Kardar-Parisi-Zhang-Gleichung

Die Kardar-Parisi-Zhang-Gleichung (KPZ-Gleichung) ist eine nicht-lineare stochastische partielle Differentialgleichung (SPDGL), die u. a. in der statistischen Mechanik vorkommt. Die Gleichung beschreibt das stochastische Grenzflächenwachstum für aus der Atmosphäre auf die Oberfläche fallende Partikel. Sie ist die stochastische Raumzeitevolution der Fluktuation.

Die Gleichung wurde von den Physikern Mehran Kardar, Giorgio Parisi und Yi-Cheng Zhang im Jahr 1986 eingeführt.

Definition

Die KPZ-Gleichung ist definiert als

$\partial _{t}h=\nu \Delta h+{\frac {\lambda }{2}}(\nabla h)^{2}+{\sqrt {D}}\eta .$

wobei die Lösung $h({\vec {x}},t)$ ein Höhenfeld der Oberfläche mit Raumkoordinate ${\vec {x}}$ und Zeitkoordinate $t$ ist. Weiter ist

• $\nu \nabla ^{2}h$ ein glättender Diffusionsterm,
• ${\frac {\lambda }{2}}(\nabla h)^{2}$ ein nicht-linear wachsender Ausdruck,
• $\eta ({\vec {x}},t)$ ein raumzeitliches weißes gaußsches Rauschen mit $\mathbb {E} [\eta ]=0$ und $\operatorname {Var} [\eta ]=2\delta (t-t')\delta ^{d}({\vec {x}}-{\vec {x}}')$,
• $\Delta =\nabla ^{2}$ der Laplace-Operator und $\nabla$ der Nabla-Operator (nach ${\vec {x}}$ abgeleitet).

Die Gleichung trifft man auch in folgender Form an

$\partial _{t}h=\nu \Delta h+{\frac {\lambda }{2}}(\nabla h)^{2}+{\tilde {\eta }}$

wobei ${\tilde {\eta }}$ und $\operatorname {Var} [{\tilde {\eta }}]=2D\delta (t-t')\delta ^{d}({\vec {x}}-{\vec {x}}')$.

Parametrisierung

• $\nu ,\lambda ,D,d$ sind Parameter. $D$ bezeichnet die Amplitude des Rauschens und $d$ ist die Dimension des Modells. $\nu$ ist die Diffusivität und $\lambda$ die Stärke der Wachstumsgeschwindigkeit.

Die Standard-Parametrisierung für den eindimensionalen Fall $d=1$ ist $\nu ={\tfrac {1}{2}},\lambda =1,D=1$, somit

$\partial _{t}h={\frac {1}{2}}\Delta h+{\frac {1}{2}}(\nabla h)^{2}+\eta .$

Lösung der Gleichung

Cole-Hopf-Transformation

Sei $h_{t}$ eine Lösung der KPZ-Gleichung und betrachte den stochastischen Prozess $\theta _{t}:=\exp(-h_{t})$, dann ist $\theta _{t}$ die Lösung der stochastischen Wärmeleitungsgleichung

$\mathrm {d} \theta _{t}={\frac {1}{2}}\Delta \theta _{t}\mathrm {d} t-\theta _{t}\mathrm {d} W_{t}$

wobei ${\dot {W}}_{t}={\tilde {\eta }}$ das raumzeitliche weiße gaußsche Rauschen bezeichnet ($W_{t}$ ist ein zylindrischer Wiener-Prozess und das Zeitintegral von ${\tilde {\eta }}$).

Geschichte

2012 veröffentlichte der österreichische Mathematiker Martin Hairer eine Lösung, die die bestehende Cole-Hopf-Lösung erweitert. 2014 bekam er unter anderem dafür die Fields-Medaille.