Normtopologie

Eine Normtopologie ist in der Mathematik eine Topologie auf einem normierten Vektorraum, die durch die Norm des Vektorraums induziert wurde.

Definition

Beziehungen zwischen Norm, Metrik und Topologie

Ist $(V,\|\cdot \|)$ ein normierter Vektorraum, so induziert die Norm des Raums durch Differenzenbildung zweier Vektoren $x,y\in V$ eine Metrik

$d(x,y):=\|x-y\|$.

auf $V$. Mit dieser Metrik wird der Vektorraum zu einem metrischen Raum $(V,d)$. Eine Metrik kann nun verwendet werden, um eine ε-Umgebung um einen Vektor $x\in V$ durch

$U_{\varepsilon }(x):=\{\,y\in V,\,d\,(x,y)<\varepsilon \,\}$

zu definieren. Damit heißt dann eine Teilmenge $M\subset V$ offen, falls

$\forall \ {x\in M}\;{\exists \ \varepsilon }>0:U_{\varepsilon }(x)\subset M$

gilt. Über diese offenen Mengen induziert die Metrik nun auf $V$ eine Topologie

${\mathcal {T}}:=\{M\subset V,\,M\,{\text{offen}}\}$.

Mit dieser Topologie wird der Vektorraum zu einem topologischen Vektorraum $(V,{\mathcal {T}})$ und diese letztendlich von der Norm induzierte Topologie heißt Normtopologie.

Topologie-Axiome

Die Normtopologie ist tatsächlich eine Topologie, wie sich durch eine Überprüfung der drei Topologie-Axiome, die in der folgenden Form für alle metrischen Räume gültig ist, nachweisen lässt.

1. Die leere Menge und die Grundmenge sind offen:
   Die leere Menge ist offen, da es kein $x$ gibt, für das eine geeignete ε-Umgebung gefunden werden müsste. Die Grundmenge $V$ ist offen, da sie eine ε-Umgebung aller ihrer Elemente ist.
2. Der Durchschnitt endlich vieler offener Mengen ist offen:
   Seien die Mengen $M_{1},\ldots ,M_{n}$ mit $n\in \mathbb {N}$ offen. Dann existieren Schranken $\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{n}$ und ein $x$ aus dem Schnitt dieser Mengen, sodass $U_{\varepsilon _{i}}(x)\subset M_{i}$ für $i=1,\ldots ,n$ gilt. Wählt man nun $\varepsilon =\min\{\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{n}\}$, dann ist $U_{\varepsilon }(x)\subset M_{1}\cap \ldots \cap M_{n}$ und somit ist der Durchschnitt dieser Mengen offen.
3. Die Vereinigung beliebig vieler offener Mengen ist offen:
   Sei $I$ nun eine beliebige Indexmenge und seien die Mengen $M_{i}$ für $i\in I$ offen. Liegt $x$ in der Vereinigung dieser Mengen, dann gibt es einen Index $i\in I$ mit $x\in M_{i}$ und eine Schranke $\varepsilon$, sodass $U_{\varepsilon }(x)\subset M_{i}$ gilt. Daraus folgt dann $U_{\varepsilon }(x)\subset \bigcup _{i\in I}M_{i}$ und somit ist die Vereinigung dieser Mengen offen.

Eigenschaften

• Die Normtopologie ist eine spezielle starke Topologie. Sie ist von der schwachen Topologie und der schwach-*-Topologie zu unterscheiden.
• Ein mit einer Normtopologie versehener topologischer Raum ist immer hausdorffsch, da zwei Vektoren $x,y\in V$ mit $x\neq y$ durch Umgebungen $U_{\varepsilon }(x)$ und $U_{\varepsilon }(y)$ mit $\textstyle \varepsilon ={\tfrac {1}{2}}d(x,y)$ voneinander getrennt werden.
• Nach dem Normierbarkeitskriterium von Kolmogoroff wird die Topologie eines hausdorffschen topologischen Vektorraums genau dann durch eine Norm erzeugt, wenn er eine beschränkte und konvexe Nullumgebung besitzt.