Voigt-Profil

Verschiedene Voigt-Profile jeweils mit Halbwertsbreite 2. Spezialfälle sind die Lorentz-Kurve (blau) und die Gauß-Kurve (grün).

Unter dem Voigt-Profil oder auch der Voigtfunktion (nach Woldemar Voigt) versteht man die Faltung einer Gauß-Kurve $G(x)$ mit einer Lorentz-Kurve $L(x)$.

Mathematische Beschreibung

$V(x;\sigma ,\gamma )=(G*L)(x)=\int G(\tau )L(x-\tau )d\tau$

$G(x;\sigma )={\frac {e^{-x^{2}/(2\sigma ^{2})}}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}$

$L(x;\gamma )={\frac {\gamma }{\pi (x^{2}+\gamma ^{2})}}.$

$\sigma$ entspricht der Standardabweichung einer Gauß-Verteilung. In der Spektroskopie wird sie als Dopplerbreite bezeichnet. $\gamma$ ist die halbe Halbwertsbreite der Lorentzverteilung, in der Spektroskopie als Druckverbreitung bekannt. Das Voigt-Profil entsteht aus der Faltung des Gauß-Profils mit dem Lorentz-Profil. Das Voigt-Profil ist wie jeweils das Gauß- und Lorentz-Profil auf 1 normiert (Fläche unter den Profilen).

Numerische Darstellung

Für das Faltungsintegral $V(x)$ existiert keine analytische Lösung, doch kann es als Realteil der Faddeeva-Funktion $w(z)$ (skalierte komplexe Fehlerfunktion, Plasma-Dispersionsfunktion) ausgedrückt werden, für die hinreichend gute Näherungen verfügbar sind:

$V(x;\sigma ,\gamma )={\frac {\operatorname {Re} \left[w(z)\right]}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}.$

$z$ ist hier definiert als

$z={\frac {x+i\gamma }{\sigma {\sqrt {2}}}}.$

Die Breite des Voigt-Profils

Die Halbwertsbreite des Voigt-Profils lässt sich aus den Breiten der beteiligten Lorentz- und Gauß-Kurven bestimmen. Bekannt sind die Breiten des Gauß-Profils (fwhm: volle Breite bei halbem Maximum),

$f_{\mathrm {G} }={\sqrt {8\ln(2)}}\sigma ,$

und des Lorentz-Profils,

$f_{\mathrm {L} }=2\gamma .$

Die Breite des Voigt-Profils $f_{\mathrm {V} }$ ist eine Funktion von $f_{\mathrm {G} }$ und $f_{\mathrm {L} }$.

Die einfachste Näherung ist die symmetrische Interpolationsformel

$f_{\mathrm {V} }\approx {\sqrt {f_{\mathrm {G} }^{2}+f_{\mathrm {L} }^{2}}},$

die jedoch $f_{\mathrm {V} }$ um bis zu 16 % unterschätzt.

Eine bessere Näherung ist nach Olivero and Longbothum

$f_{\mathrm {V} }\approx 0{,}5346f_{\mathrm {L} }+{\sqrt {0{,}2166f_{\mathrm {L} }^{2}+f_{\mathrm {G} }^{2}}}$

mit einer maximalen Abweichung von 0,023%.

Eigenschaften

Die Voigt-Funktion ist invariant gegenüber Faltung, d. h., die Faltung einer Voigt-Funktion mit einer weiteren Voigt-Funktion ergibt wieder eine Voigt-Funktion. Die Linienbreiten des Gauß- bzw. Lorentz-Anteils ergeben sich dabei zu:

$f_{\mathrm {G} }^{2}=\sum _{i}{(f_{\mathrm {G} }^{2})_{i}}$

und

$f_{\mathrm {L} }=\sum _{i}{(f_{\mathrm {L} })_{i}}$.

Näherung durch Pseudo-Voigt-Profil

Beim Vergleich zwischen Voigt-Profil (blau) und Pseudo-Voigt-Profil (magenta) sind kaum Unterschiede erkennbar.

Das Pseudo-Voigt-Profil (oder die Pseudo-Voigt-Funktion) ist eine Näherungsfunktion für das Voigt-Profil, bei der die Faltung durch eine Linearkombination aus Gauß- und Lorentzkurve ersetzt wird. Es wird traditionell zur Ausgleichsrechnung von Röntgendiffraktometrie-Profilen verwendet. Seit eine effiziente und sehr genaue Implementierung der eigentlichen Voigt-Funktion zur Verfügung steht, gibt es keinen guten Grund mehr für die Verwendung dieser Näherung.

Mathematische Definition:

$V_{p}(x)=\eta \cdot L(x)+(1-\eta )\cdot G(x)\;$   mit   $0<\eta <1$

$G(x)=\exp {\left[-\ln(2)\cdot \left({\frac {x-x_{0}}{w}}\right)^{2}\right]}\;$

$L(x)={\frac {1}{1+({\frac {x-x_{0}}{w}})^{2}}}$

Dabei ist $2w$ die Halbwertsbreite der Pseudo-Voigt-Funktion.

Beispiele

Bei einem großen Verhältnis zwischen Druck- und Dopplerverbreiterung $\gamma /\sigma \gg 1$ ist das Voigt-Profil mit dem Lorentz-Profil fast identisch. Nur unmittelbar an der Linienmitte tritt eine geringe Abrundung durch die Faltung mit der Gaußkurve auf. Liegt $\gamma /\sigma$ bei 1, wird der zentrale Teil der Linie durch das Gauß-Profil dominiert, man spricht dann vom Dopplerkern. Außen setzt sich jedoch das viel langsamer abfallende Lorentz-Profil durch, man bezeichnet diesen Bereich als Dämpfungsflügel. Im Falle $\gamma /\sigma \ll 1$ wird aus dem Voigt-Profil nahezu ein Gauß-Profil. Die logarithmische Darstellung (die Gaußkurve erscheint dann als Parabel) lässt jedoch erkennen, dass sehr weit von der Linienmitte entfernt immer noch das Lorentz-Profil hervortritt, allerdings dann auf sehr niedrigem Niveau.

Der Fall $\gamma /\sigma \gg 1$ entspricht durchwegs irdischen Bedingungen, denen etwa die Spektrallinien der in der Erdatmosphäre vorhandenen Moleküle unterworfen sind. Der Fall $\gamma /\sigma =1$ oder gar $\gamma /\sigma \ll 1$ setzt niedrige Drücke und hohe Temperaturen voraus, wie sie zumeist für Sternatmosphären charakteristisch sind.

Literatur

• Woldemar Voigt: Das Gesetz der Intensitätsverteilung innerhalb der Linien eines Gasspektrums. Sitzungsbericht der Bayerischen Akademie der Wissenschaften, Band 25, 1912, S. 603–620, (online).
• Z. Shippony, W. G. Read, A Highly Accurate Voigt Function Algorithm. In: Journal of Quantitative Spectroscopy & Radiative Transfer. Bd. 50, Nr. 6, 1993, ISSN 0022-4073, S. 635–645, doi:10.1016/0022-4073(93)90031-C; Erratum: A Correction to a Highly Accurate Voigt Function Algorithm. ebenda Bd. 78, Nr. 2, 2003, S. 255, doi:10.1016/S0022-4073(02)00169-3.

Weblinks

• https://jugit.fz-juelich.de/mlz/libcerf, numerische C-Bibliothek für komplexe Fehlerfunktionen von Steven G. Johnson und Joachim Wuttke, enthält eine Funktion voigt (x, sigma, gamma) mit ungefähr 13-stelliger Genauigkeit.