Integranden oszillieren lässt, wurde das Integral entsprechend oszillierendes Integral genannt. Eingeführt wurde dieser Begriff von Lars Hörmander.

Phasenfunktion

Definition

Eine Funktion $\phi \in C^{\infty }(X\times \mathbb {R} ^{n}\backslash \{0\})$ heißt Phasenfunktion, falls für alle $(x,\xi )\in X\times \mathbb {R} ^{n}\backslash \{0\}$

• der Imaginärteil nichtnegativ ist, das heißt

$\operatorname {Im} \phi (x,\xi )\geq 0$.

• die Funktion homogen ist, das heißt

$\phi (x,\lambda \xi )=\lambda \phi (x,\xi )$ für alle $\lambda >0$.

• das Differential ungleich null ist, das heißt

${\frac {\mathrm {d} \phi (x,\xi )}{\mathrm {d} (x,\xi )}}\neq 0$.

Beispiel

• Die Abbildungen $(x,\xi )\mapsto \pm \langle x,\xi \rangle$, wobei $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ das Standardskalarprodukt bezeichnet, sind Phasenfunktionen, welche bei der Fourier-Transformation und ihrer Rücktransformation auftreten.

Motivation

Sei $\phi$ eine Phasenfunktion wie zum Beispiel $\phi (x,\xi )=\langle x,\xi \rangle$ und sei $a\in S_{\rho ,\delta }^{m}(X\times \mathbb {R} ^{n})$ ein Symbol mit $m+k<-n,\ k\in \mathbb {N}$. Definiere weiterhin

$I_{\phi }(a)(x):=\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{i\phi (x,\xi )}a(x,\xi )\mathrm {d} \xi \in C^{k}(X)$.

Die Abbildung

$S_{\rho ,\delta }^{m}(X\times \mathbb {R} ^{n})\to C^{k}(X),\quad a\mapsto I_{\phi }(a)$

ist stetig. Diese Typen von Parameterintegralen sind im Bereich der Funktionalanalysis verbreitet. So haben zum Beispiel die Fourier-Transformation und die Zweiseitige Laplacetransformation diese Gestalt. Oder auch die Lösung der Bessel'schen Differentialgleichung

$J_{k}(\lambda )=(2\pi )^{-1}\int _{0}^{2\pi }e^{i\lambda \sin(\xi )}e^{ik\xi }\mathrm {d} \xi$

kann so notiert werden.

Fortsetzungssätze

Fourier-Transformation auf L²

Die Fourier-Transformation kann auf dem Schwartz-Raum ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})$ durch den Integraloperator

$I_{-tx}(f)(t)={\mathcal {F}}(f)(t)={\frac {1}{\left(2\pi \right)^{\frac {n}{2}}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-\mathrm {i} tx}f(x)\,\mathrm {d} x$

definiert werden. Mittels eines Dichtheitsargument kann man diesen Operator auf $L^{2}$ fortsetzen, jedoch konvergiert das Fourier-Integral nicht für jede $L^{2}$-Funktion. Der Operator muss also anders dargestellt werden.

Raum der Symbolklassen

Mit ${\mathcal {D}}'(X)$ wird der Raum der Distributionen auf $X$ und mit $S_{\rho ,\delta }^{m}(X\times \mathbb {R} ^{n})$ der Raum der Symbolklassen bezeichnet. Sei $\phi$ eine Phasenfunktion und sei $0<\rho \leq 1$, $0\leq \delta <1$. Dann gibt es genau eine Möglichkeit eine Abbildung

$I_{\phi }:S_{\rho ,\delta }^{\infty }(X\times \mathbb {R} ^{n})=\bigcup _{m\in \mathbb {R} }S_{\rho ,\delta }^{m}(X\times \mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {D}}'(X)$

zu definieren, so dass für $a\in S_{\rho ,\delta }^{m}(X\times \mathbb {R} ^{n}),\ m<-n$ das Integral

$I_{\phi }(a)(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{i\phi (x,\xi )}a(x,\xi )\mathrm {d} \xi$

existiert und die Abbildung $I_{\phi }:S_{\rho ,\delta }^{\infty }(X\times \mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {D}}'(X)$ stetig ist.

Definition

Die beiden oben erwähnten Fortsetzungssätze zeigen, dass es wünschenswert ist, einen Integralbegriff zu haben, so dass man auch die Fortsetzungen in der Integralschreibweise ausdrücken kann. Dafür kann das im Folgenden definierte oszillierende Integral verwendet werden.

Oszillierendes Integral

Sei $\chi \in C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})$ eine Abschneidefunktion mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \chi(\xi) = 1} für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |\xi| \leq 1} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \chi(\xi) = 0} für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle |\xi| \geq 2} . Außerdem sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \phi \colon \R^n \times \R^N \to \R} eine Phasenfunktion und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a \in S^m(\R^n \times \R^N)} eine Symbolklasse. Nun setzt man

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I_\phi(a)(x) := \int_{\R^N} e^{i\phi(x,\xi)} a(x,\xi) \mathrm{d}\xi := \lim_{j \to \infty} \int_{\R^N} \chi\left(\tfrac{\xi}{j}\right) e^{i\phi(x,\xi)} a(x,\xi) \mathrm{d}\xi\,}

wobei der Grenzwert im Sinne von Distributionen zu verstehen ist. Das heißt, der Grenzwert ist durch

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \langle I_\phi(a), u \rangle = \lim_{j \to \infty} \int_{\R^N} \int_{\R^n} \chi\left(\tfrac{\xi}{j}\right) e^{i\phi(x,\xi)} a(x,\xi) u(x)\mathrm{d}x \mathrm{d}\xi}

für alle Testfunktionen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle u \in \mathcal{D}(\R^n) \cong C_c^\infty(\R^n)} erklärt. Der Integralausdruck Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I_\phi} heißt oszillierendes Integral.

Oszillierender Integraloperator

Sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \phi \colon \R^n \times \R^N \to \R} wieder eine Phasenfunktion und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a \in S^m(\R^n \times \R^N)} eine Symbolklasse. Die Abbildung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle u \mapsto T_\lambda(u)(x) := I_\phi(au)(x) = \int_{\R^N} e^{i \lambda \phi(x,\xi)} a(x,\xi) u(\xi) \mathrm{d}\xi}

ist ein oszillierender Integraloperator.

Beschränktheit auf L²

Lars Hörmander zeigte, dass oszillierende Integraloperatoren unter gewissen Voraussetzungen beschränkte Operatoren auf dem Raum der quadratintegrierbaren Funktionen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L^2(\R^n)} sind.

Sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \phi} eine Phasenfunktion und die Symbolklasse Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a \colon \R^n \times \R^N \to \R} sei eine glatte Funktion mit kompaktem Träger. Dann existiert eine Konstante Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle C} , so dass

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \|T_\lambda (u)\|_{L^2(\R^n)} \leq C \lambda^{-\frac{n}{2}} \|u\|_{L^2(\R^n)}}

gilt, was bedeutet, dass der lineare Operator Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T_\lambda} auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L^2} beschränkt, also stetig, ist. Außerdem folgt aus dem Satz von Banach-Steinhaus, dass die Familie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (T_\lambda)_\lambda} von Operatoren gleichmäßig beschränkt ist.

Beispiele

Besselfunktion

→ Hauptartikel: Besselfunktion

Die Besselfunktion

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{1}{2 \pi} \int_{-\pi}^\pi e^{\mathrm{i}\,x \sin \varphi} e^{- \nu \varphi} \,\mathrm d \varphi \,. }

ist ein osszillierendes Integral mit der Phasenfunktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sin \varphi} und dem Symbol Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle e^{- \nu \varphi}} .

Fourier-Transformation

→ Hauptartikel: Fourier-Transformation

Sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a \colon \R^n \times \R^n \to \R} eine glatte Funktion mit kompaktem Träger und mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a(0,0) = \tfrac{1}{\left(2\pi\right)^{\frac{n}{2}}}} und sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \phi(x,\xi) = -\langle x, \xi \rangle} die Phasenfunktion. Durch Reskalieren kann man den oszillierenden Integraloperator

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T_\lambda(u)(x) = I_\phi(au)(x) = \int_{\R^n} e^{- i \lambda \langle x, \xi \rangle} a(x,\xi) u(\xi) \mathrm{d}\xi}

in

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tilde{T}_\lambda(u)(x) = \int_{\R^n} e^{-i\langle x, \xi \rangle} a\left(\frac{x}{\sqrt{\lambda}},\frac{\xi}{\sqrt{\lambda}}\right) u(\xi) \mathrm{d}\xi}

transformieren. Diese Familie von Operatoren ist gleichmäßig beschränkt auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L^2} und für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda \to \infty} erhält man die Fourier-Transformation

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tilde{T}_\infty(u)(x) = \mathcal{F}(u)(x) = \frac{1}{\left(2\pi\right)^{\frac{n}{2}}} \int_{\R^n} e^{-\mathrm{i} x \xi} u(\xi) \,\mathrm{d} \xi} .

Pseudodifferentialoperator

→ Hauptartikel: Pseudodifferentialoperator

Mit Hilfe des oszillierenden Integrals definiert man einen speziellen stetigen und linearen Operator

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T \colon \mathcal{S}(\R^n) \to \mathcal{S}(\R^n)}

auf den Schwartz-Raum, welcher durch

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align}T(u)(x) = I_{\langle x,\xi\rangle}(a\, \mathcal{F}(u))(x) &= \int_{\R^n} e^{i\langle x,\xi\rangle} a(x,\xi) \mathcal{F}(u)(\xi) \mathrm{d} \xi\\ &= \int_{\R^n}e^{i\langle x,\xi\rangle} a(x,\xi) \int_{\R^n} e^{-i \langle y, \xi \rangle} u(y) \mathrm{d} y\, \mathrm{d} \xi \\ &= \int_{\R^n} \int_{\R^n} e^{i\langle x - y ,\xi\rangle} a(x,\xi) u(y) \mathrm{d} y\, \mathrm{d} \xi \end{align}}

gegeben ist. Die Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a \in S^m(\R^n \times \R^n)} ist eine Symbolfunktion und der Operator Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T} heißt Pseudodifferentialoperator. Es ist eine Verallgemeinerung eines Differentialoperators. Der Integralkern dieses Operators lautet

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K(x,y) := \int_{\R^n} e^{i\langle x-y,\xi\rangle} a(x,\xi) \mathrm{d} \xi}

und ist ein typischer Schwartz-Kern.

Literatur

• Lars Hörmander: The Analysis of Linear Partial Differential Operators. Band 1: Distribution Theory and Fourier Analysis. Second Edition. Springer-Verlag, Berlin u. a. 1990, ISBN 3-540-52345-6 (Grundlehren der mathematischen Wissenschaften 256).
• Elias M. Stein: Harmonic Analysis. Real-Variable Methods, Orthogonality, and Oscillatory Integrals. Princeton University Press, Princeton NJ 1993, ISBN 0-691-03216-5 (Princeton mathematical Series 43 = Monographs in harmonic Analysis 3).
• Alain Grigis, Johannes Sjöstrand: Microlocal analysis for differential operators. An introduction. Cambridge University Press, Cambridge u. a. 1994, ISBN 0-521-44986-3 (London Mathematical Society lecture note series 196).