Eichtransformation
Eine Eichtransformation verändert die Eichfelder einer physikalischen Theorie (z. B. die elektromagnetischen Potentiale oder die potentielle Energie) dergestalt, dass die physikalisch wirksamen Felder (z. B. das elektromagnetische Feld oder ein Kraftfeld) und damit alle beobachtbaren Abläufe dabei die gleichen bleiben.[1] Dies wird als Eichfreiheit bezeichnet.
Man unterscheidet:
- globale Eichtransformationen: sie werden an jedem Ort mit gleichem Wert durchgeführt, z. B. die Verschiebung des Nullpunkts der potentiellen Energie, die Wahl des Referenzpotentials bei der Messung elektrischer Spannungen, ein konstanter Phasenfaktor an der komplexen Wellenfunktion der Quantenmechanik.
- lokale Eichtransformationen: dabei werden die Veränderungen an einem Parameter nicht durch einen einzigen Wert bestimmt, sondern mit Hilfe einer örtlich und/oder zeitlich variierenden Funktion.
Eine physikalische Wirkung, die invariant unter lokalen Eichtransformationen ist, wird als eichinvariante Wirkung bezeichnet. Eine Theorie, die nach dem Prinzip der kleinsten Wirkung aus einer eichinvarianten Wirkung die physikalischen Bewegungsgleichungen gewinnt, wird als Eichtheorie bezeichnet. Alle fundamentalen Wechselwirkungen – Gravitation, Elektromagnetismus, schwache Wechselwirkung (Beta-Zerfall des Neutrons) und die starke Wechselwirkung (Kernkräfte) – werden durch solche Eichtheorien beschrieben.
Nach dem Noether-Theorem weist die einer Eichtransformation zugrundeliegende Symmetrie auf die Existenz einer Erhaltungsgröße hin.
Elektrodynamik
Die Elektrodynamik ist invariant unter der Eichtransformation
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec A'(\vec r, t) = \vec A(\vec r, t) + \mathrm{grad} \, \Lambda(\vec r, t)\ ,}
welche das elektrische Potential Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \phi} und das magnetische Potential Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{A}} um die partiellen Ableitungen einer beliebig wählbaren Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Lambda} ändert.
Diese Transformation ändert weder das Magnetfeld
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \vec{B} = \mathrm{rot}~\vec{A}}
noch das elektrische Feld
Zur Definition von Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \mathrm {grad} } und Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \mathrm {rot} } siehe Gradient und Rotation.
Beispiele
Eichtransformationen können genutzt werden, um Berechnungen zu vereinfachen.
Die Beispiele verwenden das Maßsystem mit .
Lorenz-Eichung
Durch die nach Ludvig Lorenz benannte Eichtransformation mit einer Eichfunktion , die
- Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \nabla ^{2}\psi -{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi =-(\nabla \cdot {\vec {A}}+{\frac {\partial }{\partial t}}\phi )}
erfüllt, werden die inhomogenen Maxwellgleichungen zu zwei unabhängigen Wellengleichungen von und .
Coulomb-Eichung
Erfüllt die Eichfunktion hingegen
- Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \nabla ^{2}\psi =-\nabla \cdot {\vec {A}}\ ,}
so hilft die Transformation, das Skalarfeld gerade zum Coulomb-Potential der Ladungen zu transformieren; erfüllt dann die elektrostatische Poissongleichung.
Allgemeine Relativitätstheorie
Ebenso ist die Allgemeine Relativitätstheorie eine Eichtheorie, deren Eichtransformation neue Koordinaten als frei wählbare Funktionen der bisherigen Koordinaten festlegt:
- Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle x'^{\mu }=x'^{\mu }(x^{\mu })\ .}
Die Wirkung der Allgemeinen Relativitätstheorie ändert sich unter dieser Eichtransformation nicht.
Literatur
- ↑ Robert G. Brown: Gauge Transformations (englisch) Abgerufen am 17. Januar 2013: „A gauge transformation can be broadly defined as any formal, systematic transformation of the potentials that leaves the fields invariant.“
