Chintschin-Integral
Das Chintschin-Integral (engl. Khinchin integral) ist ein Integralbegriff, der die Riemann und Lebesgue-Integrale verallgemeinert. Das Integral ist nach Alexander Chintschin benannt und wird manchmal auch als Denjoy-Chintschin-Integral, verallgemeinertes Denjoy-Integral oder breites Denjoy-Integral bezeichnet.
Die Definition des Chintschin-Integral ähnelt sehr der des Denjoy-Integrals, allerdings benötigt ersteres nur eine approximative Differenzierbarkeit der Stammfunktion.
Einleitung
Verallgemeinerte absolute Stetigkeit:
Eine Funktion ist verallgemeinert-absolut-stetig (engl. generalized absolutely continuous) auf , falls sich als abzählbare Vereinigung schreiben lässt , wobei auf stetig ist und auf absolut-stetig.[1]
![{\displaystyle F:[a,b]\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cacd74b0bb95ed9ddf45676b1ad0f3d618c4cdc)
![{\displaystyle E\subseteq [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07a3f179daff7072656193774ff8a7ecc6607548)
Punkt einer Dichte:
Sei eine messbare Menge und ein reelle Zahl. Die Dichte von in ist definiert als der Grenzwert
sofern dieser existiert und ist genau dann ein Punkt der Dichte (engl. point of density), wenn ( bezeichnet das Lebesgue-Maß).
Die Menge aller Punkte der Dichte von bezeichnet man mit .[2]
Approximative Stetigkeit:
Sei und . Dann ist approximativ-stetig in , falls eine messbare Menge existiert, so dass und auf in stetig ist.[3]
![{\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b592d102ccd1ba134d401c5b3ea177baaba3ffac)
![{\displaystyle c\in [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/997256364b06acf0710e5d24da39e8c42991a249)
Approximative Differenzierbarkeit
Sei und . ist approximativ-differenzierbar in , falls eine messbare Menge existiert, so dass und auf in differenzierbar ist. Die approximative Ableitung (engl. approximate derivative) bezeichnen wir mit .[4]
Definition
Eine Funktion ist Chintschin-integrierbar auf , falls eine verallgemeinert-absolut-stetige Funktion existiert, so dass fast überall auf . Das Chintschin-Integral ist dann
![{\displaystyle [a,b]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c4b788fc5c637e26ee98b45f89a5c08c85f7935)
- .[5]
Einzelnachweise
- ↑ Russell A. Gordon: The Integrals of Lebesgue, Denjoy, Perron, and Henstock. 4. Auflage. American Mathematical Society, 1994, ISBN 978-0-8218-3805-1, S. 90.
- ↑ Russell A. Gordon: The Integrals of Lebesgue, Denjoy, Perron, and Henstock. 4. Auflage. American Mathematical Society, 1994, ISBN 978-0-8218-3805-1, S. 223.
- ↑ Russell A. Gordon: The Integrals of Lebesgue, Denjoy, Perron, and Henstock. 4. Auflage. American Mathematical Society, 1994, ISBN 978-0-8218-3805-1, S. 225.
- ↑ Russell A. Gordon: The Integrals of Lebesgue, Denjoy, Perron, and Henstock. 4. Auflage. American Mathematical Society, 1994, ISBN 978-0-8218-3805-1, S. 229.
- ↑ Russell A. Gordon: The Integrals of Lebesgue, Denjoy, Perron, and Henstock. 4. Auflage. American Mathematical Society, 1994, ISBN 978-0-8218-3805-1, S. 237.
