Quasiintegrierbarkeit

Quasiintegrierbarkeit ist in der Mathematik eine Eigenschaft, die messbaren Funktionen und Zufallsvariablen zukommen kann, dementsprechend spricht man auch von quasiintegrierbaren Funktionen und quasiintegrierbaren Zufallsvariablen. Somit ist sie der Maßtheorie und der Stochastik zuzuordnen. Die Quasiintegrierbarkeit ist ein wichtiger Schritt auf dem Weg von dem Riemann-Integral zu einem allgemeineren Integralbegriff, dem Lebesgue-Integral.

Definition

Quasiintegrierbare Funktion

Sei

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f \colon (\Omega, \mathcal A) \to (\overline{ \R}, \mathcal B (\overline{ \R})) }

eine messbare numerische Funktion auf dem Maßraum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\Omega, \mathcal A, \mu) } sowie

$f^{+}:=\max\{f,0\}{\text{ und }}f^{-}:=-\min\{f,0\}$

der Positiv- bzw. Negativteil der Funktion. Dann heißt die Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mu} -quasiintegrierbar oder quasiintegrierbar bezüglich Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mu } , wenn mindestens eines der beiden Integrale

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I^+:= \int_\Omega f^+ \mathrm d \mu \text{ oder } I^-:= \int_\Omega f^- \mathrm d \mu }

endlich ist. Ist klar, um welches Maß Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mu } es sich handelt, so wird auf die Angabe im Allgemeinen verzichtet.

Quasiintegrierbare Zufallsvariable

Sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X } eine Zufallsvariable von dem Wahrscheinlichkeitsraum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\Omega, \mathcal A, P) } nach Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\overline{ \R}, \mathcal B (\overline{ \R})) } . Es sei wie oben

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle X^{+}:=\max\{X,0\}{\text{ und }}X^{-}:=-\min\{X,0\}}

der Positiv- und der Negativteil der Zufallsvariable. Die Zufallsvariable heißt dann $P$-quasiintegrierbar oder quasiintegrierbar bezüglich Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P} , wenn mindestens einer der beiden Erwartungswerte

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname E (X^+) \text{ und } \operatorname E (X^-) }

endlich ist. Ist klar, welches Wahrscheinlichkeitsmaß $P$ gemeint ist, wird meist auf die Angabe verzichtet.

Bemerkungen

• Faktisch stimmen die beiden Definitionen überein, bloß sind sie in der Notation zweier unterschiedlicher Teilbereiche der Mathematik formuliert. Einziger Unterschied ist der, dass bei der quasiintegrierbaren Zufallsvariable nur Wahrscheinlichkeitsmaße und nicht beliebige Maße zugelassen sind.
• Der Erwartungswert einer Zufallsvariable lässt sich für quasiintegrierbare Zufallsvariablen definieren, kann dann aber eventuell den Wert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \pm \infty } annehmen. In der Literatur existieren verschiedene Versionen der Aussage „der Erwartungswert existiert“. Manche fordern, dass er endlich ist, andere lassen wiederum zu, dass er die Werte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \pm \infty } annimmt. Hier ist auf die genaue Definition des Lehrbuches zu achten.

Verwendung

Quasiintegrierbare Funktionen spielen eine wichtige Rolle bei der Konstruktion des Lebesgue-Integrals.

Zuerst wird das Integral nur für die Klasse der positiven einfachen Funktionen definiert und dann durch ein Approximationsargument auf positive messbare Funktionen verallgemeinert. Um das Integral für beliebige messbare Funktionen zu definieren, zerlegt man messbare Funktionen in ihren Positiv- und Negativteil

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f^+:=\max \{f,0\} \text{ und } f^-:= -\min \{f,0 \} }

und definiert das Integral über die Funktion als die Summe von Positiv- und Negativteil

$I(f):=I(f^{+})-I(f^{-})$.

Nun können aber durchaus die Ausdrücke Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I(f^+) } und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle I(f^-) } beide den Wert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle + \infty } annehmen, was zu der nicht definierten Aussage

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle I(f)=+\infty -\infty }

führen würde. Um dies zu vermeiden, fordert man die Quasiintegrierbarkeit, die garantiert, dass stets nur eines der Integrale unendlich wird. In diesem Sinne existieren Integrale über quasiintegrierbare Funktionen, sind also mathematisch wohldefiniert, können aber durchaus den Wert $\infty$ oder $-\infty$ annehmen.

Literatur

• Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 6., korrigierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89727-9, doi:10.1007/978-3-540-89728-6. 
• David Meintrup, Stefan Schäffler: Stochastik. Theorie und Anwendungen. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2005, ISBN 978-3-540-21676-6, doi:10.1007/b137972.