Dirichletsche Etafunktion

Die Dirichletsche $\eta$-Funktion in der komplexen Zahlenebene.

In der analytischen Zahlentheorie ist die Dirichletsche η-Funktion eine spezielle Funktion, die nach dem deutschen Mathematiker Dirichlet (1805–1859) benannt ist. Sie ist verwandt mit der Riemannschen $\zeta$-Funktion.

Sie wird mit dem kleinen griechischen Buchstaben eta ($\eta$) notiert; die Dedekindsche η-Funktion, eine Modulform, wird ebenfalls so bezeichnet.

Definition

Die Dirichletsche $\eta$-Funktion ist für alle komplexen $s$ mit Realteil größer als 0 definiert über die Dirichletreihe:

$\eta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n^{s}}}=1-{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}-{\frac {1}{4^{s}}}+{\frac {1}{5^{s}}}-+\cdots .$

Obwohl die Gültigkeit dieses Ausdrucks auf komplexe Zahlen mit positivem Realteil beschränkt ist, bildet er die Ausgangsbasis für alle Darstellungen der $\eta$-Funktion. Sie kann auf die ganze komplexe Zahlenebene analytisch fortgesetzt werden, was eine Berechnung der $\eta$-Funktion für alle beliebigen $s$ gewährleistet.

Euler-Produkt

Ihre zahlentheoretische Bedeutung erhält die $\eta$-Funktion durch ihre Verbindung zu den Primzahlen, die sich für $\operatorname {Re} s>1$ formelhaft durch das Euler-Produkt

$\eta (s)=\left(1-{\frac {1}{2^{s-1}}}\right)\prod _{p\ \mathrm {prim} }{\frac {1}{1-{\frac {1}{p^{s}}}}}=\left(1-{\frac {1}{2^{s-1}}}\right)\cdot {\frac {1}{(1-{\frac {1}{2^{s}}})(1-{\frac {1}{3^{s}}})(1-{\frac {1}{5^{s}}})\cdots }}$

ausdrücken lässt.

Funktionalgleichung

In ganz $\mathbb {C}$ gilt die Identität:

$\eta (1-s)={\frac {2^{s}-1}{1-2^{s-1}}}\pi ^{-s}\cos \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\Gamma (s)\eta (s).$

Verbindung zur Riemannschen ζ-Funktion

Die Funktionalgleichung zwischen Dirichletscher $\eta$ und Riemannscher $\zeta$-Funktion lässt sich aus den Dirichletreihendarstellungen beider Funktionen gewinnen. Der $\eta$-Ausdruck wird durch Addition weiterer Dirichletreihen transformiert zu:

$\eta (s)+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(2n)^{s}}}=\eta (s)+{\frac {2}{2^{s}}}\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\zeta (s).$

Daraus folgt der Zusammenhang:

$\eta (s)=(1-2^{1-s})\cdot \zeta (s),$

der in ganz $\mathbb {C}$ Gültigkeit behält.

Weitere Darstellungen

Integraldarstellung

Eine Integraldarstellung für alle $\operatorname {Re} s>0$ enthält die Gammafunktion $\Gamma (s)$ und lautet:

$\eta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int \limits _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}}{e^{x}+1}}{\mathrm {d} x}$.

Dies kann als Mellin-Transformation von ${\tfrac {1}{e^{x}+1}}$ verstanden werden. Gültig für alle $s\in \mathbb {C}$ ist:

$\eta (s)=\left({\dfrac {1}{2}}-2^{-s}\right){\frac {s+1}{s-1}}+(2-2^{2-s})\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(s\arctan x)}{(1+x^{2})^{s/2}(e^{2\pi x}-1)}}\mathrm {d} x.$

Reihendarstellung

Eine in ganz $\mathbb {C}$ konvergente Reihe ergibt sich mit Hilfe der eulerschen Reihentransformation:

$\eta (s)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{n+1}}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}{\frac {1}{(k+1)^{s}}}.$

Produktdarstellung

Für alle $s\in \mathbb {C}$ konvergiert das Hadamard-Produkt, benannt nach seinem Entdecker Jacques Hadamard:

$\eta (s)={\frac {1-2^{1-s}}{2(s-1)\,\Gamma (1+s/2)}}e^{(\ln(2\pi )-1-\gamma /2)s}\prod _{\rho }\left(1-{\frac {s}{\rho }}\right)e^{s/\rho }.$

Es erstreckt sich über alle nicht-trivialen Nullstellen $\rho$ der $\eta$-Funktion und leitet sich einfach aus dem Hadamard-Produkt der Zeta-Funktion ab.

Werte

Es gilt:

$\eta (0)={\tfrac {1}{2}}$

$\eta (-1)={\tfrac {1}{4}}$

Für natürliche $k$ gilt mit den Bernoulli-Zahlen $B_{k}$

$\eta (1-k)={\frac {2^{k}-1}{k}}B_{k}$

Der Wert η(2) ergibt π²/12 und steht mit dem Basler Problem im Zusammenhang.

Mit dem Satz von Fubini kann dieser Wert bewiesen werden:

$\eta (2)=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}{\frac {1}{n^{2}}}=\sum _{n=1}^{\infty }\int _{0}^{1}(-1)^{n-1}{\frac {1}{n}}{x}^{n-1}dx=\int _{0}^{1}\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}{\frac {1}{n}}{x}^{n-1}\mathrm {d} x=$

$=\int _{0}^{1}{\frac {1}{x}}\ln(x+1)\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {4}{3(x^{2}+2xy+1)}}+{\frac {2x}{3(x^{2}y+1)}}-{\frac {1}{3(xy+1)}}\mathrm {d} y\,\mathrm {d} x=$

$=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {4}{3(x^{2}+2xy+1)}}+{\frac {2x}{3(x^{2}y+1)}}-{\frac {1}{3(xy+1)}}\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=\int _{0}^{1}{\frac {\pi -2\arcsin(y)}{3{\sqrt {1-y^{2}}}}}\mathrm {d} y={\frac {\pi ^{2}}{12}}$

Für gerade Argumente $2n=2,4,6,8,\dots$ gilt die allgemeine Formel:

$\eta (2n)=(-1)^{n+1}{\frac {2^{2n-1}-1}{(2n)!}}B_{2n}\pi ^{2n}$

Somit lässt sich der Zahlenwert von $\eta (2n)$ stets in der Form

$\eta (2n)={\frac {p_{n}}{q_{n}}}\pi ^{2n}$

schreiben, wobei $p_{n}$ und $q_{n}$ zwei positive ganze Zahlen bezeichnen.

2n	pn	qn	$\eta (2n)$
2	1	12	0,82246703342411321823…
4	7	720	0,94703282949724591757…
6	31	30240	0,98555109129743510409…
8	127	1209600	0,99623300185264789922…
10	73	6842880	0,99903950759827156563…
12	1414477	1307674368000	0,99975768514385819085…
14	8191	74724249600	0,99993917034597971817…
16	16931177	1524374691840000	0,99998476421490610644…
18	5749691557	5109094217170944000	0,99999618786961011347…
20	91546277357	802857662698291200000	0,99999904661158152211…

Die ersten Werte für ungerade Argumente sind

$\eta (1)=\ln 2$ (die alternierende harmonische Reihe)

$\eta (3)={\frac {3}{4}}\zeta (3)$

$\eta (5)={\frac {15}{16}}\zeta (5).$

Nullstellen

Aus der Relation

$\eta (s)=(1-2^{1-s})\cdot \zeta (s)$

ist leicht zu folgern, dass $\eta (s)$ sowohl für alle $m\in \mathbb {Z} \setminus \{0\}$ bei $s_{m}=1+{\tfrac {2\pi mi}{\ln 2}}$, als auch zusätzlich an denselben Stellen wie $\zeta (s)$ verschwindet. Dazu gehören sowohl die sogenannten „trivialen“ Nullstellen bei $s=-2,-4,-6,-8,\dots$, also

$\eta (-2)=\eta (-4)=\eta (-6)=\eta (-8)=\cdots =0,$

als auch die „nicht-trivialen“ Nullstellen im Streifen $\{s\in \mathbb {C} |0<\operatorname {Re} s<1\}$.

Die berühmte und bis heute unbewiesene Riemannsche Vermutung besagt, dass alle nicht-trivialen Nullstellen den Realteil 1/2 besitzen.

Ableitung

Die Ableitung der $\eta$-Funktion ist für $\operatorname {Re} s>0$ wieder eine Dirichletreihe.

$\eta '(s)=\sum _{n=2}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {\ln n}{n^{s}}}.$

Ein geschlossener Ausdruck kann über

$\eta '(s)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}(1-2^{1-s})\zeta (s)={\frac {}{}}2^{1-s}(\ln 2)\zeta (s)+(1-2^{1-s})\zeta ^{\prime }(s),$

und unter Anwendung der Produktregel gewonnen werden.

Weiteres

Die Verwandtschaften von $\eta$ zu der Dirichletschen $\lambda$-Funktion und der riemannschen $\zeta$-Funktion werden durch folgende Formel zum Ausdruck gebracht:

${\frac {\zeta (v)}{2^{v}}}={\frac {\lambda (v)}{2^{v}-1}}={\frac {\eta (v)}{2^{v}-2}}$

bzw.

$\zeta (v)+\eta (v)=2\lambda (v).$

Die Dirichletsche eta-Funktion ist ein Spezialfall des Polylogarithmus, denn es gilt:

$\eta (x)=-\mathrm {Li} _{x}(-1).$

Damit ist sie auch ein Spezialfall der Lerchschen Zeta-Funktion:

$\eta (s)=\Phi (-1,s,1).$

Außerdem gilt

$\int \limits _{0}^{1}\int \limits _{0}^{1}{\frac {[-\ln(xy)]^{s}}{1+xy}}\;\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=\Gamma (s+2)\eta (s+2).$

Literatur

• Eric W. Weisstein: Dirichlet Eta Function. In: MathWorld (englisch).
• Milton Abramowitz, Irene Stegun: Handbook of Mathematical Functions, New York: Dover, 1972.
• Konrad Knopp [1922]: Theory and Application of Infinite Series. Dover, 1990, ISBN 0-486-66165-2..