Diskussion:Wohlfundierte Relation

Fundierte_Menge

Wir haben ja schon einen Artikel Fundierte Menge, dort sollte dieser Artikel eingebaut werden. --Wuzel 14:12, 14. Jul. 2011 (CEST)

Klassisch Wohlfundiertheit falsch definiert?

Dort steht:

> $\prec$ ist klassisch wohlfundiert (bewohnte Teilmengen von $M$ haben ein minimales Element): $\forall X\subseteq M.\ \forall x_{0}\in M.\ \exists x\in M.\ \forall y\in M.\ y\not \prec x$.

Jedoch tauchen X und x_0 außer im Quantor nirgends mehr auf, sind also nutzlos.

Dass da überall $M$ statt $X$ stand, war soetwas wie ein Tippfehler. Danke für den Hinweis.

Dass $x_{0}$ nicht weiter auftaucht, ist richtig so: Es wird etwas für den Fall gefordert, dass es ein Element $x_{0}\in X$ gibt. Was gefordert wird, ist aber nicht von $x_{0}$ abhängig. --Daniel5Ko (Diskussion) 02:19, 19. Okt. 2018 (CEST)

Die Begriffe "LEM" und "bewohnt" müssen erklärt werden

oder einen Link bekommen. –Nomen4Omen (Diskussion) 09:05, 9. Okt. 2021 (CEST)

"bewohnt" hat einen Link (ist eben nur rot xD). Viel dran ist eigentlich nicht, höchstens die Verwechselung mit "nichtleer" ist leidlich interessant. "$X$ ist bewohnt" heißt jedenfalls, dass es in $X$ ein Element gibt. --Daniel5Ko (Diskussion) 02:48, 2. Apr. 2022 (CEST)

Nun blau, als Experiment. Mal sehen, wie lange das Bestand hat. --Daniel5Ko (Diskussion) 03:36, 2. Apr. 2022 (CEST)

Den Zusatz im Artikel Menge (Mathematik) hab ich aufs erste für Vandalismus gehalten. Das sagt niemandem was, und was ist aus der schönen Sitte einer Quellenangabe geworden? --Alazon (Diskussion) 08:41, 2. Apr. 2022 (CEST)

Dass die Begriffe auseinanderzuhalten sind, ist völlig klar. Welche Vokabeln man für die beiden Begriffe verwendet, ist eine andere Frage, aber ich denke schon, dass man "bewohnt" für den positiven als recht etabliert ansehen kann. Eigentlich so weit, dass keine Quelle erforderlich ist. Wenn du das anders siehst, google doch und füge irgendwas ein. --Daniel5Ko (Diskussion) 20:54, 14. Jun. 2022 (CEST)

"Das sagt niemandem was" kann ich übrigens fast gar nicht nachvollziehen. Natürlich haben Leute mit zu geringem IQ und/oder zu vielen Schnellurteilen Probleme. Logik ist nicht so einfach. Dass angeblich die Ergänzung niemandem etwas sagt, ist aber einfach falsch. Ein erheblicher Anteil der Informatikstudenten, der in den letzten paar Jahren den Bachelor-Abschluss gemacht hat, dürfte mit dem Begriff (und dem Gegensatz des doppelt-negierten) Kontakt gehabt haben. --Daniel5Ko (Diskussion) 21:30, 14. Jun. 2022 (CEST)

Ich habe mich in meinem Studium intensiv mit Mengenlehre befasst, aber der Begriff "bewohnt" ist mir nie begegnet. --Digamma (Diskussion) 20:34, 1. Aug. 2022 (CEST)

Mengenlehre reicht nicht. Man muss sich intensiv mit Logik beschäftigen (also zumindest: nicht nur klassische Logik sehen), um die Notwendigkeit einer Vokabel für diesen Begriff zu bemerken. --Daniel5Ko (Diskussion) 21:19, 1. Aug. 2022 (CEST)

Darum geht es nicht. "Wohlfundierte Relation" ist zunächst ein Begriff der Mengenlehre, nicht der Logik. Und die Frage war, ob man den Begriff ohne Erklärung verstehen kann. Und wenn das nicht einmal jemand tut, der sein Mathe-Diplom mit einer Arbeit aus dem Gebiet der Mengenlehre erworben hat, dann ist der Artikel für Wikipedia zu unverständlich. --Digamma (Diskussion) 21:47, 2. Aug. 2022 (CEST)

Die Logik spielt eine ganz entscheidende Rolle, wenn man die möglichen Definitionen für "wohlfundierte Relation", die Mengenlehre-Vokabular verwenden, interpretieren und in Beziehung setzen will.

Für den in klassischer Logik gefangenen Leser ist doch im oberen Teil des Artikels alles gesagt. Wer weiter vordringen will, wird kein Problem damit haben, dass "nichtleer" kein Synonym von "bewohnt" ist (und leicht zu verstehen sowie verlinkt ist "bewohnt" ja auch; sehe das Problem nicht). --Daniel5Ko (Diskussion) 00:17, 3. Aug. 2022 (CEST)

Mir wird in dem Artikel nicht klar, dass es im unteren Teil um verschiedene Logiken geht. Der Titel des Abschnitts "Beziehungen zwischen den Definitionen" deutet nicht daraufhin. Das könnte man besser herausarbeiten. --Digamma (Diskussion) 09:43, 3. Aug. 2022 (CEST)

Nochmal zu "bewohnt". An der verlinkten Stelle steht "Eine bewohnte Menge ist eine Menge, die ein Element enthält." Für mich ist das die Definition von "nicht-leer". Wenn das in nicht-klassischer Logik anders ist, dann müsste man das genauer erläutern und nicht nur schreiben "Im Kontext klassischer Logik ist das äquivalent dazu, nichtleer zu sein. In interessanteren Kontexten sind „nichtleer“ und „bewohnt“ inhaltlich verschiedene Begriffe."

Die Formulierung "interessantere Kontexte" ist außerdem hochgradig POV. Klassische Mengenlehre ist sehr interessant. --Digamma (Diskussion) 09:51, 3. Aug. 2022 (CEST)

In gefühlt fast jedem Satz wird "klassische Logik" und/oder "konstruktiv" erwähnt. Das sollte doch ausreichend sein, um zu erkennen, dass es um eine etwas allgemeinere Betrachtung geht.

"Sehr interessant" mag ja stimmen, "interessanter" geht dann aber immer noch (und ist m.E. ein ganz einfacher objektiver Fakt: klassische Logik als Spezialfall). Nichts desto trotz steht es dir frei, den Text zu ändern. Mir persönlich würde "Eine bewohnte Menge ist eine Menge, die ein Element enthält." ja reichen, aber ein kurzer Hinweis darauf, dass das nicht dasselbe wie Nichtleerheit ist, schien mir jedoch angebracht. --Daniel5Ko (Diskussion) 10:57, 3. Aug. 2022 (CEST)

Sorry, für mich ist es dasselbe. Wenn man mit nicht-klasischer Logik arbeitet müsste man da genau angeben, welche Definition man für "nicht-leer" nimmt. Aber meiner Meinung nach gehört das nicht in den Artikel über Mengen.

Was den genannten Abschnitt hier betrifft: Da steht:

"Mit ${\mathord {\prec }}\subseteq M\times M$ sind folgende Definitionen dafür möglich, dass $\prec$ wohlfundiert ist:

1. $\prec$ ist klassisch wohlfundiert (bewohnte Teilmengen von $M$ haben ein $\prec$-minimales Element): $\forall X\subseteq M.\,\forall x_{0}\in X.\,\exists x\in X.\,\forall y\in X.\,y\not \prec x$.
2. $\prec$ ist wohlfundiert (wohlfundierte Induktion ist gültig): $\forall X\subseteq M.\,(\forall x\in M.\,(\forall y\in M.\,y\prec x\to y\in X)\to x\in X)\to \forall x\in M.\,x\in X$.
3. Bezüglich $\prec$ gibt es keinen unendlichen Abstieg (relational formuliert): $\lnot \exists X\subseteq M.\,\exists x_{0}\in X.\,\forall x\in X.\,\exists y\in X.\,y\prec x$.
4. Bezüglich $\prec$ gibt es keinen unendlichen Abstieg: $\lnot \exists f\in M^{\mathbb {N} }.\,\forall n\in \mathbb {N} .\,f(n+1)\prec f(n)$.

(1) und (3) sind offenkundig äquivalent zueinander, wenn klassische Logik verwendet wird."

Erst in der letzten Zeile taucht hier der Begriff "klassische Logik" auf. Und sorry, aber nicht-klassische Logiken ins Spiel zu bringen ist keine allgemeinere Betrachtung, sondern ein Spezialthema. --Digamma (Diskussion) 22:27, 3. Aug. 2022 (CEST)

Nimm als Definition für "nicht-leer" einfach "nicht leer". Das ist aber unerheblich und off-topic, denn bei der Vokabel "bewohnt" ist recht genau festgelegt, was sie bedeutet.

Nichtklassische Logiken sind kein Spezialthema, sondern tägliches Brot und Butter vieler Leser (völlige Beliebigkeit propagiere ich hier nicht; die internen Sprachen von Topoi sind vll. eine gute base-line). Für diejenigen, die damit gerade anfangen, dürfte im gegenwärtigen Zustand ein gutes Nachschlageziel vorhanden sein (zum Thema Wohlfundiertheit).

Diejenigen, die sich nicht für Grundlagen interessieren und mit klassischer Logik glücklich sind, können den unteren Teil ignorieren. --Daniel5Ko (Diskussion) 01:13, 4. Aug. 2022 (CEST)

Dann muss dass das aber aus der Abschnittsüberschrift bzw. dem Anfang des Abschnitts klar werden.

Aber was heißt: "die sich nicht für Grundlagen interessieren"? Gehört klassische (axiomatische) Mengenlehre oder klassische Prädikatenlogik für dich nicht zu den Grundlagen? --Digamma (Diskussion) 08:49, 4. Aug. 2022 (CEST)

Aber nochmal nachgefragt: Wenn "nicht-leer" einfach "nicht leer" ist, was ist der Unterschied zu bewohnt? Müsste man das nicht erläutern, wenn man die Begriffe unterscheidet? Müsste man nicht erläutern, welche nicht-klassischen Logiken man benutzt, bzw. welche Schlussregeln man zulässt und welche nicht? --Digamma (Diskussion) 08:54, 4. Aug. 2022 (CEST)

Ich wäre gerne noch strenger als Digamma:

1. Das Wort interessanter in »In interessanteren Kontexten sind „nichtleer“ und „bewohnt“ inhaltlich verschiedene Begriffe.« (zu finden in Menge (Mathematik)#Bewohnte Menge) verletzt IMHO nicht nur WP:POV, sondern ist vor allem kaum zu überbietende Wichtigtuerei. In was unterscheiden sich diese Kontexte und was macht den vertrauten Kontext uninteressanter?
2. »Inhaltlich verschieden«: Nimmst Du, lieber Daniel5Ko, an, dass Du jeden der beiden Begriffe jetzt erklärt und der Leser das auch verstanden hat?
3. Du verwendest einmal gefühlt »In gefühlt fast jedem Satz wird "klassische Logik" und/oder "konstruktiv" erwähnt. Das sollte doch ausreichend sein, um zu erkennen, dass es um eine etwas allgemeinere Betrachtung geht.«,
4. »eine etwas allgemeinere Betrachtung«: Wissen wir jetzt welche Betrachtung gemeint ist?
5. einmal »mit klassischer Logik glücklich sind«. Ist Dein Ziel eine Emotionalisierung der Logik? Man muss schließen, dass Du sehr sehr unglücklich warst.

Normalerweise sind Negationen von Begriffen durch das reine Davorstellen von Nicht-, wie hier »nicht-klassische Logik« oder »inhaltlich verschieden«, dadurch nicht auch schon definiert. Tauchen bspw. die Fragen auf: Gibt es mehrere nicht-klassische Logiken – unendlich viele oder nur eine einzige? Wie sehen, wie sieht sie aus? Ist sie oder sind sie irgendwo beschrieben? In WP? Worin unterscheiden sie sich von der klassischen Logik?

Und Du, lieber Daniel5Ko, hast das alles verstanden? Unglaublich! Hut ab!

Tut mir ehrlich leid: Ich bin nicht soweit – ich hab nicht verstanden, worauf's ankommt. Nur, dass alles anders sein soll. --Nomen4Omen (Diskussion) 12:21, 4. Aug. 2022 (CEST)

Es ist nicht alles anders. Man nimmt üblicherweise intuitionistische Logik, konstruktive Mathematik zu betreiben (manche liebäugeln aber auch mit linearer Logik). "nichtleer" ordnet sich mit naheliegender Übersetzung so ein:

${\begin{array}{ll}A{\text{ ist bewohnt}}&\exists x.\,x\in A\\A{\text{ ist leer}}&\lnot \exists x.\,x\in A\\A{\text{ ist nichtleer}}&\lnot \lnot \exists x.\,x\in A\\\end{array}}$

--Daniel5Ko (Diskussion) 15:52, 4. Aug. 2022 (CEST)

So, hab' mal ein wenig umformuliert.

Nichts desto trotz auch noch etwas zu "interessanter": Es gibt einen Satz, der sagt: "Eine kartesisch abgeschlossene Kategorie mit endlichen Koprodukten, in der $A$ isomorph zu $0^{0^{A}}$ ist für alle Objekte $A$, ist ein Poset!" xD --Daniel5Ko (Diskussion) 17:07, 4. Aug. 2022 (CEST)

Hab vielen Dank, lieber Daniel5Ko!

Freut mich ein bisschen, dass nicht alles anders ist. Insgesamt scheint da für mich recht viel Neuland zu sein. Ich hätte Deine 3 Zeilen mit Sicherheit folgendermaßen formuliert:

${\begin{array}{lll}A{\text{ ist bewohnt}}&:\Longleftrightarrow &\exists x.\,x\in A\\A{\text{ ist leer}}&:\Longleftrightarrow (?)&\lnot (\exists x.\,x\in A)\\A{\text{ ist nicht leer}}&:\Longleftrightarrow &\lnot (\lnot (\exists x.\,x\in A))\\A{\text{ ist nichtleer}}&\Longrightarrow &\lnot (\lnot (\exists x.\,x\in A))\\\end{array}}$

Die 4. Zeile macht deutlich, dass die Pfeile wichtig sind.

Auch hier bringst Du wieder einen hochemotionalen Begriff, nämlich den des »Liebäugelns«, ein. Und da hast Du zu 100% recht, dass Liebäugeln ein interessanterer Kontext als der der klassischen Logik ist.

Dein Beispiel $0^{0^{A}}$ ist hoch interessant. Aber meinst Du jetzt $\{0\}^{\{0\}^{A}}$ oder $\emptyset ^{\emptyset ^{A}}$ ?

Aber viele Leute lieben die Mathematik und die Logik gerade deshalb, weil sie selbständig und hochgradig unabhängig von anderen Mitmenschen Schlüsse darin ziehen können, also die Mitmenschen nicht so dringend brauchen.

Übrigens Du hast den § Menge (Mathematik)#Bewohnte Menge ein bisschen erweitert. Das finde ich gut. Aber vielleicht solltest Du den Abschnitt noch in den intuitionistischen Kontext stellen, in dem

$\lnot (\lnot A)\quad \lnot \Longleftrightarrow \quad A$

ist. --Nomen4Omen (Diskussion) 17:22, 4. Aug. 2022 (CEST)

Es ist ja nicht nur bei intuitionistischer Logik so, dass $A$ und $\lnot \lnot A$ nicht äquivalent sind.

Zum Satz: $0$ ist "das" initiale Objekt der Kategorie. Und was der Satz zu bedeuten haben sollte: Die Semantik klassischer Aussagenlogik wird ja üblicherweise in Booleschen Algebren angesiedelt. Analogon für intuitionistische Logik: Heytingalgebren. Nun will man manchmal aber statt der Posets etwas allgemeineres haben, nämlich Kategorien. Im intuitionistischen Fall wären das eben kartesisch abgeschlossene Kategorien mit endlichen Koprodukten. Die sind nichttrivial. Das Analogon für klassische Aussagenlogik kann aber wegen des Satzes keine "echte"/nichttriviale Kategorie sein. --Daniel5Ko (Diskussion) 17:37, 4. Aug. 2022 (CEST)

(Randbemerkung: der Artikel, den man via den Link intuitionistische Logik erreicht, ist eigentlich sehr ungeeignet, um intuitionistische Logik zu erklären. :/ Naja; eins nach's andere.) --Daniel5Ko (Diskussion) 19:08, 4. Aug. 2022 (CEST)

Lieber Daniel5Ko, mach's, wie Du's gut findest. Ich bin mit der Mengenlehre ohne den § Menge (Mathematik)#Bewohnte Menge voll zufrieden. Ich brauche den Hinweis zu »bewohnt« in keinster Weise. Meine Anregung war, wenn Du das unbedingt reinbringen möchtest, wäre mir (und vllt auch anderen Lesern) lieb, wenn (wenigstens) ein mathematisch/logisches Gebiet genannt wird, wo diese absonderliche Sprechweise gang und gäbe ist. Um ehrlich zu sein, ich gewinne mehr und mehr den Eindruck, dass das nachher mit der klassischen Mengenlehre nur noch die Buchstaben gemein hat, und bedeutungsmäßig überhaupt nichts mehr. (Aber fraglos tippen wir irgendwelche Buchstaben ins WP ein − und wissen normalerweise nicht, was wir da eintippen.) --Nomen4Omen (Diskussion) 19:29, 4. Aug. 2022 (CEST)

Zufrieden? Davon ab: Da ist nichts absonderlich, sondern nur verallgemeinert. Das ist ungefähr wie Ringtheorie vs. sich nur mit $\mathbb {R}$ und/oder $\mathbb {C}$ zu beschäftigen. --Daniel5Ko (Diskussion) 20:18, 4. Aug. 2022 (CEST)