Dirichletreihe

Dirichletreihen, benannt nach Peter Gustav Lejeune Dirichlet, sind Reihen, die in der analytischen Zahlentheorie verwendet werden, um zahlentheoretische Funktionen mit Methoden aus der Analysis, insbesondere der Funktionentheorie, zu untersuchen. Viele offene zahlentheoretische Fragestellungen sind durch diesen Zusammenhang einer „Näherungslösung“ (durch Abschätzungen) zugänglich geworden, etwa Fragen nach der Verteilung von Primzahlen.

Konvergente Dirichletreihen sind als analytische Funktionen auch losgelöst von zahlentheoretischen Problemen als Untersuchungsgegenstand interessant, da sie in engem Zusammenhang mit Potenzreihen stehen und eine ähnlich „natürliche“ Darstellung von analytischen Funktionen erlauben.

Definition und formale Eigenschaften

Eine Dirichletreihe ist eine Reihe der Form

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{f(n)}{n^s},}

mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s=\sigma+it \in \mathbb{C}.}

Diese Reihe konvergiert absolut für gewisse Koeffizientenfolgen $f(n)$ und komplexe Zahlen $s$. Das Produkt von zwei solchen absolut konvergenten Dirichletreihen ist wieder eine absolut konvergente Dirichletreihe, die Koeffizienten ergeben sich durch Faltung der Koeffizientenfolgen als zahlentheoretische Funktionen. Damit entspricht die Multiplikation von absolut konvergenten Dirichletreihen der Faltung ihrer Koeffizienten.

Gelegentlich findet man in der Literatur (etwa bei Zagier) auch die allgemeinere Definition

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F(s)=\sum_{n=1}^{\infty}f(n) e^{-\lambda_n s},} mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda_1 \le \lambda_2 \le \lambda_3 ... \rightarrow \infty.}

Mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda_n = \operatorname{log}n } ergibt dies wieder die erste Definition, mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda_n = n } erhält man

$F(s)=\sum _{n=1}^{\infty }f(n)e^{-ns}=\sum _{n=1}^{\infty }f(n)z^{n}$ mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle z=e^{-s}} ,

also eine gewöhnliche Potenzreihe.

Der Raum der formalen Dirichletreihen wird mit einer Multiplikation versehen, indem man die für absolut konvergente Reihen gültige Multiplikationsregel auf beliebige (auch nichtkonvergente) Dirichletreihen überträgt (zu dieser Konstruktion vergleiche auch die analoge Begriffsbildung formale Potenzreihe).

Dadurch wird der Raum der formalen Dirichletreihen mit der punktweisen Addition, der Skalarmultiplikation und der Faltung isomorph (als Ring und Algebra) zu den zahlentheoretischen Funktionen und erbt alle Struktureigenschaften dieses Raumes.

Der Isomorphismus ordnet jeder zahlentheoretischen Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(n)} die formale Dirichletreihe zu, deren Koeffizientenfolge sie ist. Diese Dirichletreihe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F(s)} heißt dann die von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(n)} erzeugte Dirichletreihe.

Identitätssatz

Stimmen zwei gewöhnliche Dirichletreihen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \textstyle F(s) = \sum a(n)/n^s } und $\textstyle G(s)=\sum b(n)/n^{s}$, die beide auf einer Halbebene Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H } konvergieren, auf einer nicht-leeren offenen Teilmenge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U \subset H } überein, so folgt bereits, dass sie auf ganz $H$ identisch sind und alle ihre Koeffizienten exakt übereinstimmen. Es gilt dann also Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F = G } und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle a(n) = b(n) } für alle $n\in \mathbb {N}$.

Konvergente Dirichletreihen

Zu jeder Dirichletreihe, die irgendwo, aber nicht überall konvergiert, existiert eine reelle Zahl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma_0} , so dass die Reihe in der Halbebene Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{Re}(s)>\sigma_0} konvergiert (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{Re}(s)} ist der Realteil von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s} ) und in der Halbebene Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{Re}(s)<\sigma_0} divergiert. Über das Verhalten auf der Geraden Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{Re}(s)=\sigma_0} lässt sich keine allgemeine Aussage machen. Falls die Dirichletreihe überall bzw. nirgends konvergiert, wird Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma_0 = -\infty} bzw. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma_0 = \infty} gesetzt und man nennt in allen Fällen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma_0\in [-\infty,\infty]} die Konvergenzabszisse der Dirichletreihe.

Ähnlich, wie man im Falle von Potenzreihen den Konvergenzradius berechnen kann, kann man auch im Falle von Dirichletreihen die Konvergenzabszisse mit einem Limes superior aus ihrer Koeffizientenfolge bestimmen, es gilt:

Ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \textstyle \sum_{n=1}^\infty f(n)} divergent, so ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma_0 = \limsup_{N\rightarrow \infty} \frac{\log(|f(1)+\ldots +f(N) |)}{\log N}} .

Ist hingegen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \textstyle \sum_{n=1}^\infty f(n)} konvergent, so ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma_0 = \limsup_{N\rightarrow \infty} \frac{\log {(| \sum_{n=N}^\infty f(n) |)}}{\log{N}}} .

Analytische Eigenschaften

In ihrer Konvergenzhalbebene Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{Re}(s)>\sigma_0} ist die Dirichletreihe kompakt konvergent und stellt dort eine holomorphe Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F(s)} dar.

Die Ableitungen der so bestimmten holomorphen Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F} können durch gliedweise Differentiation gewonnen werden. Ihre Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k} -te Ableitung ist die Dirichletreihe

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F^{(k)}(s) = (-1)^k \sum_{n=1}^{\infty} \frac{f(n) \cdot (\log n)^k}{n^s}} .

Eulerprodukte

→ Hauptartikel: Euler-Produkt

Dirichletreihen mit multiplikativen zahlentheoretischen Funktionen als Koeffizienten lassen sich als Eulerprodukt darstellen. Ist $f(n)$ eine multiplikative zahlentheoretische Funktion und konvergiert die von ihr erzeugte Dirichletreihe F(s) für die komplexe Zahl s absolut, dann gilt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F(s)=\prod_{p\ {\rm prim}} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f(p^k)}{p^{ks}}} .

Im Falle einer vollständig multiplikativen Funktion vereinfacht sich dieses Produkt zu

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F(s)=\prod_{p\ \operatorname{prim}} \frac{1}{1-f(p)p^{-s}}} .

Diese unendlichen Produkte über alle Primzahlen heißen Eulerprodukte. Der Wert dieser Produkte ist definiert als Grenzwert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lim_{N\to\infty} P_N } der Folge endlicher Produkte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P_N} , die entsteht, indem man das Produkt nur auf Primzahlen unterhalb einer Schranke N erstreckt.

Wichtige Dirichletreihen

Riemannsche ζ-Funktion

→ Hauptartikel: Riemannsche ζ-Funktion

Die berühmteste Dirichletreihe ist die Riemannsche ζ-Funktion:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} = 1 + \frac{1}{2^s} + \frac{1}{3^s} + \frac{1}{4^s} + \cdots } .

Sie wird von der zahlentheoretischen 1-Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I^0} (mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I^0(n)=1} für alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} ) erzeugt. Da diese Funktion vollständig multiplikativ ist, hat die Zeta-Funktion die Eulerproduktdarstellung

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^s} = \prod_{p\ {\rm prim}} \frac{1}{1-p^{-s}}.}

Dirichletreihe der Teilerfunktion

Die Teilerfunktion (auch genauer Teileranzahlfunktion) Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d(n)} , die einer natürlichen Zahl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n} die Anzahl ihrer positiven Teiler zuordnet, ist das „Faltungsquadrat“ der 1-Funktion.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \!\ d(n) = \sum_{d|n}1 = (I^0*I^0) (n)} ,

die ihr zugeordnete Dirichletreihe ist also das Quadrat der Zetafunktion:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{d(n)}{n^s} = \zeta^2(s)} .

Dirichletreihe der Möbiusfunktion

Die Möbiusfunktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mu (n)} ist multiplikativ mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mu(p^k)=0 } für $k>1$. Also hat die von ihr erzeugte Dirichletreihe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M(s)} das Eulerprodukt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(n)}{n^s} = \prod_{p\ {\rm prim}} (1-p^{-s}) = \frac{1}{\zeta(s)}} .

Die Relation Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle M(s) \cdot \zeta(s)=1} überträgt sich auf die zugehörigen zahlentheoretischen Funktionen und bedeutet dort:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mu*I^0(n)=\sum_{d|n} \mu (d) = \begin{cases} 1 & \mathrm{falls}\ n=1 \\ 0 & \mathrm{sonst} \end{cases}} .

Dirichletsche L-Reihen

→ Hauptartikel: Dirichletsche L-Funktion

Die ebenfalls von Dirichlet eingeführten L-Reihen

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L(s,\chi)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\chi(n)}{n^s},}

werden von einem Dirichlet-Charakter Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \chi} erzeugt. Diese Reihen spielen eine wichtige Rolle beim Beweis des Dirichletschen Satzes über die Existenz unendlich vieler Primzahlen in arithmetischen Progressionen. Da Dirichletcharaktere vollständig multiplikativ sind, kann man die L-Reihen als Eulerprodukte darstellen

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L(s,\chi) = \prod_{p\ {\rm prim}} \frac{1}{1-\chi(p)p^{-s}}}

und für Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \chi =\chi _{1}} , den Hauptcharakter modulo k gilt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle L(s,\chi_1) = \prod_{p|k} (1-p^{-s})\cdot \zeta(s).}

Die L-Reihen verallgemeinern die Riemannsche Zetafunktion. → Über die Nullstellen von L-Reihen gibt es die bis heute unbewiesene verallgemeinerte Riemannsche Vermutung.

Hecke gab eine Verallgemeinerung an mit Größencharakteren statt Dirichlet-Charakteren (auch Hecke L-Reihe genannt, siehe aber unten für eine weitere Definition).

Dirichletreihe der Mangoldt-Funktion

Die von Mangoldtsche Funktion $\Lambda (n)$ spielt eine Rolle beim Beweis des Primzahlsatzes. Diese zahlentheoretische Funktion ist definiert als

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Lambda (n) = \begin{cases} \log{p} & \mathrm{falls}\ n=p^m,\ p\ \mathrm{ prim},\ m \in \mathbb{N} \\ 0 & \mathrm{sonst,} \end{cases}} ,

die von ihr erzeugte Dirichletreihe lässt sich durch die Zeta-Funktion ausdrücken:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\Lambda (n)}{n^s} = \frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)}} .

Dirichletsche Lambda-Funktion

Die Dirichletsche Lambda-Funktion ist die L-Reihe, die durch

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda(s)=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(2n+1)^s};\;s\neq 1} definiert wird.

Sie lässt sich durch die Riemannsche Zeta-Funktion darstellen als

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda(s)=(1-2^{-s})\cdot \zeta(s).}

Sie kann in geschlossener Form an den Stellen berechnet werden, an denen dies für die Zeta-Funktion möglich ist, das heißt für gerade positive Zahlen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle s\in 2\N .} Es besteht folgender Zusammenhang mit der Dirichletschen Eta-Funktion:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{\zeta(s)}{2^s}=\frac{\lambda(s)}{2^s-1}=\frac{\eta(s)}{2^s-2}.}

Dirichletreihe der Eulerschen φ-Funktion

Die Eulersche φ-Funktion ist multiplikativ mit

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \varphi (p^k)= p^k-p^{k-1}} für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k \ge 1} .

Das Eulerprodukt der von ihr erzeugten Dirichletreihe ist

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)}{n^{s}}}=\prod _{p\ {\rm {prim}}}{\frac {1-p^{-s}}{1-p^{1-s}}}={\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)}}$.

Dirichletreihe der verallgemeinerten Teilersummenfunktion

Die verallgemeinerte Teilersummenfunktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma_k(n)} ist multiplikativ und für Primzahlpotenzen ist

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma_k (p^m)= \frac{1-p^{k(m+1)}}{1-p^k}} .

Daher hat die Dirichletreihe von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma_k} die Eulerproduktdarstellung:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sigma_k(n)}{n^s} = \prod_{p\ {\rm prim}} \frac{1}{(1-p^{-s})(1-p^{k-s})} = \zeta(s) \zeta(s-k).}

Dirichletreihen und Modulformen

Erich Hecke fand einen Zusammenhang (Hecke-Korrespondenz) von Dirichletreihen, die bestimmte Eulerprodukt- und Funktionalgleichungen erfüllen, und Modulformen, siehe Hecke-Operator. Die von ihm definierten Hecke-L-Reihen werden mit den Fourierkoeffizienten der Modulformen gebildet. Diese sind aber zu unterscheiden von den mit Größencharakteren nach Hecke ähnlich Dirichlet-L-Reihen gebildeten Dirichletreihen, die auch Hecke-L-Reihen genannt werden.

Faltung

Die Faltung $(f*g)(n):=\sum _{d|n}f(d)g(n/d)$ zweier zahlentheoretischer Funktionen induziert einen formalen Ringhomomorphismus vom Ring der zahlentheoretischen Funktionen in den Ring der formalen Dirichlet-Reihen via

$D_{f*g}=D_{f}\cdot D_{g},$

wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle D_f, D_g } die zu Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f, g } gehörigen Dirichlet-Reihen bezeichnen.

Beispiel

Man findet beispielsweise die Relation:

$\zeta (s)^{2}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {d(n)}{n^{s}}}=1+{\frac {2}{2^{s}}}+{\frac {2}{3^{s}}}+{\frac {3}{4^{s}}}+{\frac {2}{5^{s}}}+{\frac {4}{6^{s}}}+{\frac {2}{7^{s}}}+\ldots ,$

wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d(n) } die Teileranzahlfunktion darstellt, die zählt, wie viele natürliche Teiler eine Zahl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n } besitzt. Zu diesem Ergebnis gelangt man durch systematisches Ausmultiplizieren des Quadrates der Dirichlet-Reihe der Zeta-Funktion. Da es sich dabei um das Produkt zweier (konvergenter) Dirichlet-Reihen handelt, kann es, wie oben beschrieben, wiederum über eine Dirichlet-Reihe dargestellt werden.

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \zeta(s)^2 = \left( \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} \right)^2 = \left( \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} \right) \cdot \left( \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^s} \right) = \sum_{n=1}^\infty \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{n^s} \cdot \frac{1}{k^s} = \sum_{n=1}^\infty \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{(n \cdot k)^s} = \sum_{m=1}^\infty \frac{d(m)}{m^s} }

Die aus dieser Faltung erzeugte Dirichlet-Reihe hat nun eine neue zahlentheoretische Funktion, die als $d(m)$ bezeichnet wird. Der Summenindex wird als Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m } gewählt, um Verwechslungen zu vermeiden. Der vorletzte Schritt der Auswertung zeigt nun, dass man den Wert von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle d(m) } über die Anzahl aller natürlichen Zahlenpaare Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (n, k) } gewinnen kann, für die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n \cdot k = m } gilt. Somit reduziert sich die Frage nach dem Wert von $d(m)$ darauf, wie viele Teiler die betroffene Zahl $m$ besitzt.

Siehe auch

• Mellin-Transformation

Weblinks

• Dirichlet Series auf PlanetMath
• Eric W. Weisstein: Dirichlet series. In: MathWorld (englisch).
• Eric W. Weisstein: Dirichlet L-Series. In: MathWorld (englisch).

Literatur

• Tom Mike Apostol: Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory. Springer Verlag New York u. a. 1990, ISBN 0-387-97127-0
• Jörg Brüdern: Einführung in die analytische Zahlentheorie. Springer Verlag, Berlin u. a. 1995, ISBN 3-540-58821-3
• Graham James Oscar Jameson: The Prime Number Theorem. Cambridge University Press, Cambridge u. a. 2004, ISBN 0-521-89110-8
• Konrad Knopp: Theorie und Anwendung der unendlichen Reihen. 2. Auflage. In: Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Berücksichtigung der Anwendungsgebiete. Springer Verlag, Berlin u. a. 1996, ISBN 3-540-59111-7
• Max Koecher, Aloys Krieg: Elliptische Funktionen und Modulformen, 2. Aufl., Springer, Berlin (2007) ISBN 978-3-540-49324-2
• Don Zagier: Zetafunktionen und quadratische Körper. Springer Verlag Berlin u. a. 1981, ISBN 3-540-10603-0