Elliptisches Nomen

In der Mathematik ist das Elliptische Nomen (analog zum englischen Wort „nome“: Bezirk, Name) eine nicht elementare Funktion. Diese Funktion entsteht durch eine elementare Kombination aus vollständigen elliptischen Integralen erster Art. Das elliptische Nomen findet in der Theorie über elliptische Modulfunktionen Anwendung. Alternativ kann nach Robert Fricke das elliptische Nomen auch als Jacobische Entwicklungsgröße bezeichnet werden.

Definition

Das Elliptische Nomen ist der Exponentialfunktionswert vom negativem Produkt aus der Kreiszahl und dem reellen Halbperiodenverhältnis. Das reelle Halbperiodenverhältnis ist der Quotient des vollständigen Elliptischen Integrals erster Art vom pythagoräisch komplementären Modul dividiert durch das vollständige elliptische Integral erster Art vom Modul selbst. Jener elliptische Modul bildet die Abszisse der elliptischen Nomenfunktion. Das Elliptische Nomen wird mit dem Buchstaben q gekennzeichnet:

$q(x)\equiv \exp[-\pi K({\sqrt {1-x^{2}}})K(x)^{-1}]$

Dabei ist das vollständige elliptische Integral erster Art auf folgende Weise definiert:

$K(x)=\int _{0}^{\pi /2}{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}\sin(\varphi )^{2}}}}\mathrm {d} \varphi =2\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {(y^{2}+1)^{2}-4x^{2}y^{2}}}}\mathrm {d} y$

Zum imaginären Halbperiodenverhältnis steht das elliptische Nomen in diesem Zusammenhang:

$q(x)=\exp[i\pi \tau (x)]$

Denn es gilt:

$\tau (x)={\frac {iK({\sqrt {1-x^{2}}})}{K(x)}}$

Das imaginäre Halbperiodenverhältnis wird mit dem kleinen griechischen Buchstaben Tau abgekürzt.

Kurvendiskussion

Verlauf des Graphen

Alle reellen x-Werte des Intervalls [-1;+1] werden in der Nomenfunktion q(x) reellen Zahlen zwischen eingeschlossen Null und eingeschlossen Eins zugeordnet. Die elliptische Nomenfunktion ist zur Ordinatenachse achsensymmetrisch. Somit gilt: q(x) = q(-x). Sie verläuft durch den Koordinatenursprung mit der Steigung Null und der Krümmung Plus Ein Achtel. Für das reellwertige Intervall ]-1;+1[ ist die elliptische Nomenfunktion q(x) streng monoton linksgekrümmt.

Maclaurinsche Reihe

Die Maclaurinschen Reihe von q(x) hat an allen Stellen geradzahlige Exponenten und positive Koeffizienten:

$q(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\text{Ks}}(n)x^{2n}}{16^{n}}}$

Der Konvergenzradius dieser Maclaurin-Reihe ist 1. Hierbei ist Ks(n) (OEIS A005797) eine Zahlenfolge von ausschließlich natürlichen Zahlen Ks(n) ∈ ℕ für alle natürlichen Zahlen n ∈ ℕ und sie ist nicht elementar, sondern elliptisch aufgebaut.

Zahlenfolge nach Kotěšovec

gehorcht folgender Erzeugungsvorschrift:

Als Startwert gilt der Wert Ks(1) = 1 und die darauf folgenden Werte dieser Folge werden mit jenen zwei für alle Zahlen n ∈ ℕ gültigen Formeln erzeugt:

${\text{Ks}}(n+1)={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}k\,{\text{Ks}}(k)[16\,{\text{ZA}}(n+1-k)-{\text{ZA}}(n+2-k)]$

${\text{ZA}}(n)=\sum _{m=0}^{n-1}{\binom {2m}{m}}^{2}{\binom {2n-2-2m}{n-1-m}}^{2}$

Somit gilt auch:

${\text{Ks}}(n+1)={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}k\,{\text{Ks}}(k)\left\{16\left[\sum _{m=0}^{n-k}{\tbinom {2m}{m}}^{2}{\tbinom {2n-2k-2m}{n-k-m}}^{2}\right]-\left[\sum _{m=0}^{n+1-k}{\tbinom {2m}{m}}^{2}{\tbinom {2n+2-2k-2m}{n+1-k-m}}^{2}\right]\right\}$

Diese Zahlenfolge Ks(n) wurde durch den tschechischen Mathematiker und Feenschachkomponisten Václav Kotěšovec (geboren im Jahre 1956) erforscht.

Mit ZA(n) wird eine Abwandlung (OEIS A036917) der Apery-Folge bezeichnet, welche durch die Mathematiker Sun Zhi-Hong und Reinhard Zumkeller erforscht wurde.

Von diesen beiden Folgen werden im nun Folgenden einige Zahlen genannt:

Position n	Folgenzahl ZA(n)	Folgenzahl Ks(n)
1	1	1
2	8	8
3	88	84
4	1088	992
5	14296	12514
6	195008	164688
7	2728384	2232200
8	38879744	30920128
9	561787864	435506703
10	8206324928	6215660600
11	120929313088	89668182220
12	1794924383744	1305109502496
13	26802975999424	19138260194422
14	402298219288064	282441672732656
15	6064992788397568	4191287776164504
16	91786654611673088	62496081197436736
17	1393772628452578264	935823746406530603

Václav Kotěšovec schrieb die Zahlenfolge Ks(n) auf der Onlineenzyklopädie der Zahlenfolgen bis zur siebenhundertsten Folgenzahl nieder.

Außerdem gilt:

$4\pi ^{-2}K(x)^{2}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\text{ZA}}(n)x^{2n-2}}{16^{n-1}}}$

Die Maclaurinsche Reihe des Nomens vom Quotienten der identischen Abbildungsfunktion dividiert durch ihren Pythagoräischen Nachfolger lautet so:

$q{\bigl [}x(x^{2}+1)^{-1/2}{\bigr ]}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}{\text{Ks}}(n)x^{2n}}{16^{n}}}$

Denn es gilt:

$q{\bigl [}x(x^{2}+1)^{-1/2}{\bigr ]}=-q(ix)$

Mit dem Buchstaben i wird die imaginäre Einheit repräsentiert.

Exemplarische Herleitung der Zahlenfolge

Es gilt mit dem Startwert Ks(1) = 1:

${\text{Ks}}(n+1)={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}k\,{\text{Ks}}(k)[16\,{\text{ZA}}(n+1-k)-{\text{ZA}}(n+2-k)]$

Tabelle aller Folgen:

$n$	1	2	3	4	5	6	7
ZA(n)	1	8	88	1088	14296	195008	2728384
16ZA(n-1)-ZA(n)		8	40	320	3112	33728	391744
Ks(n)	1	8	84	992	12514	164688	2232200

Exemplarische Erzeugung:

${\text{Ks}}(2)=1\times 8\times 1=8$

${\text{Ks}}(3)={\tfrac {1}{2}}\times 40\times 1+1\times 8\times 8=84$

${\text{Ks}}(4)={\tfrac {1}{3}}\times 320\times 1+{\tfrac {2}{3}}\times 40\times 8+1\times 8\times 84=992$

${\text{Ks}}(5)={\tfrac {1}{4}}\times 3112\times 1+{\tfrac {2}{4}}\times 320\times 8+{\tfrac {3}{4}}\times 40\times 84+1\times 8\times 992=12514$

${\text{Ks}}(6)={\tfrac {1}{5}}\times 33728\times 1+{\tfrac {2}{5}}\times 3112\times 8+{\tfrac {3}{5}}\times 320\times 84+{\tfrac {4}{5}}\times 40\times 992+1\times 8\times 12514=164688$

${\text{Ks}}(7)={\tfrac {1}{6}}\times 391744\times 1+{\tfrac {2}{6}}\times 33728\times 8+{\tfrac {3}{6}}\times 3112\times 84+{\tfrac {4}{6}}\times 320\times 992+{\tfrac {5}{6}}\times 40\times 12514+1\times 8\times 164688=2232200$

Die Faktoren kommen aus den beiden letzten Zeilen der Tabelle.

Außerdem gilt:

${\text{Ks}}(2n)={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{2n-1}(-1)^{k+1}16^{k}{\binom {2n-1}{k}}{\text{Ks}}(2n-k)$

Erste Exemplare:

${\text{Ks}}(2)={\frac {1}{2}}(1\times 16\times 1)=8$

${\text{Ks}}(4)={\frac {1}{2}}(3\times 16\times 84-3\times 256\times 8+1\times 4096\times 1)=992$

${\text{Ks}}(6)={\frac {1}{2}}(5\times 16\times 12514-10\times 256\times 992+10\times 4096\times 84-5\times 65536\times 8+1\times 1048576\times 1)=164688$

Zahlenfolge nach Schwarz

Der schlesisch deutsche Mathematiker Hermann Amandus Schwarz schrieb in seinem Werk Formeln und Lehrsätze zum Gebrauche der elliptischen Funktionen im Kapitel Berechnung der Grösse k auf den Seiten 54 bis 56 eine ebenso nicht elementare Zahlenfolge nieder, aus welcher die Zahlenfolge nach Václav Kotěšovec durch quartische Potenzierung der betroffenen erzeugenden Funktion hervorgeht. Diese Schwarzsche Zahlenfolge wurde ebenso die Mathematiker Karl Theodor Wilhelm Weierstrass und Louis Melville Milne-Thomson analysiert. Aus der MacLaurinschen Reihe der vierten Wurzel aus dem Quotienten des elliptischen Nomens dividiert durch die Quadratfunktion wird im nun Folgenden die Folge der Zahlen nach Schwarz Sw(n) hervorgebracht. Die Folge Sw(n) ist in der Online-Enzyklopädie der Zahlenfolgen unter der Nummer A002103 eingetragen. Die beschriebene MacLaurinsche Reihe lautet so:

${\sqrt[{4}]{x^{-2}q(x)}}={\frac {1}{2}}+{\biggl [}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\text{Sw}}(n+1)}{2^{4n+1}}}x^{2n}{\biggr ]}$

Umgeformt kommt dieser Ausdruck hervor:

$q(x)=x^{2}{\biggl \{}{\frac {1}{2}}+{\biggl [}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\text{Sw}}(n+1)}{2^{4n+1}}}x^{2n}{\biggr ]}{\biggr \}}^{4}$

Die ersten Summanden dieser Reihenentwicklung lauten wie folgt:

${\sqrt[{4}]{x^{-2}q(x)}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{16}}x^{2}+{\frac {15}{512}}x^{4}+{\frac {75}{4096}}x^{6}+{\frac {1707}{131072}}x^{8}+\cdots$

Der Mathematiker Adolf Kneser ermittelte für diese Folge ein Syntheseverfahren nach analogem Muster zur oben genannten Folge:

${\text{Sw}}(n+1)={\frac {2}{n}}\sum _{a=1}^{n}{\text{Sw}}(a){\text{Kn}}(n+1-a)$

Die nachfolgende Tabelle zeigt die von Adolf Kneser behandelten Zahlenfolgen im Vergleich:

Verfahren nach Kneser

Index n	Kn(n) (A227503)	Sw(n) (A002103)
1	1	1
2	13	2
3	184	15
4	2701	150
5	40456	1707

Dabei ist Kn(n) die Zahlenfolge von der MacLaurinschen Reihe der folgenden Funktion:

${\frac {\pi ^{2}}{8x(1-x^{2})K(x)^{2}}}-{\frac {1}{2x}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\text{Kn}}(n)}{2^{4n-2}}}x^{2n-1}$

Aus dieser Folge kann die Zahlenfolge nach Kotěšovec durch Aufsummierung ermittelt werden:

${\text{Sw}}^{*}(n)=\sum _{m=1}^{n}{\text{Sw}}(m)\,{\text{Sw}}(n+1-m)$

${\text{Ks}}(n)=\sum _{m=1}^{n}{\text{Sw}}^{*}(m)\,{\text{Sw}}^{*}(n+1-m)$

Mit Sw*(n) wird diejenige abgewandelte Folge der Schwarzschen Folge bezeichnet, welche aus der MacLaurinschen Reihe von der Quadratwurzel aus dem Quotienten des Nomens dividiert durch die Quadratfunktion hervorgeht. Folgende Tabelle stellt die Zahlenfolgen gegenüber:

Tabelle elliptischer Zahlenfolgen

Index n	Sw(n) (A002103)	Sw*(n) (A274344)	Ks(n) (A005797)
1	1	1	1
2	2	4	8
3	15	34	84
4	150	360	992
5	1707	4239	12514
6	20910	53148	164688
7	268616	694582	2232200
8	3567400	9348664	30920128
9	48555069	128625067	435506703

Exemplarische Ausführung der genannten Summenformeln:

${\color {blue}1}\times {\color {blue}15}+{\color {blue}2}\times {\color {blue}2}+{\color {blue}15}\times {\color {blue}1}={\color {RoyalBlue}34}$

${\color {RoyalBlue}1}\times {\color {RoyalBlue}34}+{\color {RoyalBlue}4}\times {\color {RoyalBlue}4}+{\color {RoyalBlue}34}\times {\color {RoyalBlue}1}={\color {Green}84}$

${\color {blue}1}\times {\color {blue}150}+{\color {blue}2}\times {\color {blue}15}+{\color {blue}15}\times {\color {blue}2}+{\color {blue}150}\times {\color {blue}1}={\color {RoyalBlue}360}$

${\color {RoyalBlue}1}\times {\color {RoyalBlue}360}+{\color {RoyalBlue}4}\times {\color {RoyalBlue}34}+{\color {RoyalBlue}34}\times {\color {RoyalBlue}4}+{\color {RoyalBlue}360}\times {\color {RoyalBlue}1}={\color {Green}992}$

Liste der Werte

Im nun Folgenden werden einige Nomenfunktionswerte angegeben:

$q(0)=0$

$q(1)=1$

$q(-1)=1$

$q({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})={\text{e}}^{-\pi }$

$q({\sqrt {2}}-1)={\text{e}}^{-{\sqrt {2}}\pi }$

$q[{\tfrac {1}{4}}({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}})]={\text{e}}^{-{\sqrt {3}}\pi }$

$q[({\sqrt {2}}-1)^{2}]={\text{e}}^{-2\pi }$

$q[{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}(\Phi ^{-1/2}-\Phi ^{-1})]={\text{e}}^{-{\sqrt {5}}\pi }$

$q[(2-{\sqrt {3}})({\sqrt {3}}-{\sqrt {2}})]={\text{e}}^{-{\sqrt {6}}\pi }$

$q[{\tfrac {1}{8}}(3{\sqrt {2}}-{\sqrt {14}})]={\text{e}}^{-{\sqrt {7}}\pi }$

$q{\bigl [}\delta _{S}{\bigl (}{\sqrt {\delta _{S}}}-{\sqrt {2}}{\bigr )}^{2}{\bigr ]}={\text{e}}^{-2{\sqrt {2}}\pi }$

$q[{\tfrac {1}{2}}({\sqrt {3}}-1)({\sqrt {2}}-{\sqrt[{4}]{3}})]={\text{e}}^{-3\pi }$

$q[({\sqrt {10}}-3)({\sqrt {2}}-1)^{2}]={\text{e}}^{-{\sqrt {10}}\pi }$

$q{\bigl [}{\tfrac {1}{16}}{\bigl (}{\sqrt {22}}+3{\sqrt {2}}{\bigr )}{\bigl (}{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {3}}+2{\sqrt {11}}}}-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {3}}-2{\sqrt {11}}}}+{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {11}}-1{\bigr )}^{4}{\bigr ]}={\text{e}}^{-{\sqrt {11}}\pi }$

Dabei steht der Großbuchstabe Phi für die Goldene Zahl und δₛ steht für die Silberne Zahl:

$\Phi ={\tfrac {1}{2}}({\sqrt {5}}+1)$

$\delta _{S}={\sqrt {2}}+1$

Potenzierungsgesetze

Gesetze mit Sinus-Amplitudinis-Produkten

Alle Potenzen mit dem Nomen von einer positiven algebraischen Zahl als Basis und einer positiven rationalen Zahl als Exponent ergeben Nomina von positiven algebraischen Zahlen:

$q(x_{1}\in \mathbb {A} ^{+})^{w\in \mathbb {Q^{+}} }=q(x_{2}\in \mathbb {A} ^{+})^{}$

Beispielsweise gilt:

$q(x)^{2}=q[x^{2}(1+{\sqrt {1-x^{2}}})^{-2}]$

$q(x)^{3}=q\{x^{3}\operatorname {sn} [{\tfrac {1}{3}}K(x);x]^{4}\}$

$q(x)^{5}=q\{x^{5}\operatorname {sn} [{\tfrac {1}{5}}K(x);x]^{4}\operatorname {sn} [{\tfrac {3}{5}}K(x);x]^{4}\}$

$q(x)^{7}=q\{x^{7}\operatorname {sn} [{\tfrac {1}{7}}K(x);x]^{4}\operatorname {sn} [{\tfrac {3}{7}}K(x);x]^{4}\operatorname {sn} [{\tfrac {5}{7}}K(x);x]^{4}\}$

Für algebraische x-Werte im reellwertigen Intervall [-1;1] sind die abgebildeten Sinus-Amplitudinis-Ausdrücke nach Jacobi immer algebraisch.

Generell gilt für alle natürlichen Zahlen n:

$q(x)^{2n+1}=q{\biggl \{}x^{2n+1}\prod _{k=1}^{n}\operatorname {sn} {\bigl [}{\tfrac {2k-1}{2n+1}}K(x);x{\bigr ]}^{4}{\biggr \}}$

Das Theorem für die Kubizierung kann vereinfacht auch so parametrisiert werden:

$q[u({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}-u^{2}+1)]^{3}=q[u({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}+u^{2}-1)]$

Diese Formel ist für alle Werte −1 < u < 1 gültig.

Rechenhinweise:

Folgende Sinus-Amplitudinis-Ausdrücke lösen nachfolgende Gleichungen:

Dreiteilung: $x={\text{sn}}[{\tfrac {1}{3}}K(k);k]$ löst die Gleichung $k^{2}x^{4}-2k^{2}x^{3}+2x-1=0$	Fünfteilung: $x={\text{sn}}[{\tfrac {1}{5}}K(k);k]{\text{sn}}[{\tfrac {3}{5}}K(k);k]$ löst die Gleichung $k^{6}x^{6}-4k^{6}x^{5}+5k^{4}x^{4}-5k^{2}x^{2}+4x-1=0$
Siebenteilung: $x={\text{sn}}[{\tfrac {1}{7}}K(k);k]{\text{sn}}[{\tfrac {3}{7}}K(k);k]{\text{sn}}[{\tfrac {5}{7}}K(k);k]$ löst die Gleichungen $k^{12}x^{8}-8k^{12}x^{7}+28k^{10}x^{6}-56k^{8}x^{5}+70k^{6}x^{4}-56k^{4}x^{3}+28k^{2}x^{2}-8x+1=0$ und $(1-k^{2}x)^{8}=(1-k^{2})(1-k^{14}x^{8})$
Elfteilung: $x={\text{sn}}[{\tfrac {1}{11}}K(k);k]{\text{sn}}[{\tfrac {3}{11}}K(k);k]{\text{sn}}[{\tfrac {5}{11}}K(k);k]{\text{sn}}[{\tfrac {7}{11}}K(k);k]{\text{sn}}[{\tfrac {9}{11}}K(k);k]$ löst die Gleichung $k^{30}x^{12}+(-32k^{30}+22k^{28})x^{11}+44k^{26}x^{10}-(88k^{24}+22k^{22})x^{9}+165k^{20}x^{8}-132k^{18}x^{7}+(-44k^{16}+44k^{14})x^{6}+$$+132k^{12}x^{5}-165k^{10}x^{4}+(22k^{8}+88k^{6})x^{3}-44k^{4}x^{2}+(-22k^{2}+32)x-1=0$

Gesetze mit reduzierten Weberschen Funktionen

Die reduzierten Weberschen Modulfunktionen $w_{Rn}(x)$ und $W_{Rn}(x)$ dienen zur schnellen Ermittlung von den neuen elliptischen Modulen potenzierter Nomina. Diese beiden Weberschen Funktionen können so definiert werden:

$w_{Ra}(x)={\frac {2^{(a-1)/4}[q(x)^{a};q(x)^{2a}]_{\infty }}{[q(x);q(x)^{2}]_{\infty }^{a}}}$

$W_{Ra}(x)=2^{(a-1)/4}w_{Ra}(x)^{-1}w_{Ra}{\bigl [}x^{2}(1+{\sqrt {1-x^{2}}})^{-2}{\bigr ]}$

Diese beiden Funktionen erfüllen für konkrete Werte n folgende Gleichungen:

$w_{R3}(x)^{12}-2{\sqrt {2}}\,w_{R3}(x)^{9}=\tan {\bigl [}2\arctan(x){\bigr ]}^{2}{\bigl [}2{\sqrt {2}}\,w_{R3}(x)^{3}+1{\bigr ]}$

$2{\sqrt {2}}\,W_{R3}(x)^{9}-W_{R3}(x)^{12}=\sin {\bigl [}2\arcsin(x){\bigr ]}^{2}{\bigl [}2{\sqrt {2}}\,W_{R3}(x)^{3}+1{\bigr ]}$

$w_{R5}(x)^{6}-2\,w_{R5}(x)^{5}=\tan {\bigl [}2\arctan(x){\bigr ]}^{2}{\bigl [}2\,w_{R5}(x)+1{\bigr ]}$

$2\,W_{R5}(x)^{5}-W_{R5}(x)^{6}=\sin {\bigl [}2\arcsin(x){\bigr ]}^{2}{\bigl [}2\,W_{R5}(x)+1{\bigr ]}$

$w_{R5}(x)={\frac {5\,\vartheta _{01}[q(x)^{5}]^{2}}{2\,\vartheta _{01}[q(x)]^{2}}}-{\frac {1}{2}}={\text{nc}}[{\tfrac {4}{5}}K(x);x]-{\text{nc}}[{\tfrac {2}{5}}K(x);x]$

$W_{R5}(x)={\frac {5\,\vartheta _{00}[q(x)^{5}]^{2}}{2\,\vartheta _{00}[q(x)]^{2}}}-{\frac {1}{2}}={\text{dn}}[{\tfrac {2}{5}}K(x);x]+{\text{dn}}[{\tfrac {4}{5}}K(x);x]$

Für alle natürlichen Zahlen n ist diese Formel gültig:

$q(x)^{2n+1}=q{\bigl [}4^{n}x^{2n+1}w_{R(2n+1)}(x)^{-4}W_{R(2n+1)}(x)^{-8}{\bigr ]}$

Wenn der Wert x im Intervall -1 < x < 1 liegt, dann gilt generell auch diese Formel:

$q(x)^{2n+1}=q{\bigl \langle }\tan {\bigl \{}{\tfrac {1}{2}}\arctan {\bigl [}{\bigl (}{\tfrac {2x}{1-x^{2}}}{\bigr )}^{2n+1}w_{R(2n+1)}(x)^{-12}{\bigr ]}{\bigr \}}{\bigr \rangle }$

Und speziell für die Potenzierung mit Fünf dient folgende Formel zur effizienten Berechnung:

$q(x)^{5}=q{\biggl \langle }x^{5}{\biggl \{}{\frac {(1-x^{2})[w_{R5}(x)^{4}-w_{R5}(x)^{3}]-2\,w_{R5}(x)-2}{(1-x^{2})[w_{R5}(x)^{4}-w_{R5}(x)^{3}]+2\,x^{2}w_{R5}(x)+2\,x^{2}}}{\biggr \}}^{4}{\biggr \rangle }$

Theoreme für die natürlichen Logarithmen der Nomina

Wenn zwei Zahlen a und b positive zueinander Pythagoräische Gegenstücke sind und somit a² + b² = 1 ist, dann gilt: ln[q(a)] ln[q(b)] = π²

Wenn zwei Zahlen c und d positive zueinander tangentielle Gegenstücke sind und somit (c + 1) (d + 1) = 2 ist, dann gilt: ln[q(c)] ln[q(d)] = 2π²

Somit sind folgende vier Darstellungen für alle reellen Zahlen x gültig und ergeben überall reelle Werte:

Pythagoräische Gegenstücke:

$\ln {\biggl \langle }q{\bigl \{}\sin {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}\pi -{\tfrac {1}{2}}\arctan(x){\bigr ]}{\bigr \}}{\biggr \rangle }\ln {\biggl \langle }q{\bigl \{}\sin {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}\pi +{\tfrac {1}{2}}\arctan(x){\bigr ]}{\bigr \}}{\biggr \rangle }=\pi ^{2}$

$\ln {\bigl \{}q{\bigl [}{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2-2x(x^{2}+1)^{-1/2}}}{\bigr ]}{\bigr \}}\ln {\bigl \{}q{\bigl [}{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+2x(x^{2}+1)^{-1/2}}}{\bigr ]}{\bigr \}}=\pi ^{2}$

Tangentielle Gegenstücke:

$\ln {\biggl \langle }q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{8}}\pi -{\tfrac {1}{4}}\arctan(x){\bigr ]}{\bigr \}}{\biggr \rangle }\ln {\biggl \langle }q{\bigl \{}\tan {\bigl [}{\tfrac {1}{8}}\pi +{\tfrac {1}{4}}\arctan(x){\bigr ]}{\bigr \}}{\biggr \rangle }=2\pi ^{2}$

$\ln {\bigl \{}q{\bigl [}{\sqrt {({\sqrt {x^{2}+1}}+x)^{2}+1}}-{\sqrt {x^{2}+1}}-x{\bigr ]}{\bigr \}}\ln {\bigl \{}q{\bigl [}{\sqrt {({\sqrt {x^{2}+1}}-x)^{2}+1}}-{\sqrt {x^{2}+1}}+x{\bigr ]}{\bigr \}}=2\pi ^{2}$

Exemplarische Ermittlungen der Werte

Direkte Resultate genannter Theoreme

Für die Ermittlung der Nomina sollen im Folgenden Beispiele aufgestellt werden:

Beispiel 1:

Für x = 0 entsteht aus der Formel der Pythagoräischen Gegenstücke diese Gleichung:

$\ln {\bigl \{}q{\bigl [}\sin({\tfrac {1}{4}}\pi ){\bigr ]}{\bigr \}}^{2}=\pi ^{2}$

$q{\bigl [}\sin({\tfrac {1}{4}}\pi ){\bigr ]}=\exp(-\pi )$

Beispiel 2:

Für x = 0 entsteht aus der Formel der tangentiellen Gegenstücke jene Gleichung:

$\ln {\bigl \{}q{\bigl [}\tan({\tfrac {1}{8}}\pi ){\bigr ]}{\bigr \}}^{2}=2\pi ^{2}$

$q{\bigl [}\tan({\tfrac {1}{8}}\pi ){\bigr ]}=\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi )$

Kombinationen von jeweils zwei Theoremen

Beispiel 1:

Für x = sqrt(3) entsteht aus der Formel der Pythagoräischen Gegenstücke diese Gleichung:

$\ln {\bigl \{}q{\bigl [}\sin({\tfrac {1}{12}}\pi ){\bigr ]}{\bigr \}}\ln {\bigl \{}q{\bigl [}\sin({\tfrac {5}{12}}\pi ){\bigr ]}{\bigr \}}=\pi ^{2}$

Aus dem vorher genannten Theorem für die Kubizierung ergibt sich für u = 1/sqrt(2) folgende Gleichung:

$q{\bigl [}\sin({\tfrac {5}{12}}\pi ){\bigr ]}^{3}=q{\bigl [}\sin({\tfrac {1}{12}}\pi ){\bigr ]}$

Die Lösung des Gleichungssystems mit zwei Unbekannten lautet dann so:

$q{\bigl [}\sin({\tfrac {1}{12}}\pi ){\bigr ]}=\exp(-{\sqrt {3}}\,\pi )$

$q{\bigl [}\sin({\tfrac {5}{12}}\pi ){\bigr ]}=\exp(-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {3}}\,\pi )$

Beispiel 2:

Für x = sqrt(8) entsteht aus der Formel der tangentiellen Gegenstücke jene Gleichung:

$\ln {\bigl \{}q{\bigl [}(2-{\sqrt {3}})({\sqrt {3}}-{\sqrt {2}}){\bigr ]}{\bigr \}}\ln {\bigl \{}q{\bigl [}(2-{\sqrt {3}})({\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}){\bigr ]}{\bigr \}}=2\pi ^{2}$

Aus dem vorher genannten Theorem für die Kubizierung ergibt sich für w = [sqrt(3) - 1]/sqrt(2) folgende Gleichung:

$q{\bigl [}(2-{\sqrt {3}})({\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}){\bigr ]}^{3}=q{\bigl [}(2-{\sqrt {3}})({\sqrt {3}}-{\sqrt {2}}){\bigr ]}$

Die Lösung des Gleichungssystems mit zwei Unbekannten lautet dann so:

$q{\bigl [}(2-{\sqrt {3}})({\sqrt {3}}-{\sqrt {2}}){\bigr ]}=\exp(-{\sqrt {6}}\,\pi )$

$q{\bigl [}(2-{\sqrt {3}})({\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}){\bigr ]}=\exp(-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {6}}\,\pi )$

Kombinationen von jeweils drei Theoremen

Gegeben seien folgende vier elliptischen Module:

$k_{A}=\tan\{{\tfrac {1}{2}}\arctan[({\sqrt {10}}+3)^{2}({\sqrt {5}}+2)^{2}]\}$

$k_{B}=\tan\{{\tfrac {1}{2}}\arctan[({\sqrt {10}}+3)^{2}({\sqrt {5}}-2)^{2}]\}$

$k_{C}=\tan\{{\tfrac {1}{2}}\arctan[({\sqrt {10}}-3)^{2}({\sqrt {5}}+2)^{2}]\}$

$k_{D}=\tan\{{\tfrac {1}{2}}\arctan[({\sqrt {10}}-3)^{2}({\sqrt {5}}-2)^{2}]\}$

In das genannte Kubizierungstheorem soll der Wert $u={\tfrac {1}{2}}({\sqrt {10}}+{\sqrt {6}})({\sqrt {3}}-{\sqrt {2}})$ eingesetzt werden:

$q[u({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}-u^{2}+1)]^{3}=q[u({\sqrt {u^{4}-u^{2}+1}}+u^{2}-1)]$

So entsteht dieses Gleichungspaar:

$q{\bigl \langle }\tan {\bigl \{}{\tfrac {1}{2}}\arctan {\bigl [}({\sqrt {10}}+3)^{2}({\sqrt {5}}+2)^{2}{\bigr ]}{\bigr \}}{\bigr \rangle }^{3}=q{\bigl \langle }\tan {\bigl \{}{\tfrac {1}{2}}\arctan {\bigl [}({\sqrt {10}}+3)^{2}({\sqrt {5}}-2)^{2}{\bigr ]}{\bigr \}}{\bigr \rangle }$

${\color {blueviolet}q(k_{A})^{3}=q(k_{B})}$

Im Folgenden wird $w_{R5}(k_{A})$ ermittelt:

$\tan {\bigl [}2\arctan(k_{A}){\bigr ]}=({\sqrt {10}}+3)^{2}({\sqrt {5}}+2)^{2}$

$w_{R5}(k_{A})^{6}-2\,w_{R5}(k_{A})^{5}=\tan {\bigl [}2\arctan(k_{A}){\bigr ]}^{2}{\bigl [}2\,w_{R5}(k_{A})+1{\bigr ]}$

$w_{R5}(k_{A})^{6}-2\,w_{R5}(k_{A})^{5}=({\sqrt {10}}+3)^{4}({\sqrt {5}}+2)^{4}{\bigl [}2\,w_{R5}(k_{A})+1{\bigr ]}$

$w_{R5}(k_{A})={\tfrac {1}{2}}(3+{\sqrt {5}})({\sqrt {10}}+3)$

$q(k_{A})^{5}=q{\biggl \langle }k_{A}^{5}{\biggl \{}{\frac {(1-k_{A}^{2})[w_{R5}(k_{A})^{4}-w_{R5}(k_{A})^{3}]-2\,w_{R5}(k_{A})-2}{(1-k_{A}^{2})[w_{R5}(k_{A})^{4}-w_{R5}(k_{A})^{3}]+2\,k_{A}^{2}w_{R5}(k_{A})+2\,k_{A}^{2}}}{\biggr \}}^{4}{\biggr \rangle }$

So entsteht jenes Gleichungspaar:

$q{\bigl \langle }\tan {\bigl \{}{\tfrac {1}{2}}\arctan {\bigl [}({\sqrt {10}}+3)^{2}({\sqrt {5}}+2)^{2}{\bigr ]}{\bigr \}}{\bigr \rangle }^{5}=q{\bigl \langle }\tan {\bigl \{}{\tfrac {1}{2}}\arctan {\bigl [}({\sqrt {10}}-3)^{2}({\sqrt {5}}+2)^{2}{\bigr ]}{\bigr \}}{\bigr \rangle }$

${\color {blueviolet}q(k_{A})^{5}=q(k_{C})}$

Die Module mit den Indizes B und C sind zueinander tangentielle Gegenstücke:

$\arctan(k_{B})+\arctan(k_{C})={\tfrac {1}{4}}\pi$

$(k_{B}+1)(k_{C}+1)=2$

Und aus dem Theorem für die tangentiell komplementären Module folgt die nun gezeigte Gleichung:

$\ln[q(k_{B})]\ln[q(k_{C})]=2\pi ^{2}$

So ergibt sich folgendes Gleichungstriplett:

${\color {blue}3\ln[q(k_{A})]=\ln[q(k_{B})]}$ ${\color {blue}5\ln[q(k_{A})]=\ln[q(k_{C})]}$ ${\color {blue}\ln[q(k_{B})]\ln[q(k_{C})]=2\pi ^{2}}$

Das Einsetzungsverfahren ergibt dieses Resultat:

${\color {RoyalBlue}15\ln[q(k_{A})]^{2}=2\pi ^{2}}$

${\color {Green}q(k_{A})=q{\bigl \langle }\tan {\bigl \{}{\tfrac {1}{2}}\arctan {\bigl [}({\sqrt {10}}+3)^{2}({\sqrt {5}}+2)^{2}{\bigr ]}{\bigr \}}{\bigr \rangle }=\exp(-{\tfrac {1}{15}}{\sqrt {30}}\,\pi )}$

Und danach folgen aus den beiden obersten Gleichungen des Kästchens jene beiden Resultate:

${\color {Green}q(k_{B})=q{\bigl \langle }\tan {\bigl \{}{\tfrac {1}{2}}\arctan {\bigl [}({\sqrt {10}}+3)^{2}({\sqrt {5}}-2)^{2}{\bigr ]}{\bigr \}}{\bigr \rangle }=\exp(-{\tfrac {1}{5}}{\sqrt {30}}\,\pi )}$

${\color {Green}q(k_{C})=q{\bigl \langle }\tan {\bigl \{}{\tfrac {1}{2}}\arctan {\bigl [}({\sqrt {10}}-3)^{2}({\sqrt {5}}+2)^{2}{\bigr ]}{\bigr \}}{\bigr \rangle }=\exp(-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {30}}\,\pi )}$

Aus dem Theorem für tangentielle Gegenmodule folgt:

${\color {Green}q(k_{D})=q{\bigl \langle }\tan {\bigl \{}{\tfrac {1}{2}}\arctan {\bigl [}({\sqrt {10}}-3)^{2}({\sqrt {5}}-2)^{2}{\bigr ]}{\bigr \}}{\bigr \rangle }=\exp(-{\sqrt {30}}\,\pi )}$

Ableitungen und Differentialgleichungen

Ableitungsliste

Die elliptische Nomenfunktion wird so abgeleitet:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}q(x)={\frac {\pi ^{2}}{2x(1-x^{2})K(x)^{2}}}q(x)$

Für die Herleitung dieser Ableitung, siehe den Artikel Legendresche Identität!

Die zweite Ableitung lautet wie folgt:

${\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}q(x)={\frac {\pi ^{4}+2\pi ^{2}(1+x^{2})K(x)^{2}-4\pi ^{2}K(x)E(x)}{4x^{2}(1-x^{2})^{2}K(x)^{4}}}q(x)$

Und die dritte Ableitung nimmt diese Form an:

${\frac {\mathrm {d} ^{3}}{\mathrm {d} x^{3}}}q(x)={\frac {\pi ^{6}+6\pi ^{4}(1+x^{2})K(x)^{2}-12\pi ^{4}K(x)E(x)+8\pi ^{2}(1+x^{2})^{2}K(x)^{4}-24\pi ^{2}(1+x^{2})K(x)^{3}E(x)+24\pi ^{2}K(x)^{2}E(x)^{2}}{8x^{3}(1-x^{2})^{3}K(x)^{6}}}q(x)$

Dabei ist das vollständige elliptische Integral zweiter Art auf folgende Weise definiert:

$E(x)=\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-x^{2}\sin(\varphi )^{2}}}\mathrm {d} \varphi =2\int _{0}^{1}{\frac {\sqrt {(y^{2}+1)^{2}-4x^{2}y^{2}}}{(y^{2}+1)^{2}}}\mathrm {d} y$

Synthese der quartischen Differentialgleichung

Aus diesen Gleichungen folgt durch die Eliminierung des vollständigen elliptischen Integrals zweiter Art:

$3{\biggl [}{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} x^{2}}}q(x){\biggr ]}^{2}-2{\biggl [}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}q(x){\biggr ]}{\biggl [}{\frac {\mathrm {d} ^{3}}{\mathrm {d} x^{3}}}q(x){\biggr ]}={\frac {\pi ^{8}-4\pi ^{4}(1+x^{2})^{2}K(x)^{4}}{16x^{4}(1-x^{2})^{4}K(x)^{8}}}q(x)^{2}$

Somit gilt diese quartische Differentialgleichung dritter Ordnung:

$x^{2}(1-x^{2})^{2}[2q(x)^{2}q'(x)q'''(x)-3q(x)^{2}q''(x)^{2}+q'(x)^{4}]=(1+x^{2})^{2}q(x)^{2}q'(x)^{2}$

Summenreihen und Produktreihen

Summenreihen

Durch Richard Dedekind wurde das Elliptische Nomen erforscht und dieses bildet in seiner Theorie über die Etafunktion das Fundament. Das Elliptische Nomen bildet den Anfangspunkt bei der Konstruktion der Lambert-Reihe und wird als Abszisse in den Theta-Nullwertfunktionen von Carl Gustav Jacobi den algebraischen Kombinationen des Arithmetisch Geometrischen Mittels zugeordnet. Generell werden sehr viele Reihenentwicklungen durch das Elliptische Nomen beschrieben:

$\sum _{n=1}^{\infty }q(x)^{\Box (n)}={\tfrac {1}{2}}\vartheta _{00}[q(x)]-{\tfrac {1}{2}}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2\pi ^{-1}K(x)}}-{\tfrac {1}{2}}={\tfrac {1}{2}}\operatorname {agm} (1-x;1+x)^{-1/2}-{\tfrac {1}{2}}$

$\sum _{n=1}^{\infty }q(x)^{\Box (2n-1)}={\tfrac {1}{4}}\vartheta _{00}[q(x)]-{\tfrac {1}{4}}\vartheta _{01}[q(x)]={\tfrac {1}{4}}(1-{\sqrt[{4}]{1-x^{2}}}){\sqrt {2\pi ^{-1}K(x)}}$

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2q(x)^{n}}{q(x)^{2n}+1}}={\tfrac {1}{2}}\vartheta _{00}[q(x)]^{2}-{\tfrac {1}{2}}=\pi ^{-1}K(x)-{\tfrac {1}{2}}$

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2q(x)^{2n-1}}{q(x)^{4n-2}+1}}={\tfrac {1}{4}}\vartheta _{00}[q(x)]^{2}-{\tfrac {1}{4}}\vartheta _{01}[q(x)]^{2}={\tfrac {1}{2}}(1-{\sqrt {1-x^{2}}})\pi ^{-1}K(x)$

$\sum _{n=1}^{\infty }\Box (n)q(x)^{\Box (n)}=2^{-1/2}\pi ^{-5/2}K(x)^{3/2}[E(x)-(1-x^{2})K(x)]$

$\sum _{n=1}^{\infty }{\biggl [}{\frac {2q(x)^{n}}{1+q(x)^{2n}}}{\biggr ]}^{2}=2\pi ^{-2}E(x)K(x)-{\tfrac {1}{2}}$

$\sum _{n=1}^{\infty }{\biggl [}{\frac {2q(x)^{n}}{1-q(x)^{2n}}}{\biggr ]}^{2}={\tfrac {2}{3}}\pi ^{-2}(2-x^{2})K(x)^{2}-2\pi ^{-2}K(x)E(x)+{\tfrac {1}{6}}$

Das Viereck stellt die Quadratzahlen von n dar, weil in der regulären Schreibweise ein Exponent im Exponent zu klein aussieht. Es gilt also: □(n) = n²

Mit E(ε) wird das vollständige elliptische Integral zweiter Art zum Ausdruck gebracht, welches das Verhältnis des Viertelumfangs zur größeren Halbachse bei der Ellipse mit der spezifischen Exzentrizität ε nennt.

Produktreihen

Für die zwei wichtigsten Thetafunktionen gelten folgende Produktdefinitionen:

$\prod _{n=1}^{\infty }[1-q(x)^{2n}][1+q(x)^{2n-1}]^{2}=\vartheta _{00}[q(x)]={\sqrt {2\pi ^{-1}K(x)}}$

$\prod _{n=1}^{\infty }[1-q(x)^{2n}][1-q(x)^{2n-1}]^{2}=\vartheta _{01}[q(x)]={\sqrt[{4}]{1-x^{2}}}{\sqrt {2\pi ^{-1}K(x)}}$

Außerdem gelten für die beiden bekanntesten Pochhammer-Produkte diese zwei Beziehungen:

$q(\varepsilon )[q(\varepsilon );q(\varepsilon )]_{\infty }^{24}=256\,\varepsilon ^{2}(1-\varepsilon ^{2})^{4}\pi ^{-{12}}K(\varepsilon )^{12}$

$\varepsilon ^{2}[q(\varepsilon );q(\varepsilon )^{2}]_{\infty }^{24}=16\,(1-\varepsilon ^{2})^{2}q(\varepsilon )$

Die Pochhammer-Produkte spielen beim Pentagonalzahlensatz eine wichtige Rolle.

Vollständige elliptische Integrale

Ebenso kann das Nomen für die Definition von den vollständigen elliptischen Integralen erster Art und zweiter Art verwendet werden:

$K(\varepsilon )={\tfrac {1}{2}}\pi \,\vartheta _{00}[q(\varepsilon )]^{2}$

$E(\varepsilon )=2\pi q(\varepsilon )\,\vartheta _{00}'[q(\varepsilon )]\vartheta _{00}[q(\varepsilon )]^{-3}+{\tfrac {1}{2}}\pi (1-\varepsilon ^{2})\,\vartheta _{00}[q(\varepsilon )]^{2}$

In diesem Falle ist Theta-Strich die Ableitung der genannten Theta-Nullwertfunktion:

$\vartheta _{00}'(x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\vartheta _{00}(x)=2+\sum _{n=1}^{\infty }2(n+1)^{2}x^{n(n+2)}$

Quintische Gleichungen

Nach dem Satz von Abel-Ruffini ist der Allgemeinfall der Gleichungen fünften Grades nicht elementar lösbar. Aber mit einer Kombination aus elliptischem Nomen, Thetafunktion und den beiden Rogers-Ramanujan-Kettenbrüchen R und S können alle quintischen Gleichungen gelöst werden. Für folgendes quintisches Polynom in Bring-Jerrard-Normalform soll nun die reelle Lösung mit den genannten elliptischen Funktionen dargestellt werden:

$x^{5}+5\,x=4\,c$

Die reelle Lösung kann für alle reellen Werte $c\in \mathbb {R}$ so ermittelt werden:

$x={\frac {S{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}(c)]^{2}\}{\bigr \rangle }^{2}-R{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}(c)]^{2}\}^{2}{\bigr \rangle }}{S{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}(c)]^{2}\}{\bigr \rangle }^{2}}}\times$

$\times {\frac {1-R{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}(c)]^{2}\}^{2}{\bigr \rangle }\,S{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}(c)]^{2}\}{\bigr \rangle }}{R{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}(c)]^{2}\}^{2}{\bigr \rangle }^{2}}}\times$

$\times {\frac {\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}(c)]^{2}\}^{5}{\bigr \rangle }\,\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}(c)]^{2}\}^{1/5}{\bigr \rangle }^{2}-5\,\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}(c)]^{2}\}^{5}{\bigr \rangle }^{3}}{2{\sqrt {2}}\,{\text{sl}}[{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,{\text{aclh}}(c)]\,\vartheta _{00}{\bigl \langle }q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}(c)]^{2}\}{\bigr \rangle }^{3}}}$

Identisch zum soeben genannten Ausdruck ist dieser Ausdruck:

$x={\frac {W_{R5}\{{\text{tlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}(c)]^{2}\}-W_{R5}\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}(c)]^{2}\}}{{\sqrt {5}}\,{\text{sl}}[{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,{\text{aclh}}(c)]}}\times$

$\times {\sqrt {5W_{R5}\{{\text{tlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}(c)]^{2}\}+5W_{R5}\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}(c)]^{2}\}-5-{\sqrt {5\,\{2W_{R5}\{{\text{tlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}(c)]^{2}\}+1\}\{2W_{R5}\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}(c)]^{2}\}+1\}}}}}$

Alternativ kann dieselbe Lösung auch so dargestellt werden:

$x={\frac {[\vartheta _{00}(Q^{1/5})^{2}-5\,\vartheta _{00}(Q^{5})^{2}]{\sqrt {\vartheta _{00}(Q^{1/5})^{2}+5\,\vartheta _{00}(Q^{5})^{2}-2\,\vartheta _{00}(Q^{1/5})\,\vartheta _{00}(Q^{5})-4\,\vartheta _{00}(Q)^{2}}}}{4\,\vartheta _{00}(Q)\,\vartheta _{01}(Q)\,\vartheta _{10}(Q)}}$

${\text{mit}}\,Q=q\{{\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}(c)]^{2}\}$

Das Quadrat des Cotangens Lemniscatus Hyperbolicus von der Hälfte des Areacosinus Lemniscatus Hyperbolicus hat diese algebraische Identität:

${\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}(c)]^{2}={\bigl (}2c^{2}+2+2{\sqrt {c^{4}+1}}{\bigr )}^{-1/2}{\bigl (}{\sqrt {{\sqrt {c^{4}+1}}+1}}+c{\bigr )}$

${\text{tlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}(c)]^{2}={\bigl (}2c^{2}+2+2{\sqrt {c^{4}+1}}{\bigr )}^{-1/2}{\bigl (}{\sqrt {{\sqrt {c^{4}+1}}+1}}-c{\bigr )}$

Und für folgende Kombination aus Sinus Lemniscatus und Areacosinus Lemniscatus Hyperbolicus gilt jene ebenso algebraische Identität:

${\text{sl}}[{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,{\text{aclh}}(c)]={\sqrt {{\sqrt {c^{4}+1}}-c^{2}}}$

Wenn c reell ist, dann existiert für die gezeigte Bring-Jerrard-Gleichung nur eine reelle Lösung, nämlich die soeben genannte Lösung. Alle regulären quintischen Gleichungen können auf kubisch radikalem Weg in die Bring-Jerrard-Form überführt werden. In der Bring-Jerrard-Form sind nur das quintische, das lineare und das absolute Glied vorhanden, aber das quartische, kubische und quadratische Glied sind in dieser Form grundsätzlich nicht enthalten. Für die angewandten elliptischen Funktionen sind die nun folgenden definierenden Identitäten gültig:

Thetafunktion und Kettenbrüche

Funktionsnamen	Hauptthetafunktion	Rogers-Ramanujan-R-Funktion	Rogers-Ramanujan-S-Funktion
Definitionen	$\vartheta _{00}(y)=1+2\sum _{n=1}^{\infty }y^{\Box (n)}$	$R(y)=y^{1/5}{\frac {(y;y^{5})_{\infty }(y^{4};y^{5})_{\infty }}{(y^{2};y^{5})_{\infty }(y^{3};y^{5})_{\infty }}}$	$S(y)={\frac {R(y^{4})}{R(y^{2})R(y)}}$

Die gezeigte Doppelklammer aus zwei Einträgen stellt das Nomen-Pochhammer-Symbol dar:

$(a;b)_{\infty }=\prod _{n=1}^{\infty }(1-a\,b^{n})$

Rechenbeispiel

Nach dem Satz von Abel-Ruffini ist folgende Gleichung nicht elementar auflösbar:

$x^{5}+5\,x=4$

Aber auf elliptische Weise kann diese Gleichung wie folgt mit c = 1 gelöst werden:

${\text{tlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}(1)]^{2}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{4}]{2}}-\sin({\tfrac {1}{8}}\pi )$

${\text{ctlh}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{aclh}}(1)]^{2}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{4}]{2}}+\sin({\tfrac {1}{8}}\pi )$

$1/{\text{sl}}[{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,{\text{aclh}}(1)]={\sqrt {{\sqrt {2}}+1}}$

$x=5^{-1/2}{\sqrt {{\sqrt {2}}+1}}\,{\bigl \{}W_{R5}[{\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{4}]{2}}-\sin({\tfrac {1}{8}}\pi )]-W_{R5}[{\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{4}]{2}}+\sin({\tfrac {1}{8}}\pi )]{\bigr \}}\times$

$\times {\sqrt {5W_{R5}[{\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{4}]{2}}-\sin({\tfrac {1}{8}}\pi )]+5W_{R5}[{\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{4}]{2}}+\sin({\tfrac {1}{8}}\pi )]-5-{\sqrt {5\,\{2\,W_{R5}[{\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{4}]{2}}-\sin({\tfrac {1}{8}}\pi )]+1\}\{2\,W_{R5}[{\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{4}]{2}}+\sin({\tfrac {1}{8}}\pi )]+1\}}}}}$

Genähert ergibt sich:

$W_{R5}[{\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{4}]{2}}-\sin({\tfrac {1}{8}}\pi )]\approx 1{,}971527201671233804783346663182383261864756$

$W_{R5}[{\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{4}]{2}}+\sin({\tfrac {1}{8}}\pi )]\approx 0{,}82779089227667216644238116944423108682427$

$x\approx 0{,}75192639869405948026865366345020738740978$

Jacobische Amplitudenfunktionen

Definitionen der Jacobischen Amplitudenfunktionen

Die elliptischen Funktionen Zeta Amplitudinis und Delta Amplitudinis können vereinfacht mit der elliptischen Nomenfunktion definiert werden:

${\text{zn}}(x;k)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2\pi K(k)^{-1}\sin[\pi K(k)^{-1}x]q(k)^{2n-1}}{1-2\cos[\pi K(k)^{-1}x]q(k)^{2n-1}+q(k)^{4n-2}}}$

$\operatorname {dn} (x;k)={\sqrt[{4}]{1-k^{2}}}\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1+2\cos[\pi K(k)^{-1}x]q(k)^{2n-1}+q(k)^{4n-2}}{1-2\cos[\pi K(k)^{-1}x]q(k)^{2n-1}+q(k)^{4n-2}}}$

Beide Formeln gelten im reellen Zahlenbereich für alle k-Werte von ausgeschlossen −1 bis ausgeschlossen +1.

Sukzessiv können dann die Jacobischen Funktionen Sinus Amplitudinis und Cosinus Amplitudinis aufgestellt werden:

${\text{sn}}(x;k)={\frac {2\{{\text{zn}}({\tfrac {1}{2}}x;k)+{\text{zn}}[K(k)-{\tfrac {1}{2}}x;k]\}}{k^{2}+\{{\text{zn}}({\tfrac {1}{2}}x;k)+{\text{zn}}[K(k)-{\tfrac {1}{2}}x;k]\}^{2}}}$

${\text{cn}}(x;k)={\text{sn}}[K(k)-x;k]\,{\text{dn}}(x;k)$

Die Gebrüder Borwein gaben in ihrem Werk π and the AGM auch folgende Formel für den Sinus Amplitudinis auf der Seite 60 an:

${\text{sn}}(x;k)=2{\sqrt[{4}]{k^{-2}q(k)}}\,\sin[{\tfrac {1}{2}}\pi K(k)^{-1}x]\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1-2q(k)^{2n}\cos[\pi K(k)^{-1}x]+q(k)^{4n}}{1-2q(k)^{2n-1}\cos[\pi K(k)^{-1}x]+q(k)^{4n-2}}}$

Diese Formel basiert auf der Definition der Theta-Nichtnullwertfunktionen nach Whittaker und Watson.

Jacobische Amplitudenfunktionswerte

In Kombination mit den Thetafunktionen liefert das elliptische Nomen die Werte der Jacobischen Amplitudenfunktionen:

${\text{sc}}[{\tfrac {2}{3}}K(k);k]={\frac {{\sqrt {3}}\,\vartheta _{01}[q(k)^{6}]}{{\sqrt {1-k^{2}}}\,\vartheta _{01}[q(k)^{2}]}}$

${\text{sn}}[{\tfrac {1}{3}}K(k);k]={\frac {2\vartheta _{00}[q(k)]^{2}}{3\vartheta _{00}[q(k)^{3}]^{2}+\vartheta _{00}[q(k)]^{2}}}={\frac {3\vartheta _{01}[q(k)^{3}]^{2}-\vartheta _{01}[q(k)]^{2}}{3\vartheta _{01}[q(k)^{3}]^{2}+\vartheta _{01}[q(k)]^{2}}}$

${\text{cn}}[{\tfrac {2}{3}}K(k);k]={\frac {3\vartheta _{00}[q(k)^{3}]^{2}-\vartheta _{00}[q(k)]^{2}}{3\vartheta _{00}[q(k)^{3}]^{2}+\vartheta _{00}[q(k)]^{2}}}={\frac {2\vartheta _{01}[q(k)]^{2}}{3\vartheta _{01}[q(k)^{3}]^{2}+\vartheta _{01}[q(k)]^{2}}}$

${\text{sn}}[{\tfrac {1}{5}}K(k);k]={\biggl \{}{\frac {{\sqrt {5}}\,\vartheta _{01}[q(k)^{5}]}{\vartheta _{01}[q(k)]}}-1{\biggr \}}{\biggl \{}{\frac {5\vartheta _{01}[q(k)^{10}]^{2}}{\vartheta _{01}[q(k)^{2}]^{2}}}-1{\biggr \}}^{-1}$

${\text{sn}}[{\tfrac {3}{5}}K(k);k]={\biggl \{}{\frac {{\sqrt {5}}\,\vartheta _{01}[q(k)^{5}]}{\vartheta _{01}[q(k)]}}+1{\biggr \}}{\biggl \{}{\frac {5\vartheta _{01}[q(k)^{10}]^{2}}{\vartheta _{01}[q(k)^{2}]^{2}}}-1{\biggr \}}^{-1}$

${\text{cn}}[{\tfrac {2}{5}}K(k);k]={\biggl \{}{\frac {{\sqrt {5}}\,\vartheta _{00}[q(k)^{5}]}{\vartheta _{00}[q(k)]}}+1{\biggr \}}{\biggl \{}{\frac {5\vartheta _{01}[q(k)^{10}]^{2}}{\vartheta _{01}[q(k)^{2}]^{2}}}-1{\biggr \}}^{-1}$

${\text{cn}}[{\tfrac {4}{5}}K(k);k]={\biggl \{}{\frac {{\sqrt {5}}\,\vartheta _{00}[q(k)^{5}]}{\vartheta _{00}[q(k)]}}-1{\biggr \}}{\biggl \{}{\frac {5\vartheta _{01}[q(k)^{10}]^{2}}{\vartheta _{01}[q(k)^{2}]^{2}}}-1{\biggr \}}^{-1}$

Für die nun präsentierten Thetafunktionsidentitäten zu den Jacobischen Funktionen können folgende Formeln zur Bestimmung effizient verwendet werden:

Diese Identitäten dienen zur Herleitung der genannten Thetafunktionsquotienten:

$\operatorname {nc} [{\tfrac {4}{5}}K(k);k]-\operatorname {nc} [{\tfrac {2}{5}}K(k);k]={\frac {5\vartheta _{01}[q(k)^{5}]^{2}}{2\vartheta _{01}[q(k)]^{2}}}-{\frac {1}{2}}$

Dieser Wert auf beiden Seiten der Gleichungswaage löst als y-Wert folgende Gleichung auf:

$y^{6}-2y^{5}-\tan[2\arctan(k)]^{2}(2y+1)=0$

$y={\frac {5\vartheta _{01}[q(k)^{5}]^{2}}{2\vartheta _{01}[q(k)]^{2}}}-{\frac {1}{2}}$

Und es gilt weiter:

$\operatorname {dn} [{\tfrac {2}{5}}K(k);k]+\operatorname {dn} [{\tfrac {4}{5}}K(k);k]={\frac {5\vartheta _{00}[q(k)^{5}]^{2}}{2\vartheta _{00}[q(k)]^{2}}}-{\frac {1}{2}}$

Jener Wert auf beiden Seiten der Gleichungswaage löst als z-Wert nachfolgende Gleichung auf:

$z^{6}-2z^{5}+\sin[2\arcsin(k)]^{2}(2z+1)=0$

$z={\frac {5\vartheta _{00}[q(k)^{5}]^{2}}{2\vartheta _{00}[q(k)]^{2}}}-{\frac {1}{2}}$

Herleitung von der Ableitung der Hauptthetafunktion

Die Ableitung der Hauptfunktion unter den Jacobischen Thetafunktionen kann auf folgende Weise mit Hilfe der Kettenregel und der Ableitungsformel des elliptischen Nomens hergeleitet werden:

${\frac {\pi ^{2}}{2\varepsilon (1-\varepsilon ^{2})K(\varepsilon )^{2}}}\,q(\varepsilon )\,{\biggl \{}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \,q(\varepsilon )}}\,\vartheta _{00}{\bigl [}q(\varepsilon ){\bigr ]}{\biggr \}}={\biggl [}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}\,q(\varepsilon ){\biggr ]}{\biggl \{}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \,q(\varepsilon )}}\,\vartheta _{00}{\bigl [}q(\varepsilon ){\bigr ]}{\biggr \}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}\,\vartheta _{00}{\bigl [}q(\varepsilon ){\bigr ]}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}\,{\sqrt {2\pi ^{-1}K(\varepsilon )}}=$

$={\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,\pi ^{-1/2}\,K(\varepsilon )^{-1/2}{\biggl [}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}\,K(\varepsilon ){\biggr ]}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}\,\pi ^{-1/2}\,K(\varepsilon )^{-1/2}\,{\frac {E(\varepsilon )-(1-\varepsilon ^{2})K(\varepsilon )}{\varepsilon (1-\varepsilon ^{2})}}$

Denn es gilt die nun genannte Identität zwischen Thetafunktion und elliptischem Integral erster Art:

$\vartheta _{00}[q(\varepsilon )]={\sqrt {2\pi ^{-1}K(\varepsilon )}}$

Daraus folgt diese Gleichung:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \,q(\varepsilon )}}\,\vartheta _{00}{\bigl [}q(\varepsilon ){\bigr ]}={\sqrt {2}}\,\pi ^{-5/2}\,q(\varepsilon )^{-1}\,K(\varepsilon )^{3/2}{\bigl [}E(\varepsilon )-(1-\varepsilon ^{2})K(\varepsilon ){\bigr ]}$

Es gilt für die vollständigen elliptischen Integrale zweiter Art folgende Identität:

$\left(1+{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}\right)\,E\left({\frac {1-{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}}{1+{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}}}\right)=E(\varepsilon )+{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}\,K(\varepsilon )$

So entsteht mit dieser Modulidentität folgende Umformung:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \,q(\varepsilon )}}\,\vartheta _{00}{\bigl [}q(\varepsilon ){\bigr ]}={\sqrt {2}}\,\pi ^{-5/2}\,q(\varepsilon )^{-1}\,K(\varepsilon )^{3/2}\left(1+{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}\right)\left[E\left({\frac {1-{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}}{1+{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}}}\right)-{\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}\,K(\varepsilon )\right]$

Weiter gilt diese Identität:

$\vartheta _{01}[q(\varepsilon )]={\sqrt[{4}]{1-\varepsilon ^{2}}}{\sqrt {2\pi ^{-1}K(\varepsilon )}}$

Mit den Thetafunktionsausdrücken ϑ₀₀(x) und ϑ₀₁(x) kann die gezeigte Formel so dargestellt werden:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \,q(\varepsilon )}}\,\vartheta _{00}{\bigl [}q(\varepsilon ){\bigr ]}={\frac {1}{2\pi }}\,q(\varepsilon )^{-1}\vartheta _{00}[q(\varepsilon )]{\bigl \{}\vartheta _{00}[q(\varepsilon )]^{2}+\vartheta _{01}[q(\varepsilon )]^{2}{\bigr \}}{\biggl \langle }E{\biggl \{}{\frac {\vartheta _{00}[q(\varepsilon )]^{2}-\vartheta _{01}[q(\varepsilon )]^{2}}{\vartheta _{00}[q(\varepsilon )]^{2}+\vartheta _{01}[q(\varepsilon )]^{2}}}{\biggr \}}-{\frac {\pi }{2}}\,\vartheta _{01}{\bigl [}q(\varepsilon ){\bigr ]}^{2}{\biggr \rangle }$

Daraus folgt jene Endgleichung:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\vartheta _{00}(x)=\vartheta _{00}(x){\bigl [}\vartheta _{00}(x)^{2}+\vartheta _{01}(x)^{2}{\bigr ]}{\biggl \{}{\frac {1}{2\pi x}}E{\biggl [}{\frac {\vartheta _{00}(x)^{2}-\vartheta _{01}(x)^{2}}{\vartheta _{00}(x)^{2}+\vartheta _{01}(x)^{2}}}{\biggr ]}-{\frac {\vartheta _{01}(x)^{2}}{4x}}{\biggr \}}$

Umkehrfunktion vom elliptischen Nomen

Die Umkehrfunktion des elliptischen Nomens, invertiertes oder inverses Nomen genannt, stimmt mit der vierten Potenz der Hermiteschen Transzendente $\varphi _{H}$ überein. Die Ausdrucksweise dieser Umkehrfunktion beinhaltet ein q in Basisstellung und eine Minus Eins in Dachklammern in Exponentenstellung:

$q^{\langle -1\rangle }(x)=\varphi _{H}(x)^{4}={\frac {\vartheta _{10}(x)^{2}}{\vartheta _{00}(x)^{2}}}$

Nach der Definition der Thetafunktionen durch Sir Edmund Taylor Whittaker und Professor George Neville Watson gilt:

$q^{\langle -1\rangle }(x)=4{\sqrt {x}}\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {(1+x^{2n})^{4}}{(1+x^{2n-1})^{4}}}$

Somit gilt gemäß der Definition für 0 ≤ x ≤ 1:

$q{\bigl [}q^{\langle -1\rangle }(x){\bigr ]}=x$

Für das invertierte Nomen kann diese Reihenentwicklung aufgestellt werden:

$q^{\langle -1\rangle }(x)=4{\sqrt {x}}{\biggl \{}1+\sum _{n=1}^{\infty }x^{2\bigtriangleup (n)}{\biggr \}}^{2}{\biggl \{}1+2\sum _{n=1}^{\infty }x^{\Box (n)}{\biggr \}}^{-2}$

Mit dem Delta werden die Dreieckszahlen von n dargestellt: Δ(n) = n(n+1)/2

Für das invertierte elliptische Nomen existiert auch die nun folgende Kettenbruchdarstellung:

${\sqrt[{4}]{q^{\langle -1\rangle }(x)}}=\varphi _{H}(x)={\cfrac {{\sqrt {2}}\,x^{1/8}}{1+{\cfrac {x}{1+x+{\cfrac {x^{2}}{1+x^{2}+{\cfrac {x^{3}}{1+x^{3}+{\cfrac {x^{4}}{1+x^{4}+{\cfrac {x^{5}}{\ddots }}}}}}}}}}}}$

Auf der Grundlage der Definition des invertierten Nomens über die Thetafunktionen kann auch die Elliptische Lambdafunktion definiert werden:

$\lambda ^{*}(x)=q^{\langle -1\rangle }[\exp(-\pi {\sqrt {x}})]$

Siehe auch

• Elliptisches Integral
• Jacobische Thetafunktion
• Legendresche Identität

Literatur

• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun: Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. OCLC 1097832. Siehe Abschnitt 17.3.17 Definition! 1972 edition: ISBN 0-486-61272-4
• Tom M. Apostol: Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, Second Edition (1990), Springer, New York: ISBN 0-387-97127-0
• Folkmar Bornemann, Dirk Laurie, Stan Wagon und Jörg Waldvogel: Vom Lösen numerischer Probleme, Seite 275
• Toshio Fukushima: Fast Computation of Complete Elliptic Integrals and Jacobian Elliptic Functions. 2012, National Astronomical Observatory of Japan (国立天文台)
• Lowan, Blanch und Horenstein: On the Inversion of the q-Series Associated with Jacobian Elliptic Functions. Bull. Amer. Math. Soc. 48, 1942
• H. Ferguson, D. E. Nielsen, G. Cook: A partition formula for the integer coefficients of the theta function nome. Mathematics of computation, Volume 29, Nummer 131, Juli 1975
• J. D. Fenton and R. S. Gardiner-Garden: Rapidly-convergent methods for evaluating elliptic integrals and theta and elliptic functions. J. Austral. Math. Soc. (Series B) 24, 1982, S. 57
• Nikolaos Bagis: On the solution of the general quintic using the Rogers-Ramanujan continued fraction. Pella, Makedonien, Griechenland, 2015
• Nikolaos Bagis: Solution of Polynomial Equations with Nested Radicals. Pella, Makedonien, Griechenland, 2020
• Viktor Prasolov (Прасолов) und Yuri Solovyev (Соловьёв): Elliptic Functions and Elliptic Integrals. Volume 170, Rhode Island, 1991. Seiten 149–159
• Sun Zhi-Hong: New congruences involving Apery-like numbers. Huaiyin Normal University, Huaian (淮安), China, 2020. Seite 2
• Robert Fricke: Die elliptischen Funktionen und ihre Anwendungen: Dritter Teil. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2012. ISBN 978-3-642-20953-6, ISBN 978-3-642-20954-3 (eBook)
• Adolf Kneser: Neue Untersuchung einer Reihe aus der Theorie der elliptischen Funktionen. J. reine u. angew. Math. 157, 1927. Seiten 209–218