Magnetostatik

Die Magnetostatik ist ein Teilgebiet der Elektrodynamik. Sie behandelt magnetische Gleichfelder, also zeitlich konstante Magnetfelder.

Grundlagen

In der Magnetostatik wird die räumliche Verteilung von Magnetfeldern in der Umgebung von Dauermagneten und von stationären Strömen (Konzept des Stromfadens) untersucht. Ein stationärer Strom ist beispielsweise Gleichstrom in einem elektrischen Leiter. Hierzu gehören neben den einzelnen magnetischen Eigenschaften der Stoffe wie Ferromagnetismus, Diamagnetismus etc. auch das Erdmagnetfeld. Außerdem beschreibt die Magnetostatik die Kraftwirkung derartig erzeugter Felder auf Magnete und Ströme. Hierzu gehört das Verhalten eines magnetischen Dipols in einem zeitlich konstanten Magnetfeld, beispielsweise das Verhalten einer (frei beweglichen) Magnetnadel im Erdmagnetfeld.

Die Grundbegriffe sind der Elektrostatik analog. Der positiven und negativen elektrischen Ladung entsprechen Nordpole und Südpole, quantitativ: positive und negative Polstärke. Allerdings können magnetische Pole im Gegensatz zu elektrischen Ladungen nicht isoliert werden, sondern treten in einem Körper immer zusammen auf.

Veranschaulichung

Obwohl es keine isolierten magnetischen Ladungen (magnetische Monopole) gibt, können magnetostatische Effekte mit einer Analogie zur Elektrostatik veranschaulicht werden. Dies wird insbesondere in der Schulphysik benutzt: man betrachtet einen Stabmagneten der Länge l als zwei entgegensetzte magnetische Ladungen im Abstand l. Das Analogon zur elektrischen Ladung ist die magnetische Polstärke Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p} . Die Polstärke ist so definiert, dass das magnetische Kraftgesetz (auch: magnetostatisches Kraftgesetz) analog zur Coulomb-Kraft formuliert werden kann:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F = \frac{1}{4\pi\mu_0}\frac{p_1\cdot p_2}{r^2}.}

F ist hierbei die magnetische Kraft, die zwischen zwei Magnetpolen der Polstärke Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p_1} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p_2} im Abstand Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle r} wirkt; μ₀ ist die magnetische Feldkonstante. Die Polstärke ist von der gleichen Dimension wie der magnetische Fluss und wird somit in der Einheit Weber angegeben.

Aus der Definition folgt z. B. bei einem homogenen Feld mit bekannter Flussdichte B und Fläche A für die Kraft:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F = \frac{1}{4\pi\mu_0}\frac{\Phi_1\cdot \Phi_2}{r^2} = \frac{1}{4\pi\mu_0}\frac{B_1 A_1 \cdot B_2 A_2}{r^2}}

Feldtheorie

Für zeitlich konstante Felder „entkoppeln“ die Gleichungen für elektrische (E) und magnetische (B) Felder: setzt man in den Maxwellgleichungen alle Zeitableitungen gleich 0, so entstehen Gleichungen, die nicht gleichzeitig E und B enthalten. Die Phänomene der Magnetostatik lassen sich mit folgenden zwei reduzierten Maxwellgleichungen beschreiben:

1. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \nabla \cdot \vec B = 0}
2. $\nabla \times {\vec {B}}=\mu {\vec {j}}$

Man führt das Vektorpotential Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec A} als Hilfsfeld mit folgender Definition ein:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec B = \nabla \times \vec A }

Dadurch wird automatisch die Gleichung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \nabla \cdot \vec B = 0} erfüllt, da die Divergenz eines Rotationsfeldes identisch 0 ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \nabla \cdot \left( {\nabla \times \vec A} \right) \equiv 0} .

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec A} ist jedoch nicht eindeutig bestimmt, da Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec B} invariant ist unter einer Eichtransformation Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \chi} mit ${\vec {A}}'={\vec {A}}+\nabla \chi$. D. h. die durch A und A’ festgelegten B-Felder sind identisch. Dies ergibt sich aus

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec B' = \nabla \times \vec A' = \nabla \times \vec A + \nabla \times \nabla \chi = \nabla \times \vec A = \vec B} ,

da die Rotation des Gradienten eines Skalarfeldes verschwindet.

Setzt man Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle {\vec {B}}=\nabla \times {\vec {A}}} in die inhomogene Maxwellgleichung (obige Gleichung 2)

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \mu {\vec {j}}=\nabla \times \nabla \times {\vec {A}}=\nabla \left({\nabla \cdot {\vec {A}}}\right)-\Delta {\vec {A}}}

ein ($\Delta$ ist der Laplace-Operator), so ergibt sich mit der Coulomb-Eichung $\nabla \cdot {\vec {A}}=0$ die besonders einfache Form:

$\Delta {\vec {A}}=-\mu {\vec {j}}$

Dies stellt für jede Komponente eine Poisson-Gleichung dar, die durch

${\vec {A}}({\vec {r}})={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int \mathrm {d} ^{3}r'{\frac {{\vec {j}}({\vec {r}}\,')}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}\,'|}}$

gelöst wird.

Wendet man die Rotation auf A an so erhält man das Biot-Savart-Gesetz für das physikalisch relevante B-Feld

${\vec {B}}\left({\vec {r}}\right)=\nabla _{\vec {r}}\times {\vec {A}}\left({\vec {r}}\right)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\nabla _{\vec {r}}\times {\frac {{\vec {j}}\left({{\vec {r}}\,'}\right)}{\left|{{\vec {r}}-{\vec {r}}\,'}\right|}}}\mathrm {d} ^{3}r'={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {\left({\nabla _{\vec {r}}{\frac {1}{\left|{{\vec {r}}-{\vec {r}}\,'}\right|}}}\right)\times }{\vec {j}}\left({{\vec {r}}\,'}\right)\mathrm {d} ^{3}r'={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int {{\vec {j}}\left({{\vec {r}}\,'}\right)\times {\frac {{\vec {r}}-{\vec {r}}\,'}{\left|{{\vec {r}}-{\vec {r}}\,'}\right|^{3}}}\mathrm {d} ^{3}r'}$

Für einen Stromfaden geht ${\vec {j}}\left({{\vec {r}}\,'}\right)\mathrm {d} ^{3}r'$ zu $I\,\mathrm {d} {\vec {s}}\,'$ über:

${\vec {B}}\left({\vec {r}}\right)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}I\int {\mathrm {d} {\vec {s}}\,'\times {\frac {{\vec {r}}-{\vec {r}}\,'}{\left|{{\vec {r}}-{\vec {r}}\,'}\right|^{3}}}}$

Magnetostatische Felder

Magnetostatische Felder existieren innerhalb gleichstromführender Leiter. Sie sind quellenfrei und es gibt keine magnetischen Ladungen,

$\mathrm {div} \;B(r)=0$.

Die Ursache magnetostatischer Felder sind bewegte elektrische Ladungen bzw. ihnen äquivalente Gleichströme mit der Wirbeldichte:

$\mathrm {rot} \;H(r)=J_{L}(r)$.

Literatur

• Wolfgang Demtröder: Experimentalphysik. Bd.2: Elektrizität und Optik. Springer, Berlin 2004, ISBN 3-540-20210-2
• Wolfgang Nolting: Grundkurs Theoretische Physik 3: Elektrodynamik. Springer, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-71251-0
• Adolf J. Schwab: Begriffswelt der Feldtheorie, Springer Verlag, ISBN 3-540-42018-5