Diskussion:Tangens und Kotangens

graf der tan-funktion

nicht sehr vielsagend

Das Bild der Tangensfunktion ist ja nicht gerade sehr vielsagend. Hier sollte man in der nächsten Zeit mal ein aussagekräftigeres Bild einfügen (ich arbeite zur Zeit auch daran). Man sollte schon erkennen können, dass z.B. tan 45° = 1 ist. Ebenso die Werte für z.B. 90° (unendlich) sind ja wohl nicht ganz richtig dargestellt. Ich weiss, dass das nicht ganz einfach und mit Arbeit verbunden ist. Dies soll auch keine große Kritik an den bisherigen Autoren sein. aber vielleicht kann man die Darstellung doch noch verbessern. Wie gesagt, ich arbeite auch daran. Siehe auch meine Anmerkung zu Cotangens. --Petflo2000 17:33, 12. Sep 2004 (CEST)

Das Bild inzwischen hervorragen von http://de.wikipedia.org/wiki/Benutzer:Wfstb ergänzt. --Petflo2000 15:54, 12. Jan 2005 (CET)

Bild von Tangens

Bei dem Bild der Tangensfunktion hat sich ein Fehler eingeschlichen. An der Stelle zwischen 5/4*pi und 7/4*pi steht etwas von 2/3*pi... Das müsste nach meinem Verständnis 3/2*pi (drei Halbe Pi) heißen! Mehr Fehler hab ich jetzt nicht gesucht - bei der Kotangensfunktionsabbildung hat sich allerdings der selbe Fehler eingeschlichen. Da ich keinerlei Ahnung von Wikipedia habe, überlass ich die Korrektur den Profis.

Sollte ich einen schlechten Tag haben und es stimmen, dann vergleiche man den positiven Wert einmal mit dem negativen Pendant - da ergibt sich ein Widerspruch...

Du hast anscheinend Recht. Ich habe den Autor des Bildes (Matt314) verständigt: Benutzer_Diskussion:Matt314#Image:Tan.svg --NeoUrfahraner 13:49, 2. Nov. 2006 (CET)

Danke für den Hinweis, ist schon repariert. --Matt314 15:27, 2. Nov. 2006 (CET)

Graph von Tangens/Kotangens

Hi, was scheinbar noch niemandem aufgefallen ist, dass bei dem Graphen die Legende fehlt. Wie soll ein ratsuchender Mensch erkennen, was denn nun welche Funktion darstellt? Jede Graphik muss eine Legende besitzen! Meine 2 Cent -- fab 18:22, 3. Aug. 2007 (CEST)

Erweitern

Ist insgesamt sehr knapp, es fehlen zB die Bijektivität $(-\pi /2,\pi /2)\to (-\infty ,\infty )$ und die $\pi$-Periodizität.--Gunther 02:05, 29. Mär 2005 (CEST)

Bijektivität erledigt.--UrsZH 14:23, 29. Sep 2005 (CEST)

Differentialgleichung

Sollte das nicht besser als Beispiel in Riccati-Differentialgleichung stehen? Denn ich kann keinen Informationsgewinn für den Tangens selbst erkennen; dass der Tangens die Werte $\{\pm \mathrm {i} \}$ nicht annimmt, folgt auch schon aus

$1+\tan ^{2}x={\frac {1}{\cos ^{2}x}}\not =0.$

--Gunther 14:13, 31. Mär 2005 (CEST)

Zusammenführung

History von Artikel "Kotangens

   * (Aktuell) (Vorherige)  02:41, 16. Jan 2006 Bsmuc64 (Revert)
   * (Aktuell) (Vorherige) 19:09, 14. Jan 2006 Bsmuc64 (Redirect)
   * (Aktuell) (Vorherige) 20:30, 8. Jan 2006 Avatar (→Definition - b/a | a/b | tangens... jetzt ist es richtig, oder?)
   * (Aktuell) (Vorherige) 20:24, 8. Jan 2006 Gunther (→Reihenentwicklung)
   * (Aktuell) (Vorherige) 01:54, 4. Jan 2006 Bsmuc64
   * (Aktuell) (Vorherige) 01:43, 4. Jan 2006 Bsmuc64
   * (Aktuell) (Vorherige) 21:35, 2. Jan 2006 Bsmuc64 K
   * (Aktuell) (Vorherige) 16:01, 2. Jan 2006 Bsmuc64
   * (Aktuell) (Vorherige) 13:42, 2. Jan 2006 Bsmuc64
   * (Aktuell) (Vorherige) 03:44, 1. Jan 2006 Bsmuc64 K
   * (Aktuell) (Vorherige) 13:33, 14. Okt 2005 Petflo2000 K (entbehrliche Klammern entfernt)
   * (Aktuell) (Vorherige) 10:15, 14. Okt 2005 132.187.63.80
   * (Aktuell) (Vorherige) 16:01, 8. Okt 2005 80.81.1.177 (revert (Verwechslung mit Umkehrfunktion möglich))
   * (Aktuell) (Vorherige) 13:34, 8. Okt 2005 212.19.59.2
   * (Aktuell) (Vorherige) 20:11, 25. Jan 2005 Fredstober (+Kat)
   * (Aktuell) (Vorherige) 15:48, 24. Jan 2005 Fredstober K (+Nav)
   * (Aktuell) (Vorherige) 12:06, 19. Dez 2004 Wfstb (Neues Bild)
   * (Aktuell) (Vorherige) 07:46, 7. Nov 2004 80.81.1.5 (Kategorie)
   * (Aktuell) (Vorherige) 19:18, 11. Sep 2004 Matthy K
   * (Aktuell) (Vorherige) 19:18, 11. Sep 2004 Matthy (→Umkehrfunktion)
   * (Aktuell) (Vorherige) 17:56, 1. Sep 2004 ¡0-8-15!
   * (Aktuell) (Vorherige) 15:04, 22. Aug 2004 Juesch
   * (Aktuell) (Vorherige) 15:03, 22. Aug 2004 Juesch K
   * (Aktuell) (Vorherige) 15:00, 22. Aug 2004 80.139.144.232 (Inhalt mit Artikel 'Cotangens' zusammengelegt (war doppelt vorhanden))
   * (Aktuell) (Vorherige) 11:39, 15. Mai 2004 RobbyBer (+ Bild Kotankesfunktion)
   * (Aktuell) (Vorherige) 14:29, 2. Mai 2004 130.83.244.129
   * (Aktuell) (Vorherige) 17:39, 11. Mär 2004 Piefke
   * (Aktuell) (Vorherige) 17:38, 11. Mär 2004 Piefke
   * (Aktuell) (Vorherige) 15:31, 11. Sep 2003 HenrikHolke K

Asymptoten

Zitat: Weder die Tangensfunktion noch die Kotangensfunktion haben Asymptoten, Sprungstellen oder Extrema.

Nach der mir geläufigen Definition von Asymptote haben die beiden Funktionen jeweils bei den Polen sehr wohl Asymptoten. --NeoUrfahraner 18:24, 17. Jan 2006 (CET)

Das müssen sie eigentlich auch, da z.B. beim Tangens von k·90° durch Null geteilt wird (oder?). --Edoardo 19:57, 2. Mai 2006 (CEST)

definition

definitions- und wertebereiche

gudn tach! die definition hier im artikel ist mehr die variante, die man in der schule lernt. $\tan x={\frac {1}{\cot x}}$ gilt naemlich gar nicht fuer alle $x$ aus dem definitionsbereich von $\tan$. fuer $x=k\pi \ (k\in \mathbb {N} )$ ist $\tan x=0$ aber $\cot x$ nicht definiert.
mehr sinn macht es imho separat, also z.b.
$\tan x:={\frac {\sin x}{\cos x}}\ \forall x\in \mathbb {C} \setminus \left\{{\frac {2k+1}{2}}\pi :k\in \mathbb {Z} \right\}$,
$\cot x:={\frac {\cos x}{\sin x}}\ \forall x\in \mathbb {C} \setminus \left\{k\pi :k\in \mathbb {Z} \right\}$. -- seth 20:17, 17. Mai 2006 (CEST)

Die andere Interpretationsmöglichkeit ist: Es handelt sich um eine Gleichheitsaussage für zwei meromorphe Funktionen.--Gunther 14:34, 18. Mai 2006 (CEST)

schon, sollte das dann aber nicht auch so im artikel geschrieben stehen? -- seth 10:09, 19. Mai 2006 (CEST)

Ich habe das mal leicht abgewandelt in den Artikel hineingeschrieben. — MovGP0 21:44, 31. Jan. 2008 (CET)

und ich hab's noch mal ueberarbeitet. es waren noch kleine fehler drin. -- seth 01:28, 6. Feb. 2008 (CET)

Definition

Es wird oft gefragt warum gerade Wissenschaftliche Taschenrechner keine Cot Taste besitzen. Ich würde es am liebsten so oder ähnlich ergänzen.

Daraus folgt unmittelbar: :$\cot \alpha ={\frac {1}{\tan \alpha }}=\tan ^{-1}$ (nicht zu verwechseln mit Arcustangens). Aus Diesem Zusammenhang wird klar, warum man die Cot Taste auch nicht bei wissenschaftlichen Taschenrechnern anwendung findet: Weil diese ohne Mühe mit einem ${\frac {1}{tan\alpha }}$Bruch oder negativem tan Exponenten realisiert werden kann. Vielleicht kann das jemand besser ausformulieren.--Mordwinzew 23:40, 5. Jul. 2007 (CEST)--Mordwinzew 23:40, 5. Jul. 2007 (CEST)

Könnte man evtl. einbauen, es gehört aber wohl eher in den Artikel Taschenrechner; siehe auch Diskussion:Taschenrechner#Kotangens-Taste. --NeoUrfahraner 09:26, 6. Jul. 2007 (CEST)

Definition/Erläuterung zu Anfang:

Eine kurze Erklärung was Tangens überhaupt ist und wofür man die Funktion praktisch benutzten kann wäre hilfreich für Leute die sich nicht sonderlich gut mit Mathematik auskennen und vielleicht zum ersten Mal von einer Tangens Funktion gehört haben. Das macht die Sache für den Laien verständlicher (nicht signierter Beitrag von 62.143.120.70 (Diskussion) 2008-02-14T19:30:41)

Und ein Einheitskreis wie in http://www.mathe-online.at/mathint/wfun/grafiken/tancot.gif wäre doch wesentlich verständlicher.... (nicht signierter Beitrag von 178.114.93.85 (Diskussion) 10:57, 9. Aug. 2010 (CEST))

Wende"punkte"

Es sind nur Stellen angegeben!!

Fliesstext

Als Nicht-Mathematiker wünsche ich mir erläuternden Fliesstext, sowie erläuternde Beispielen aus dem Alltag. Gruss, --Markus 17:22, 23. Dez. 2007 (CET)

Ein Vorschlag und eine Frage

(V) Bei "Wichtige Funktionswerte" Winkel (auch) im Bogenmaß nennen, evt. neue Spalte dafür nötig?

(F) Bei der Reihenentwicklung: Wie errechnen sich da die Koeffitienten von cot ??

--217.248.86.65 14:50, 20. Jul. 2008 (CEST)

cot Koeffizienten habe ich dazugefügt. --NeoUrfahraner 21:09, 21. Jul. 2008 (CEST)

Eine Frage, sollte man nicht auch die Winkelfunktion mit aufnehmen? (bei Tangens)

Zwei Picardsche Ausnahmewerte?

Wer hat denn das fabriziert? Der Satz von Picard (klein und groß) spricht nur von einem Ausnahmewert und gilt nur für nicht-konstante ganze Funktionen. Der Tangens ist keine ganze Funktion, nicht einmal "im Reellen". --Stefan Neumeier 15:16, 7. Jun. 2010 (CEST)

Habs jetzt geändert. --Stefan Neumeier 18:13, 22. Aug. 2010 (CEST)

Rechtwinkliges Dreieck

Der Tangens am rechtwinkligen Dreieck ist nur erklärt, falls der Winkel alpha kleiner als 90 Grad ist. (nicht signierter Beitrag von 141.2.140.62 (Diskussion) 14:19, 30. Mär. 2012 (CEST))

Zumindest in der Euklidischen Geometrie -- und davon gehen wir hier mal aus -- ist das immer so. Das geht schon wegen der Winkelsumme im Dreieck (die ist immer 180°) nicht anders; was »verhindert«, daſs zwei Winkel in einem Dreieck 90° oder mehr haben.

--188.192.85.131 09:06, 16. Aug. 2012 (CEST)

Reihenentwicklung

Etwas an der Reihenentwicklung kann nicht stimmen. Im Artikel wird folgende Definition genannt:

${\begin{aligned}\tan x&=x+{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {2}{15}}x^{5}+{\frac {17}{315}}x^{7}+\dotsb \\&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}\cdot 2^{2n}\cdot \left(2^{2n}-1\right)\cdot B_{2n}}{(2n)!}}x^{2n-1}.\end{aligned}}$

Die Reihe oben und unten stimmen nicht überein. Oben werden nur positive Summanden angegeben, während unten auch negative auftreten (wegen $(-1)^{n-1}$). Es sieht so aus, als ob der Ausdruck $(-1)^{n-1}$ versehentlich in die Formel gerutscht wäre. Auf der folgenden Seite wird die Formel ohne diese Komponente angegeben und würde somit mit der angegebenen Form ohne Summenzeichen übereinstimmen:

http://www.mathematische-basteleien.de/tangens.htm (nicht signierter Beitrag von 217.254.139.90 (Diskussion) 01:00, 12. Apr. 2013 (CEST))

Das Problem ist hier, dass es verschiedene Schreibweisen für die Bernoulli-Zahlen gibt. In unserem Artikel haben die $B_{2n}$ wechselnde Vorzeichen, also müsste es eigentlich so stimmen. -- HilberTraum (Diskussion) 10:04, 12. Apr. 2013 (CEST)

Dann fände ich es klarer $|B_{2n}|$ zu schreiben statt $(-1)^{n-1}\cdot B_{2n}$. --217.94.248.87 23:04, 16. Jul. 2013 (CEST)

Steigung / Gefälle

Die Prozentangaben hierzu entsprechen nicht unmittelbar dem Tangens, sondern tan*100 --91.47.153.106 02:08, 20. Dez. 2015 (CET)

Danke für den Hinweis, ich habe es soeben ausgebessert.--Franz 08:25, 20. Dez. 2015 (CET)

(Ko-)Tangens-Darstellung von Sinus und Kosinus

Im Abschnitt Tangens und Kotangens#(Ko-)Tangens-Darstellung von Sinus und Kosinus kann etwas nicht stimmen, denn, wenn tan und cot die Periode π haben, wie soll daraus bei sin und cos eine von 2π werden ?

Da muss was dazu gesagt werden ! --Nomen4Omen (Diskussion) 18:16, 25. Jan. 2017 (CET)

Hallo Nomen4Omen! Man sollte vielleicht eher fragen: „Wenn tan und cot die (primitive) Periode π haben, warum sollte dann dasselbe bei sin und cos gelten?“ Daß sich sin (relativ einfach) durch tan ausdrücken läßt, kann jedenfalls kein Grund für eine solche Annahme sein, wie schon zahlreiche analoge Beispiele zeigen. So hat etwa auch die Funktion $x\mapsto \sin(2x)=2\,sin(x)\,cos(x)$ π (und nicht 2π) als primitive Periode, Gleiches gilt auch für sin²(x). Das Gleichbleiben der Periode muß sogar als zufälliger Ausnahmefall betrachtet werden, der nur auftritt, wenn die Art des Zusammenhangs eine ganz bestimmte ist. Im Allgemeinen wird sich die Periode beim Übergang von f(x) zu g(f(x)) aber ändern. Liebe Grüße, Franz 18:48, 25. Jan. 2017 (CET)

Lieber Franz ! Sehe ich recht, dass bei allen Deinen Beispielen die Periode stets kleiner wird ? Das ist doch bekannt von tan = sin/cos ! Wie aber soll sie größer werden ? Das bedeutet, dass etwas was vorher gleich war durch die Rechnung ungleich wird. Das muss schon erklärt werden ! --Nomen4Omen (Diskussion) 19:08, 25. Jan. 2017 (CET)

Auch das war nur Zufall: Beim umgekehrten Übergang von sin(2x) zu sin(x) – oder, was im Grunde dasselbe ist, von sin(x) zu sin(x/2) – verdoppelt sich natürlich die Periode. Franz 19:46, 25. Jan. 2017 (CET)

Also, bin ich blöd oder was? tan(x+pi)=tan(x), aber sin(x+pi)≠sin(x), obwohl sin(x)=f(tan(x)) ! Hä?? --Nomen4Omen (Diskussion) 00:20, 26. Jan. 2017 (CET)

Ich glaube jetzt zu verstehen, was Du meinst. Die Lösung des Dilemmas ist, daß es eben keine Funktion f mit $\sin =f\circ \tan$ gibt. Alle sechs im Abschnitt (Ko-)Tangens-Darstellung von Sinus und Kosinus angegebenen Identitäten sind falsch (so gilt zum Beispiel $\sin(3\pi /4)>0>{\frac {\tan(3\pi /4)}{\sqrt {1+\tan ^{2}(3\pi /4)}}}$), ebenso die dortige Behauptung, diese Identitäten wären mit Hilfe der nachfolgenden Rechnungen nachzuvollziehen (denn im Anschluß an diese Rechnungen müßte man nämlich noch zu den Wurzeln beider Seiten einer Gleichung übergehen, was bekanntlich keine Äquivalenzumformung ist). Ich werde daher jetzt den ganzen Abschnitt löschen. Wer ihn wiederherstellen will, müßte ihn vorher so überarbeiten, daß jede der sechs Identitäten auf je einen geeigneten Definitionsbereich eingeschränkt wird. Das wäre zwar leicht möglich, ich unterlasse es aber, weil ich meine, daß durch diese nötigen Einschränkungen die Eleganz und Relevanz der Beziehungen (für diesen Artikel) zu gering wird. Liebe Grüße, Franz 02:04, 26. Jan. 2017 (CET)

Freut mich, dass der Groschen gefallen ist. Es KANN keine solche Funktion f geben, die die ersten beiden Zeilen (4 Beh.) löst. Die letzten 2 Zeilen sind aber richtig, weil dort keine Wurzel vorkommt und überdies alles nur im Quadrat. Die sollte man wohl drin lassen. Und den Vermerk anbringen, dass das nackte Wurzelziehen den Gültigkeitsbereich einschränkt, was man durch eine Aufbohrung mit sgn(bezogen auf das Intervall) beheben kann. Etwas, was sich vllt lohnt. --Nomen4Omen (Diskussion) 11:58, 26. Jan. 2017 (CET)

Da hast Du mich wohl mißverstanden: Unter Beachtung der Transitivität der Gleichheitsrelation habe ich in den zwei Gleichungsketten der ersten zwei Zeilen nicht vier, sondern sechs Behauptungen gesehen, und alle sechs sind falsch. Das ist aber nicht weiter wichtig.

Deinen letzten Vorschlag habe ich nun aufgegriffen und den gelöschten Abschnitt (natürlich stark verändert) wieder hergestellt. Ich hoffe, das ist, zumindest im Wesentlichen, auch in Deinem Sinne gelungen. Franz 19:44, 26. Jan. 2017 (CET)

Lieber Franz ! Ja, es ist OK so. Das mit $\cos(0+\pi )=-1\neq 1=\cos(0)$ ist eigentlich nicht besonders verwunderlich, weil $0+\pi \not \in D_{\tan }$.

Dann würde ich vllt noch in der Formel Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x\in\bigcup_{k\in\Z}\,{\big](4k-1)\cdot\frac{\pi}{2},\,(4k+1)\cdot\frac{\pi}{2}\big[}} mit \tfrac und \left] und was noch(?) arbeiten:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x\in\bigcup_{k\in\Z}\,{\left]\tfrac{(4k-1)\pi}{2},\,\tfrac{(4k+1)\pi}{2}\right[},}

damit man leichter den Überblick behält?? --Nomen4Omen (Diskussion) 19:27, 28. Jan. 2017 (CET)

Hallo Nomen4Omen! Ich hatte neben \big] auch \left] ausprobiert, und es gefiel mir mit \big] etwas besser. Zusammen mit \tfrac (an das ich leider gar nicht gedacht hatte) schaut die Variante mit \left] aber viel besser aus. Du kannst das also gerne in diesem Sinn ändern, ich bin damit einverstanden. Bei den Polstellen der Tangensfunktion hast Du aber wohl irgendetwas verwechselt (tan(π) = 0). Liebe Grüße, Franz 20:44, 28. Jan. 2017 (CET)

Ich hab's gemacht. Aber was Du mit den "Polstellen der Tangensfunktion" meinst, ist mir schleierhaft. Ich kann keinen Spruch von mir in dieser Hinsicht finden.

--Nomen4Omen (Diskussion) 21:46, 28. Jan. 2017 (CET)

Damit habe ich mich auf Dein obiges „[…], weil Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0+\pi \not\in D_{\tan}} “ bezogen, was ich als „π ist eine Polstelle der Tangensfunktion“ interpretiert habe. Dabei hast Du vermutlich den Tangens mit dem Kotangens oder π mit π/2 verwechselt. Denn natürlich gilt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0+\pi=\pi \in D_{\tan}} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tan(\pi)=0.} Franz 21:59, 28. Jan. 2017 (CET)

Da hast Du mich sehr missverstanden. Was ich mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0+\pi \not\in D_{\tan}} ausdrücken wollte, war, dass man an etwas, was außerhalb des DefBereiches liegt keine großartigen Forderungen stellt.

Im Artikel stört mich das |cos| ziemlich. Denn es ja so, dass die 0 beide Ausdrücke, den positiven wie den negativen, stetig ergänzt. --Nomen4Omen (Diskussion) 22:43, 28. Jan. 2017 (CET)

Aber 0+π=π liegt doch gerade nicht außerhalb des Definitionsbereiches, Deine Aussage „Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0+\pi \not\in D_{\tan}} “ ist falsch. Meine Aussage im Artikel, daß cos(0) nicht gleich cos(π) ist, soll nur (als Gegenbeispiel) beweisen, daß die auf D_tan (eingeschränkte) Kosinusfunktion nicht die Periode π hat.

Die Gleichung |cos(x)| = … würde falsch werden, wenn man den Betrag wegließe. Das folgt schon daraus, daß die rechte Seite offenbar niemals negativ werden kann (der Quotient zweier positiver Zahlen ist positiv). Daß „die 0 beide Ausdrücke […] stetig ergänzt“, ist natürlich richtig, aber ich kann da keine Relevanz dafür erkennen, daß die stetige Fortsetzung der Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x\mapsto 1/\sqrt{1+\tan^2(x)}} der Betrag des Kosinus ist. Natürlich ließe sich auch die andere Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x\mapsto -1/\sqrt{1+\tan^2(x)}} stetig fortsetzen, das ergäbe dann halt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x\mapsto -\left|\cos(x)\right|.} Von mir aus könnte man den letzten Satz des Artikelabschnittes auch ganz weglassen. Ich habe eigentlich nur das Ergebnis der von Dir beschriebenen Fortsetzung auf ganz R (nämlich |cos(x)|) ergänzt, weil es in Deiner Erstversion des Satzes gefehlt hatte. Franz 23:17, 28. Jan. 2017 (CET)

Ich sehe gerade, dass der Definitionsbereich des reellen Tangens unzusammenhängend definiert ist. Da habe ich nicht genau genug gelesen. Insofern müsstest Du aber schreiben:

"was aber wegen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0\in D_{\tan}} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \pi\in D_{\tan}} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \cos(0+\pi) = -1 \ne 1 = \cos(0)} falsch ist"

Du hast Recht:

"das ergäbe dann halt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x\mapsto -\left|\cos(x)\right|.} "

Wichtig ist nachher, dass bei beiden Limesbildungen, dem mit + und dem mit -, dasselbe herauskommt, nämlich 0, so dass man danach die Betragsstriche wieder wegtun kann. Und das ist es, was die Menschen wissen und was sie interessiert und (was vor meiner Anmahnung und Deiner Löschung in etwa im Artikel, aber »nicht ganz richtig« war, und) was begründet werden müsste. Und nicht irgendein Resultat über |cos|. (Man könnte auch die Beobachtung reinbringen, dass die Quadratwurzel genau an den Pol- und Unstetigkeitsstellen des Tangens »das Vorzeichen wechselt«.) --Nomen4Omen (Diskussion) 09:46, 29. Jan. 2017 (CET)

1. Ja, natürlich gehören die Polstellen einer Funktion (egal, ob über R oder über C) nicht zur Definitionsmenge. Daher ist auch klar, daß eine Auflösung der Gleichungen (also eine Darstellung von cos als Funktion von tan) auf ganz R keinesfalls möglich ist, weil tan gar nicht auf ganz R definiert ist.
2. Nein, es reicht festzustellen, daß 0 aus D ist. Denn π aus D folgt dann aus der (als bekannt vorausgesetzten) Periode von tan. Vielleicht sollten wir aber diesen doch etwas zu ausführlich gehaltenen Beweisschritt im Sinne einer Vereinfachung überhaupt ganz streichen, indem wir einfach als bekannt voraussetzen, daß 2π eine primitive (und π daher keine) Periode von cos ist.
3. Was Du mit „die Betragsstriche wieder wegtun“ meinst, bleibt mir teilweise unklar. Denn es ist doch so, daß nur an den Intervallgrenzen (den Polstellen, an denen die Funktionen fortgesetzt werden) „dasselbe herauskommt, nämlich 0“ (ganz einfach wegen −0=0), während an allen Stellen aus D_tan die Grenzwerte gleich den Funktionswerten sind und daher unterschiedliche Vorzeichen haben, also voneinander verschieden sind.
4. Daher weiß ich auch nicht, was genau jetzt Deiner Meinung nach „die Menschen wissen und was sie interessiert“. „[W]as vor [D]einer Anmahnung und [m]einer Löschung […] im Artikel […] war,“ würde ich jedenfalls nicht als nur „»nicht ganz richtig«“, sondern völlig falsch bezeichnen. Das habe ich aber früher schon ausführlich dargestellt.
5. Der Zweck des Abschnitts ist natürlich nicht, „irgendein Resultat über |cos|“ zu bringen, sondern den Zusammenhang zwischen cos und sin einerseits und tan und cot andererseits darzulegen. In einer einfachen Variante könnte man sich dabei durchaus auch auf den ersten Absatz des aktuellen Artikelabschnitts beschränken. Will man jedoch darüber hinaus auch etwas zur Darstellung von cos als Funktion durch tan sagen – also zu einer Auflösung der dortigen Gleichungen nach cos bzw. sin (wie sie in der alten Version versucht, aber falsch durchgeführt worden ist) – so ergibt sich (wegen der Unmöglichkeit des damit Geforderten, die Du ja wegen der unterschiedlichen Periodizität selbst schon ganz zu Anfang erkannt hast) als bestmögliches Resultat eben die Darstellung des Betrags des Kosinus als Funktion des Tangens. Mehr geht nicht, und wenn Du das als zu wenig ansiehst, um hinreichend relevant für diesen Artikel (-Abschnitt) zu sein, dann schließe ich mich dem durchaus an: Alternativ bliebe dann die abermalige Löschung des ganzen Abschnitts oder auch nur des über seinen ersten Absatz Hinausgehenden (wobei man diesfalls natürlich noch erwägen könnte, die eine oder andere kurze Bemerkung über die Unauflösbarkeit der beiden Gleichungen hinzuzufügen). Zum Deinem letzten (eingeklammerten) Vorschlag sage ich vorläufig einmal noch nichts, weil er ja ohnehin unserer Tendenz zur Kürzung und Vereinfachung auf Wesentliches entgegensteht. Franz 12:09, 29. Jan. 2017 (CET)

Im Artikel ist jetzt ein Vorschlag von mir, bei dessen Annahme m.E. einiges weiter oben rauskann. --Nomen4Omen (Diskussion) 09:51, 30. Jan. 2017 (CET)

Hi, Nomen4Omen! Gestern hatte ich leider keine Zeit zu antworten.

Dein neuester Vorschlag läuft darauf hinaus, doch wieder (wie es ja schon lange vorher versucht worden war) Darstellungen der Art Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle cos(x)=\dotso} darzubieten. Dagegen habe ich grundsätzlich nichts einzuwenden, solange es korrekt formuliert ist.

Ich plädiere aber nach wie vor für eine Straffung des ganzen Abschnittes analog zum Rest des Artikels. Denn dieser Abschnitt ist wohl nicht wichtiger als die anderen, dort gibt es aber auch keine Beweise und selbst nur vage angedeutete Begründungen sind kaum zu finden. Das ist auch gut so, dieser Artikel sollte durchaus eher einer Formelsammlung als einem Lehrbuch gleichen.

Können wir uns also darauf einigen, daß der Inhalt des Abschnitts im Wesentlichen die Darstellung von cos und sin auf ganz R durch tan und cot sein soll (das meiste des darüber hinaus Gehenden hat ja eigentlich gar keinen Platz an dieser Stelle)? Dann sollten wir vielleicht auch die jetzige Einleitung weglassen, ihr Inhalt findet sich ohnehin im Abschnitt Ableitung. Wir könnten uns dann auch die Korrektur mancher noch verbliebener Ungenauigkeiten oder Holprigkeiten ersparen (auf Details dazu brauche ich daher auch – zumindestens vorläufig – gar nicht einzugehen). Allerdings wäre dann natürlich auch die Darstellung von sin aufzunehmen. Zu überlegen wäre noch (eine Darstellung der Form Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \cos=f\circ\tan} existiert ja „leider“ nicht, darauf kann man durchaus kurz hinweisen), ob man den abschnittsweise definierten Funktionen die kompakten Darstellungen überhaupt zur Seite stellen soll. Außerdem wäre dann auch die Abschnittsüberschrift wieder ähnlich zur alten Version wählen.

Ich werde, sobald ich Zeit finde, dieses Programm umzusetzen versuchen und melde mich damit dann (hoffentlich noch im Laufe dieses Tages) wieder. Liebe Grüße, Franz 09:41, 31. Jan. 2017 (CET)

In den letzten Tagen hatte ich leider doch keine Zeit für Wikipedia, aber nun habe ich, wie oben schon angekündigt und begründet, den Abschnitt auf das Wesentliche reduziert. Der Großteil des dabei Entfernten war, wie schon gesagt, streng genommen ohnehin nicht ganz richtig, und eine Korrektur hätte diesen eher unbedeutenden Abschnitt in nicht akzeptabler Weise noch mehr aufgebläht. Liebe Grüße, Franz 00:13, 5. Feb. 2017 (CET)

Schon interessant, dass es in diesem Fall (beim cos) egal ist, ob

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left\lfloor\frac{x}{\pi}+\frac{1}{2}\right\rfloor}

oder

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left\lfloor\left|\frac{x}{\pi}\right|+\frac{1}{2}\right\rfloor}  !

weil an den ganzzahligen Intervallgrenzen sowieso mit 0 multipliziert wird.

Solche Formeln, die ja auch in Formelsammlungen vorkommen, kann man eigentlich ohne jede Begründung hinklatschen. Allerdings beschränkt sich Milton Abramowitz and Irene Stegun: Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4 Formel 4.3.45 auf den 1. Quadranten, so dass ein paar Worte zur Erweiterung auf ganz R schon angebracht sind, wenn man keine andere Referenz angibt.

Da haben wir den Bolzen der überraschenden Verdoppelung der Periodenlänge jetzt doch endlich gezogen. --Nomen4Omen (Diskussion) 12:27, 5. Feb. 2017 (CET)

• Wie Du hier (und früher auch beim Sinus) auf den Betrag kommst, weiß ich nicht. Ich verstehe auch nicht, wie das eine Folge von „0 an den Intervallgrenzen“ sein soll. Meine Herleitung der Hochzahlen besteht im Grunde nur aus ganz elementaren Umformungen der jeweiligen Ungleichungsketten, mit denen ich deren Außenglieder zu zwei aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen mache, um zur Floorfunktion übergehen zu können, zum Beispiel:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \exists k\in\Z\colon\;(4k-1)\frac{\pi}{2}<x<(4k+1)\frac{\pi}{2}}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \exists k\in\Z\colon\;4k-1<\frac{x}{\pi/2}<4k+1}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \exists k\in\Z\colon\;4k<\frac{x}{\pi/2}+1<4k+2}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \exists k\in\Z\colon\;2k<\frac{\frac{x}{\pi/2}+1}{2}<2k+1}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \exists k\in\Z\colon\;2k=\left\lfloor\frac{\frac{x}{\pi/2}+1}{2}\right\rfloor}

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left\lfloor\frac{\frac{x}{\pi/2}+1}{2}\right\rfloor} ist eine gerade Zahl

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (-1)^{\left\lfloor\frac{\frac{x}{\pi/2}+1}{2}\right\rfloor}=1}

• Solche einfachen Folgerungen bedürfen wohl kaum einer Referenz, und man kann auch ihre Begründung weglassen, wenn es der angestrebten Kürze dient. Falls es Dir wichtig sein sollte, dann kannst Du natürlich den Abr./Stegun oder Ähnliches als Einzelnachweis hinzufügen. Daß sich solche Formelsammlungen auf den ersten Quadranten o. Ä. beschränken, ist sicherlich auch ganz einfach einem Streben nach Kürze geschuldet.
• Deinen Vorschlag zu einer ergänzenden Bemerkung habe ich gleich umgesetzt. Damit ist aber jetzt, wie ich meine, genug getan, wenn wir vom formelsammlungsartigen Charakter des (weitgehend beweisfreien) restlichen Artikels nicht allzu weit abweichen wollen.
  Liebe Grüße, Franz 16:16, 5. Feb. 2017 (CET)

Fehler in der Wertetabelle

Die Wertetabelle ist formal falsch, es fehlt bei 15° ein minus-Zeichen. Im Quelltext steht ein minus-Zeichen aber es wird bei mir nicht angezeigt. Ich weiß nicht, was das Problem ist oder wie man es repariert.

Das gleiche bei 22,5° (nicht signierter Beitrag von 2003:D2:971F:5B49:DDA3:7F34:642F:652C (Diskussion) 12:24, 7. Dez. 2020 (CET))

Also ich kann bei meinem Browser die Anzeige bis auf 400 % vergrößern. Vielleicht kommen dann deine formal richtigen minus-Zeichen? –Nomen4Omen (Diskussion) 19:30, 7. Dez. 2020 (CET)

Zwar meint 91.118.242.246 keine gute Idee, aber ...

Lieber 91.118.242.246,
[dir war's schon mal nicht recht gewesen.]
Trotzdem geht es in Ordnung.

1. Weiter oben stehen die Formeln: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lim_{\alpha \nearrow 90^\circ} \tan\alpha = \lim_{\alpha \searrow 0^\circ} \cot\alpha = +\infty\ .} Damit ist der Sachverhalt der Stetigkeit an den Rändern schon im Artikel drin.
2. Damit muss auch nicht in diesem Artikel Klarheit geschaffen werden. Die Hinweise auf die Artikel Erweiterte reelle Zahl und Stetige Fortsetzung genügen.
3. Ja, es ist richtig: Die Bereiche werden erweitert und die Funktionen fortgesetzt. [Wurde korrigiert.]
4. Die Funktionen brauchen nicht unbedingt einen neuen Namen. Wenn nämlich die Funktionen auf die komplexen Zahlen fortgesetzt werden, kriegen sie auch nicht einen neuen Namen. Es genügt, sie als so erweitert zu bezeichnen.

–Nomen4Omen (Diskussion) 22:59, 14. Jan. 2021 (CET)

Deine obigen Argumente gehen großteils an der Sache vorbei und können daher keinesfalls eine Verbesserung des Artikels durch deine Rücksetzung meiner Korrektur begründen. Dieses Rücksetzen vor einem Diskussionsstart zeigt mir jedoch, dass du offenbar viel zu sehr von dir überzeugt bist, als dass ich einen Sinn darin sehen würde, das hier mit dir weiter zu diskutieren.
Daher: Was ich inhaltlich zu sagen hatte und habe, steht im Wesentlichen in der Zusammenfassungszeile meines Edits. Anhand dessen mögen also andere Mathematiker beurteilen, ob deine Verschlimmbesserung Bestand haben soll oder ob nicht doch eine korrekte Version besser wäre. Ich werde diesen Artikel jedenfalls nicht mehr anfassen, da meine Verbesserungen ohnehin nicht erwünscht sind, und mich anderem zuwenden.
Und damit, lieber Freund, ist hier auch schon endgültig EOD für mich. 91.118.242.246 23:52, 14. Jan. 2021 (CET)

Neue Tangens-Formel mit der Dirichletschen Lambda-Funktion

@80.245.75.47, FerdiBf:
Schön wäre, wenn du die großartige, aber nicht so leicht nachzurechnende Formel mit der Dirichletsche Lambda-Funktion mit einem Beleg versehen würdest. ―Nomen4Omen (Diskussion) 20:25, 8. Jun. 2021 (CEST)