Schwach-kompakter Operator

Schwach-kompakte Operatoren werden in der Funktionalanalysis untersucht. Es handelt sich dabei um eine Klasse linearer beschränkter Operatoren zwischen Banachräumen mit einer zusätzlichen Kompaktheitseigenschaft, die den kompakten Operatoren nachempfunden ist. Diese Begriffsbildung spielt eine wichtige Rolle in der Dunford-Pettis-Eigenschaft.

Definition

Seien $X$ und $Y$ Banachräume. Ein linearer Operator $T\colon X\rightarrow Y$ heißt schwach-kompakt, wenn für jede beschränkte Menge $B\subset X$ der schwache Abschluss ${\overline {T(B)}}^{w}$ des Bildes schwach kompakt ist.

Ersetzt man in dieser auf S. Kakutani und K. Yosida zurückgehenden Definition die schwache Topologie durch die Normtopologie, so erhält man genau den Begriff des kompakten Operators.

Eigenschaften

Für einen linearen Operator $T\colon X\rightarrow Y$ zwischen Banachräumen gilt:

$T$ kompakter Operator $\Rightarrow \,T$ schwach-kompakter Operator$\Rightarrow \,T$ beschränkter Operator.

Die Umkehrungen gelten nicht, wie die identischen Operatoren auf den Folgenräumen $\ell ^{1}$ und $\ell ^{2}$ zeigen.

• ${\rm {id}}_{\ell ^{1}}$ ist beschränkt, aber nicht schwach-kompakt.
• ${\rm {id}}_{\ell ^{2}}$ ist schwach-kompakt, aber nicht kompakt.

Sind $X$ und $Y$ Banachräume, von denen mindestens einer reflexiv ist, so ist jeder beschränkte lineare Operator zwischen ihnen schwach-kompakt.

Summen, skalare Vielfache und Norm-Grenzwerte schwach-kompakter Operatoren sind wieder schwach-kompakt. Ein Produkt $ST$ beschränkter linearer Operatoren ist schwach-kompakt, wenn einer der Faktoren $S$ oder $T$ schwach-kompakt ist. Die Menge aller schwach-kompakten Operatoren zwischen den Banachräumen $X$ und $Y$ ist daher bezüglich der Operatornorm wieder ein Banachraum. Im Falle $X=Y$ liegt ein abgeschlossenes zweiseitiges Ideal in der Banachalgebra aller beschränkten Operatoren auf $X$ vor.

Charakterisierungen

Der folgende einfache Satz charakterisiert die schwache Kompaktheit:

Für einen linearen Operator $T\colon X\rightarrow Y$ zwischen Banachräumen sind

folgende Aussagen äquivalent:

• $T$ ist schwach-kompakt.
• $T(\{x\in X;\|x\|\leq 1\})$ ist relativ schwach-kompakt.
• Jede beschränkte Folge $(x_{n})_{n}$ in $X$ hat eine Teilfolge $(x_{n_{m}})_{m}$, so dass $(Tx_{n_{m}})_{m}$ in $Y$ schwach konvergiert.

In der folgenden auf V. R. Gantmacher (für den Fall separabler Räume) und Nakamura (für den allgemeinen Fall) zurückgehenden Charakterisierung bezeichne $j_{X}$ die kanonische Einbettung in den Bidualraum $X''$.

Für einen linearen Operator $T\colon X\rightarrow Y$ zwischen Banachräumen sind folgende Aussagen äquivalent:

• $T$ ist schwach-kompakt.
• $T''(X'')\subset j_{Y}(Y)\subset Y''$.

Satz von Gantmacher

In Analogie zum Satz von Schauder gilt der folgende

Satz von Gantmacher: Für einen linearen Operator $T\colon X\rightarrow Y$ zwischen Banachräumen sind folgende Aussagen äquivalent:

• $T$ ist schwach-kompakt.
• Der adjungierte Operator $T'\colon Y'\rightarrow X'$ ist schwach-kompakt.

Daraus kann man eine weitere Charakterisierung herleiten: Für einen linearen Operator $T\colon X\rightarrow Y$ zwischen Banachräumen sind folgende Aussagen äquivalent:

• $T$ ist schwach-kompakt.
• $T'\colon Y'\rightarrow X'$ ist schwach*-schwach-stetig.

Faktorisierung über reflexive Räume

Man sagt, ein stetiger, linearer Operator Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T\colon X\rightarrow Y} faktorisiert über einen Banachraum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Z} , falls es stetige lineare Operatoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S\colon X\rightarrow Z} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle R\colon Z\rightarrow Y} gibt mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T=R\circ S} . Da ein stetiger, linearer Operator zwischen zwei Banachräumen, von denen einer reflexiv ist, nach obigen Eigenschaften schwach-kompakt ist und da Produkte von stetigen linearen Operatoren bereits dann schwach-kompakt sind, wenn mindestens ein Faktor schwach-kompakt ist, muss bereits jeder stetige, lineare Operator, der über einen reflexiven Raum faktorisiert, schwach-kompakt sein. Nach einem Satz von Davis, Figiel, Johnson und Pełczyński gilt hiervon auch die Umkehrung, das heißt, man hat insgesamt die folgende Charakterisierung schwach-kompakter Operatoren:

• Ein stetiger, linearer Operator ist genau schwach-kompakt, wenn er über einen reflexiven Banachraum faktorisiert. Dabei können die Normen der Faktoren durch das Doppelte der Norm des Ausgangsoperators begrenzt werden.

Schwach-kompakte Operatoren auf C(K)

Es sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K} ein kompakter Hausdorffraum und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle C(K)} sei der Funktionenraum der stetigen Funktionen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K\rightarrow \R} mit der Supremumsnorm. Dann lassen sich die schwach-kompakten Operatoren Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T\colon C(K)\rightarrow X} mit Werten in einem Banachraum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} wie folgt angeben:

Es sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mu} ein reguläres, vektorielles Maß auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K} (mit der borelschen σ-Algebra) mit Werten in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} . Regularität bedeutet hier, dass die skalaren Maße Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \varphi\circ \mu} für alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \varphi \in X'} regulär sind. Dann ist durch

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T_\mu f := \int_Kf \mathrm{d}\mu}

ein schwach-kompakter Operator Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T_\mu\colon C(K)\rightarrow X} gegeben. Die Operatornorm von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T_\mu} ist gleich der Semivariation des Maßes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mu} .

Umgekehrt hat jeder schwach-kompakte Operator Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T\colon C(K)\rightarrow X} diese Gestalt, das heißt, es gibt ein reguläres vektorielles Maß Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mu} auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K} mit Werten in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} , so dass der Operator durch obige Formel beschrieben wird, das heißt, es gilt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T=T_\mu} .

So ein schwach-kompakter Operator Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T_\mu\colon C(K)\rightarrow X} ist genau dann kompakt, wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \{\mu(A)| A\subset K\text{ Borel-messbar}\} \subset X} relativ kompakt ist. Damit konstruiert man leicht weitere Beispiele schwach-kompakter Operatoren, die nicht kompakt sind.