Chintschin-Integral

Das Chintschin-Integral (engl. Khinchin integral) ist ein Integralbegriff, der die Riemann und Lebesgue-Integrale verallgemeinert. Das Integral ist nach Alexander Chintschin benannt und wird manchmal auch als Denjoy-Chintschin-Integral, verallgemeinertes Denjoy-Integral oder breites Denjoy-Integral bezeichnet.

Die Definition des Chintschin-Integral ähnelt sehr der des Denjoy-Integrals, allerdings benötigt ersteres nur eine approximative Differenzierbarkeit der Stammfunktion.

Einleitung

Verallgemeinerte absolute Stetigkeit:

Eine Funktion $F:[a,b]\to \mathbb {R}$ ist verallgemeinert-absolut-stetig (engl. generalized absolutely continuous) auf $E\subseteq [a,b]$, falls $E$ sich als abzählbare Vereinigung schreiben lässt $\textstyle E=\bigcup _{i\in I}E_{i}$, wobei $F$ auf $E$ stetig ist und auf $\{E_{i}\}_{i\in I}$ absolut-stetig.

Punkt einer Dichte:

Sei $E$ eine messbare Menge und $c$ ein reelle Zahl. Die Dichte von $E$ in $c$ ist definiert als der Grenzwert

$d_{c}E=\lim \limits _{h\to 0^{+}}{\frac {\mu (E\cap (c-h,c+h))}{2h}}$

sofern dieser existiert und $c$ ist genau dann ein Punkt der Dichte (engl. point of density), wenn $d_{c}E=1$ ($\mu$ bezeichnet das Lebesgue-Maß).

Die Menge aller Punkte der Dichte von $E$ bezeichnet man mit $E^{d}$.

Approximative Stetigkeit:

Sei $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ und $c\in [a,b]$. Dann ist $f$ approximativ-stetig in $c$, falls eine messbare Menge $E\subseteq [a,b]$ existiert, so dass $c\in E^{d}$ und $f$ auf $E$ in $c$ stetig ist.

Approximative Differenzierbarkeit

Sei $F:[a,b]\to \mathbb {R}$ und $c\in [a,b]$. $F$ ist approximativ-differenzierbar in $c$, falls eine messbare Menge $E\subseteq [a,b]$ existiert, so dass $c\in E^{d}$ und $F$ auf $E$ in $c$ differenzierbar ist. Die approximative Ableitung (engl. approximate derivative) bezeichnen wir mit $F'_{ap}$.

Definition

Eine Funktion $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ ist Chintschin-integrierbar auf $[a,b]$, falls eine verallgemeinert-absolut-stetige Funktion $F:[a,b]\to \mathbb {R}$ existiert, so dass $F'_{ap}=f$ fast überall auf $[a,b]$. Das Chintschin-Integral $I_{\mathcal {K}}$ ist dann

$I_{\mathcal {K}}(f)=F(b)-F(a)$.