Endomorphismus

In der universellen Algebra ist ein Endomorphismus (von griechisch ἔνδον éndon ‚innen‘ und

μορφή

‚Gestalt‘, ‚Form‘) ein Homomorphismus $f\colon A\to A$ einer mathematischen Struktur $A$ in sich selbst. Ist $f$ zusätzlich ein Isomorphismus, wird er auch Automorphismus genannt.

In der Kategorientheorie heißt jeder Morphismus, dessen Quelle und Ziel übereinstimmen, ein Endomorphismus des fraglichen Objektes.

Die Gesamtheit der Endomorphismen eines Objektes $A$ wird mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{End}(A)} bezeichnet und bildet stets ein Monoid (das Endomorphismenmonoid oder die Endomorphismenhalbgruppe), in additiven Kategorien sogar einen (unitären) Ring, den Endomorphismenring.

Definition

Algebraische Strukturen

Sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (A,(f_i))} eine algebraische Struktur, also eine nichtleere Menge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} zusammen mit einer endlichen Anzahl an Verknüpfungen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f_i} mit entsprechenden Stelligkeiten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma_i} . Eine solche algebraische Struktur könnte beispielsweise ein Vektorraum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (A, (+, \cdot))} , eine Gruppe $(A,*)$ oder ein Ring Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (A, ( +, *))} sein. Dann versteht man in der Algebra unter einem Endomorphismus Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \phi \colon A \to A} eine Abbildung der Menge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} auf sich selbst, die ein Homomorphismus ist, das heißt, es gilt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \phi\left(f_i(a_1,\dotsc,a_{\sigma_i})\right) = f_i(\phi(a_1),\dotsc,\phi(a_{\sigma_i})) }

für alle $i$ und alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a_1, \dotsc , a_{\sigma_i} \in A} .

Kategorientheorie

Sei $X$ ein Objekt einer Kategorie. Ein Morphismus $f\colon X\to X$, der auf einem Objekt $X$ operiert, heißt Endomorphismus.

Für Kategorien von Homomorphismen zwischen algebraischen Strukturen ist die Definition äquivalent zu der im vorherigen Abschnitt.

Spezielle Strukturen

Vektorräume

Allgemeines

In der linearen Algebra ist ein Endomorphismus eines $K$-Vektorraumes $V$ eine $K$-lineare Abbildung $f\colon V\to V$. Dabei bedeutet $K$-linear (oder auch einfach linear, wenn klar ist, welcher Körper gemeint ist), dass die Gleichung

$f\left(ax+y\right)=af\left(x\right)+f\left(y\right)$

für alle $a\in K$ und alle $x,y\in V$ erfüllt. Zusammen mit der Addition der Bilder und der Komposition als Multiplikation bildet die Menge aller Endomorphismen einen Ring, den man den Endomorphismenring nennt. Werden die linearen Abbildungen durch Matrizen beschrieben, so erhält man mit der Matrizenaddition und der Matrizenmultiplikation den Matrizenring, der isomorph zum Endomorphismenring ist.

Ist der zugrundeliegende Vektorraum ein topologischer Vektorraum und betrachtet man den Vektorraum der stetigen Endomorphismen, der im Fall unendlichdimensionaler Vektorräume im Allgemeinen ein echter Unterraum des Endomorphismenraums ist, so kann man auf diesem Vektorraum aller stetiger Endomorphismen eine Topologie induzieren, sodass die Addition und die Multiplikation des Rings stetig sind. Somit ist der Endomorphismenring ein topologischer Ring.

Beispiel

Die Ableitung $\textstyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}$ ist auf dem Vektorraum der Polynome $V=\mathbb {R} [x]_{3}$ maximal dritten Grades mit reellen Koeffizienten ein Endomorphismus. Als Basis von $V$ wählt man die monomiale Basis $\textstyle \left\{1,x,x^{2},x^{3}\right\}$. Diese kann man isomorph auf die kanonische Basis des $\mathbb {R} ^{4}$ abbilden, durch $\Phi \left(x^{i}\right)=(0,\dotsc ,1,\dotsc ,0)^{t}\in \mathbb {R} ^{4}$. Die 1 steht dabei an der i-ten Stelle des 4-Tupels. Also kann man jedes Polynom aus $\mathbb {R} [x]_{3}$ als 4-Tupel darstellen, so ist zum Beispiel $\Phi \left(4x^{3}+2x+5\right)=(4,0,2,5)^{t}$. Nun kann man $\Phi$ mit $\textstyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}$ verketten und erhält für das Differential eine Matrixschreibweise:

$\Phi \circ {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\circ \Phi ^{-1}={\begin{pmatrix}0&0&0&0\\3&0&0&0\\0&2&0&0\\0&0&1&0\end{pmatrix}}$.

Wendet man diese Matrix auf obiges Beispiel $(4,0,2,5)^{t}$ an, so erhält man $(0,12,0,2)^{t}$, was dem Polynom $12x^{2}+2$ entspricht; das hätte man auch durch direktes Anwenden der Ableitung erhalten können.

Gruppen

Ein Endomorphismus auf einer Gruppe $G$ ist ein Gruppenhomomorphismus $\phi$ von $G$ nach $G$, das heißt für $\phi \colon G\to G$ gilt $\phi (gh)=\phi (g)\phi (h)$ für alle $g,h\in G$.

Siehe auch

• Monomorphismus
• Epimorphismus

Literatur

• Gerd Fischer: Lineare Algebra. ISBN 3-528-03217-0.
• M. Sh. Tsalenko: Endomorphism. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (englisch, online).