Diskussion:Geordneter Körper

Beispiele

Ich halte die Nennung der hyperreellen Zahlen und der surrealen Zahlen in diesem Zusammenhang nicht für glücklich:

• Das archimedische Axion hat bei den hyperreellen Zahlen eine "natürliche" Nonstandardfassung, in der die hyperreellen Zahlen via Transfer *archimedisch sind.
• Ähnliche Modifikationen dürften für die surrealen Zahlen nötig sein.

Vorschlag: Die Beispiele ausführen oder löschen. --KleinKlio 00:10, 12. Okt. 2006 (CEST)

Wenn die formal reellen hier via WL mitbehandelt werden, sollte man deutlicher (auch mit Beispiel) klar machen, dass in vielen (wenn auch nicht den wichtigsten Q,R) mehrere Anordnungen moeglich sind. -- Klaus von mobil. (nicht signierter Beitrag von 2003:6A:6C0D:9C01:4562:35B6:A3F6:B379 (Diskussion | Beiträge) 21:11, 20. Mai 2017 (CEST))

archimedisch

Hallo Wuzel, bin mir mit meiner Aussage (archimedisch nötig) und meinem Gegenbeispiel R(x) im Kommentar nicht 100%ig sicher. Aber prüfe deinen Edit nochmal, obe man archimedisch wirklich nicht zur vollständigen Charakterisierung von R braucht, vielleicht unterscheiden sich auch unsere Definitionen von Ordnungsvollständig(?) Danke, und nix für ungut. --KleinKlio 18:06, 12. Okt. 2006 (CEST)

Ich glaube, das wurde schonmal diskutiert, und in Reelle Zahl sollte es richtig stehen. Ordnungsvollständigkeit im Sinne der Existenz von Suprema nach oben beschränkter Mengen sollte archimedisch implizieren: Es genügt offenbar, dass jedes Element irgendwo zwischen zwei ganzen Zahlen liegt. Ansonsten setze $t=\sup \mathbb {Z}$; dann ist $t-1<t$ keine obere Schranke für $\mathbb {Z}$, also $t-1<k$ für eine ganze Zahl $k$, also $t<k+1$, Widerspruch. Oder habe ich jetzt auf die Schnelle was übersehen?--Gunther 18:20, 12. Okt. 2006 (CEST)

Danke, ja! Dein Argument widerlegt mein „Gegenbeispiel“ und zeigt IMHO auch, dass ordnungsvollständig (im Sinn deiner und der in Reelle Zahl verwendeten Suprema) archimedisch impliziert. - Da müssten wir dann schon beide etwas übersehen haben :-) Werde mal "meine" Ordnungstopologie darauf überprüfen, ob dort nicht auch Suprema (statt Suprema und Infima) reichen. (hier erledigt)--KleinKlio 20:20, 12. Okt. 2006 (CEST)

Kleines P.S.: Wie schon auf Diskussion:Reelle Zahl gesagt, ist es etwas heikel, den Cauchy-Vollständigkeitsbegriff zur Charakterisierung der reellen Zahlen zu verwenden, weil der Begriff der Metrik ja schon die reellen Zahlen voraussetzt.--Gunther 20:23, 12. Okt. 2006 (CEST)

Lemma

Ist nicht "angeordneter Körper" die gängigere Bezeichnung? -- Digamma 20:20, 7. Okt. 2010 (CEST)

Hätte ich auch gesagt... (nicht signierter Beitrag von 137.250.27.7 (Diskussion) 14:08, 2. Jan. 2017 (CET))

Echt kleiner

Im Artikel, insbesondere im Abschnitt "Eigenschaften", wird häufig das "echt kleiner"-Zeichen verwendet, ohne dass dies zuvor definiert worden wäre. Ich nehme an $a<b\Leftrightarrow a\leq b,a\not =b$?--Kamsa Hapnida (Diskussion) 02:49, 14. Aug. 2015 (CEST)

Ist das Nullelement positiv?

Wird wirklich gesagt, dass das Nullelement positiv ist? Das beißt sich doch mit dem Standardbeispiel der reellen Zahlen, in denen 0 explizit weder positiv noch negativ ist. (Zumindest in meinem Studium gehörte das Nullelement weder zum Positivbereich P noch zu -P.)

Zudem beißt sich die Idee, Null als positiv zu deklarieren, mit dem Eintrag unter "Eigenschaften", der angibt, dass alle Quadratzahlen nicht-negativ (und eben nicht einfach nur positiv) sind. (nicht signierter Beitrag von 2A02:810A:113F:CCE0:489:634A:ECEB:536E (Diskussion | Beiträge) 22:29, 1. Apr. 2017 (CEST))

Was in der Literatur üblich ist, weiß ich leider nicht, ich habe keine zur Hand. Ich habe aber den Eindruck, dass es praktischer ist, zum "Postivbereich" die 0 hinzuzunehmen, weil diese Menge dann die besseren algebraischen Eigenschaften hat. Deine Kritik trifft dann vor allem die Tatsache, dass diese Teilmenge "Positivbereich" genannt wird. --Digamma (Diskussion) 18:54, 2. Apr. 2017 (CEST)

Die Frage ist doch eher, ob die 0 als positiv gezählt wird oder nicht. Im Artikel steht: "Elemente, die größer oder gleich 0 sind, heißen positiv". Auf der englischen Seite steht hingegen "The non-zero elements of [the positive cone] P are called the positive elements of F". Letzteres deckt sich beispielsweise mit dem Buch "Analysis" von Rudin, auch wenn das keine algebraische Quelle ist. --Styxnawaiok (Diskussion) 11:17, 20. Mai 2017 (CEST)

"Letzteres deckt sich beispielsweise mit dem Buch "Analysis" von Rudin, auch wenn das keine algebraische Quelle ist." Was genau steht bei Rudin? Nur dass 0 nicht positiv ist oder etwas über die Menge P? --Digamma (Diskussion) 15:26, 20. Mai 2017 (CEST)

Ich bin mal einige zufällig ausgewählte Grundlagenbücher der Analysis durchgegangen:

- Rudin, Analysis, 3. Auflage, S.8: "Ist x>0, so nennen wir x positiv, im Fall x<0 heißt x negativ." Kein Wort zum Positivbereich.

- Walter, Analysis 1, 3. Auflage, S.7f.: "Es existiert eine Teilmenge P von R, genannt Menge der positiven Zahlen, mit den nachfolgenden Eigenschaften. (A10) Für jede reelle Zahl a gilt genau eine der drei Beziehungen a\in P oder -a\in P oder a=0. [...] Ist a\in P, so wird a positiv, ist -a\in P, so wird a negativ genannt. Jede reelle Zahl ist also entweder positiv oder negativ oder gleich Null."

- Hildebrandt, Analysis 1, 1. Auflage, S.11: "Wir nennen a\in R positiv bzw. negativ, wenn a>0 bzw. a<0 gilt. Weiter heißt a nichtnegativ, wenn a\geq 0 ist, und nichtpositiv im Falle, daß a\leq 0 ist." Kein Wort zum Positivbereich.

- Königsberger, Analysis 1, 5. Auflage, S.8: "[Die Anordnung von R] ist dadurch definiert, daß gewisse Zahlen als positiv (Schreibweise >0) ausgezeichnet sind und dafür folgende drei Axiome gelten: (A1) Für jede reelle Zahl a gilt genau eine der drei Relationen a>0, a=0, -a>0. [...] Ist -a positiv, so heißt a negativ." Der Positivbereich taucht nur indirekt als Menge der positiven Zahlen R_+ auf.

- Blatter, Analysis 1, 4. Auflage, S. 37: "Ein Element x\in K* [Anm.: das ist K ohne 0, K ein geordneter Körper] heißt positiv oder negativ, je nachdem, ob x>0 oder x<0 ist. Kein Wort zum Positivbereich.

In allen fünf Büchern wird also die 0 weder als positiv noch als negativ bezeichnet und wenn der Positivbereich erwähnt wird, enthält er nicht die Null. Styxnawaiok (Diskussion) 17:28, 24. Aug. 2017 (CEST)

Ich glaube, das ist nicht die Frage, um die es geht. Dass nur die reellen Zahlen, die größer als Null sind, "positiv" genannt werden und nur diejenigen kleiner als Null "negativ", die Null selbst aber weder positiv noch negativ ist, ist völlig unstrittig.

Es geht hier nur um die spezielle Art der Axiomatisierung geordneter Körper, bei der nicht explizit Axiome für die "kleiner"-Relation werden, sondern ein "Kegel" P von Körperelementen ausgezeichnet wird, der aus den Körperelementen besteht, die "≥ 0" sind, und Axiome für die Elemente von P formuiert werden.

Es entsteht dann die Frage, wie man diesen Bereich P nennen soll, und manche Autoren scheinen ihn "Positivbereich" zu nennen. Und dann hat man das Problem, dass die Null zum "Positivbereich" P gehört, was der üblichen Bezeichnungsweise, das Null nicht positiv ist, widerspricht bzw. zumindest zu widersprechen scheint.

Bei Formulierung der Axiome des geordneten Körpers, die direkt die Kleiner-Relation verwenden, tritt dieses Problem nicht auf. --Digamma (Diskussion) 10:25, 25. Aug. 2017 (CEST)

Ich denke schon, dass es um diese Frage geht. Im Artikel wird explizit der Körper der reellen Zahlen als Beispiel eines geordneten Körpers genannt, und überdies wird gesagt: "Elemente, die größer oder gleich 0 sind, heißen positiv, Elemente kleiner oder gleich 0 heißen negativ." Das impliziert, dass eben doch die reelle Null sowohl positiv als auch negativ sei, obwohl das dem normalen Sprachgebrauch (zumindest im Bereich der reellen Zahlen) widerspricht.

Das hat erstmal nichts mit der Bezeichnung des Positivbereichs zu tun (der auch erst nach obiger Festlegung davon, was positiv ist und was nicht, eingeführt wird.) Den kann man von mir aus gerne Positivbereich nennen (Nicht-Negativ-Bereich ist gewiss ungebräuchlich, wenn es überhaupt schonmal irgendwo stand), auch wenn er die 0 enthält (was nicht sein muss, siehe Walter, und so habe ich das auch gelernt). Mathematiker sind bei solchen Dingen eh etwas lasch und meinen, wenn sie von einer positiven (reellen) Zahl sprechen in der Regel eine nicht-negative.

Eine kleine Anekdote: Ein Nicht-Mathematiker meinte, mir mit Verweis auf eben diese Wikipediaseite erklären zu wollen, dass die 0 für gemeinhin als positiv erachtet wird, obwohl das, wie du selbst sagst, unstrittig nicht dem Sprachgebrauch entspricht. Das war der Grund, weshalb ich mich überhaupt erst hier angemeldet habe.Styxnawaiok (Diskussion) 10:47, 2. Sep. 2017 (CEST)

Man möchte definitiv nicht, dass die 0 positiv ist (und auch nicht negativ). Das gehört umseitig gründlich überarbeitet. --Jobu0101 (Diskussion) 11:22, 26. Okt. 2019 (CEST)

Beispiel Komplexe Zahlen nicht korrekt?

Laut Artikel heißt es: "Die komplexen Zahlen können nicht angeordnet werden, da die Eigenschaft $0\leq a^{2}$ durch die imaginäre Einheit $\mathrm {i}$ wegen $\mathrm {i} ^{2}=-1$ verletzt wird."

Ich denke aber, dass die Anordnung der komplexen Zahlen nicht an der zweiten Eigenschaft scheitert, sondern an der ersten:

z.B. gilt für die imaginäre Einheit $\mathrm {i}$ weder, dass $\mathrm {i} <0$ oder $\mathrm {i} =0$ oder $\mathrm {i} >0$. Und genau deswegen kann man das Arugment oben dann gar nicht anwenden, denn $\mathrm {i}$ verletzt gar nicht $0\leq a^{2}$, die zweite Eigenschaft gilt nur für Elemente $a>0$. Mit $a:=\mathrm {i}$ wäre diese Voraussetzung nicht mal erfüll.t

An dieser Stelle: kennt jemand eigentlich einen Körper, der die erste Bedingung (also mit alle Elemente sind >, < oder = 0) erfüllt, aber nicht die zweite? (nicht signierter Beitrag von Taleofwoe (Diskussion | Beiträge) 13:04, 27. Nov. 2020 (CET))

@Taleofwoe: Ich sehe es so: Dass die komplexen Zahlen $\mathbb {C}$ nicht angeordnet werden können, ist die „Wirkung“. Deren „Ursache“ ist, dass es ein $x\in \mathbb {C}$ mit $x^{2}=-1$ gibt. (Denn wäre $\mathbb {C}$ angeordnet, dann müsste $0<1$ und $-1<0$ sein. Ferner $x\cdot x>0$ für ein $x>0,$ aber halt auch $x\cdot x>0$ für ein $x<0.$ Woraus $x^{2}\geq 0$ folgen müsste für alle $x\in \mathbb {C} .$) Eine weitere Folge ist, dass für $\mathrm {i}$ weder $\mathrm {i} <0$ noch $\mathrm {i} =0$ noch $\mathrm {i} >0$ mit den anderen Erwartungen arithmetischer und ordnungstheoretischer Art zu schaffen ist. Zugegeben, das ist extrem ähnlich mit dem Endergebnis „$\mathbb {C}$ kann nicht angeordnet werden“. Und nimmt man es als Ursache, dann wäre die Wirkung trivial. Aber es fehlt halt total eine Herleitung dieser Ursache „weder Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{i} < 0 } noch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{i} = 0 } noch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{i} > 0 } .“ –Nomen4Omen (Diskussion) 20:55, 27. Nov. 2020 (CET)

Die Aussage heißt "kann nicht angeordnet werden". Man könnte zum Beispiel festsetzen, dass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a + b \mathrm i < c + d \mathrm i} , wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b < d} oder Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle b=d} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a < c} gilt. Damit wäre eine totale Ordnung definiert (nsbesondere wäre Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0 < \mathrm i} ), die die erste Eigenschaft erfüllt. Aber die zweite Eigenschaft wäre nicht erfüllt. --Digamma (Diskussion) 20:58, 27. Nov. 2020 (CET)