Lambert-Reihe

In der Mathematik ist eine Lambert-Reihe eine spezielle Reihe. Benannt ist sie nach Johann Heinrich Lambert.

Definition

Die Lambert-Reihe ist eine Reihe mit dieser Form:

$S(q)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}$

Die Lambertsche L-Funktion bilden den Spezialfall dieser Reihe mit aₙ = 1 für alle Werte n:

$L(q)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}}$

Eigenschaften

Konvergenz

Für $|q|=1$ konvergiert die Lambert-Reihe nicht. Für $|q|\neq 1$ konvergiert sie stets dann, wenn die Reihe $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ konvergiert. Konvergiert $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ nicht, dann konvergiert die Lambert-Reihe für alle $q$, für die die Potenzreihe $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}q^{n}$ konvergiert (Satz von Konrad Knopp).

Lambert-Reihe als Potenzreihe

Die Lambert-Reihe kann für $|q|<1$ mittels Erweiterung umsummiert werden zu

$S(q)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\sum _{k=1}^{\infty }q^{nk}=\sum _{m=1}^{\infty }b_{m}q^{m}$,

wobei sich die Koeffizienten der neuen Reihe durch Dirichlet-Faltung von $a_{n}$ mit der konstanten Folge $1_{(n)}=1$ ergeben:

$b_{m}=(a*1)(m)=\sum _{n\mid m}a_{n}$.

Alternative Form

Setzt man $q=e^{-z}$, so erhält man eine andere übliche Form der Reihe

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{e^{zn}-1}}=\sum _{m=1}^{\infty }b_{m}e^{-mz}$

wobei

$b_{m}=(a*1)(m)=\sum _{n\mid m}a_{n}\,$

ist.

Beispiele der Lambert-Reihe in dieser Form, mit $z=2\pi$, treten in Ausdrücken der Riemannschen Zeta-Funktion für ungerade natürliche Zahlen auf.

Anwendung

Einige unendliche Summen können durch die Lambertsche L-Funktion dargestellt werden.

Unendliche Summe geradstelliger Fibonacci-Zahlen:

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{F_{2n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {{\sqrt {5}}\Phi ^{2n}}{\Phi ^{4n}-1}}={\sqrt {5}}[L(\Phi ^{-2})-L(\Phi ^{-4})]$

Mit dem griechischen Buchstaben Phi wird die Goldene Zahl dargestellt.

Unendliche Summe der Kehrwerte geradstelliger Pell-Zahlen:

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{P_{2n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2{\sqrt {2}}({\sqrt {2}}+1)^{2n}}{({\sqrt {2}}+1)^{4n}-1}}=2{\sqrt {2}}\{L[({\sqrt {2}}-1)^{2}]-L[({\sqrt {2}}-1)^{4}]\}$

Darstellung der Erdős-Borwein-Konstante mit der Lambertschen L-Funktion:

$E=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}-1}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{n}+1}{2^{\Box (n)}(2^{n}-1)}}=L{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\bigr )}$

Mit dem Quadratsymbol vor dem eingeklammerten n wird die n-te Quadratzahl ausgedrückt.

Unendliche Summe der Kehrwerte von den Nachfolgern der Zweierpotenzen:

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}+1}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\bigl (}{\frac {1}{2^{n}-1}}-{\frac {2}{4^{n}-1}}{\bigr )}=L{\bigl (}{\frac {1}{2}}{\bigr )}-2L{\bigl (}{\frac {1}{4}}{\bigr )}$

Siehe auch

• Thetafunktion
• Elliptisches Nomen

Literatur

• Eric W. Weisstein: Lambert Series. In: MathWorld (englisch).
• G. M. Fichtenholz: Differential- und Integralrechnung II (= Hochschulbücher für Mathematik. Band 62). 6. Auflage. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1974, S. 323. 
• Ravi Agarwal: Lambert series and Ramanujan. Department of Mathematics and Astronomy, Universität Lucknow (लखनऊ विश्वविद्यालय), Indien