Benutzer:Ag2gaeh/spielplatz

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Mechanisches Problem

Sind die Löcher in der ebenen Platte an den Stellen $\mathbf {x} _{1}=(x_{1},y_{1}),...\mathbf {x} _{n}=(x_{n},y_{n})$ angebracht und hängen an den Fäden die Massen $m_{1},...m_{n}$ , so muss der Gleichgewichtspunkt $\mathbf {v} =(x,y)$ die Gleichgewichtsbedingung (Summe aller Kräfte im Punkt $\mathbf {v}$ ist Null) erfüllen. Der Betrag der im i-ten Faden angreifenden Kraft ist $m_{i}g$ ($g$ ist die Erdbeschleunigung) und hat die Richtung ${\tfrac {\mathbf {x} _{i}-\mathbf {v} }{|\mathbf {x} _{i}-\mathbf {v} |}}$ (Einheitsvektor). Summiert man diese Kräfte auf und kürzt den gemeinsamen Faktor $g$ heraus erhält man die Gleichung

(1):$\ \mathbf {F} (\mathbf {v} )=\sum _{i=1}^{n}m_{i}{\frac {\mathbf {v} -\mathbf {x} _{i}}{|\mathbf {v} -\mathbf {x} _{i}|}}=0$

erfüllen. In Komponenten bedeutet diese Vektorgleichung

$\sum _{i=1}^{n}m_{i}{\frac {x-x_{i}}{|\mathbf {v} -\mathbf {x} _{i}|}}=0$

$\sum _{i=1}^{n}m_{i}{\frac {y-y_{i}}{|\mathbf {v} -\mathbf {x} _{i}|}}=0$.

Dies ist ein nichtlineares Gleichungssystem für die Unbekannten $x,y$ und kann mit dem Weiszfeldverfahren gelöst werden.

Standort-Problem

Die linke Seite der Gleichung (1) lässt sich auch als Gradient der Funktion

(2):$\ D(\mathbf {x} )=\sum _{i=1}^{n}m_{i}|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{i}|$

auffassen. Die Funktion $D$ wiederum beschreibt die Summe der mit $m_{1},...m_{n}$ gewichteten Abstände $|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{1}|,...,|\mathbf {x} -\mathbf {x} _{n}|$ der Punkte $\mathbf {x} _{1},...,\mathbf {x} _{n}$ von dem Punkt $\mathbf {x}$. Da der Gradient der Funktion $D$ im Punkt $\mathbf {v}$ gleich Null ist, besitzt $D$ in $\mathbf {v}$ ein relatives Optimum. Das heißt, der Varignon'sche Apparat liefert eine einfache Möglichkeit das Standort-Problem (Optimierung) experimentell zu lösen und das Weiszfeld-Verfahren liefert eine rechnerische Lösung.

Berechnung mit dem Newton-Verfahren (Extremalproblem)

Bezeichnungen: $\ D_{i}=|\mathbf {x} _{i}-\mathbf {x} |\ ,\ D(\mathbf {x} )=\sum _{i=1}^{n}m_{i}D_{i}$

Für die Jacobi-Matrix des Newton-Verfahrens berechnet man die zweiten partiellen Ableitungen der Funktionen $D_{i}$. Die Koeffizienten der für die Newton-Iteration benötigten Jacobi-Matrix $J(\mathbf {x} )$ sind dann:

$J_{xx}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}D_{ixx},\quad J_{xy}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}D_{ixy},\quad J_{xx}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}D_{ixx}$

Iteration: Man wählt einen Startpunkt $\mathbf {v} _{0}$ und löst für jeden Schritt das lineare Gleichungssystem (z. B. mit der Cramerschen Regel)

$J(\mathbf {v} _{k})\;\Delta \mathbf {v} _{k}=-\mathbf {F} (\mathbf {v} _{k})$ .

Danach erhält man $\ \mathbf {v} _{k+1}=\mathbf {v} _{k}+\Delta \mathbf {v} _{k}.$

Berechnung mit dem Steiner-Weber-Ansatz (Fixpunktproblem)

Der folgende auf Jakob Steiner zurückgehende einfache Algorithmus basiert auf der Idee, in Gleichung (1) im Zähler die Näherung $\mathbf {v} _{k+1}$ und im Nenner die Näherung $\mathbf {v} _{k}$ einzusetzen und diese Gleichung dann nach $\mathbf {v} _{k+1}$ aufzulösen:

$\mathbf {v} _{k+1}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {m_{i}\mathbf {x} _{i}}{|\mathbf {x} _{i}-\mathbf {v} _{k}|}}{\big /}\sum _{i=1}^{n}{\frac {m_{i}}{|\mathbf {x} _{i}-\mathbf {v} _{k}|}}$

Als Startpunkt wird der Massenmittelpunkt der Anordnung mit den Massen in den Punkten $\mathbf {x} _{i}$ verwendet:

$\mathbf {v} _{0}={\frac {\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {x} _{i}}{\sum _{i=1}^{n}m_{i}}}$.

Der Weiszfeld-Algorithmus benutzt diese Iterationformel.

Die Iterationsformel kann als Iteration zur Bestimmung des Fixpunktes der Funktion

(3)$\quad G(\mathbf {x} )=\sum _{i=1}^{n}{\frac {m_{i}\mathbf {x} _{i}}{|\mathbf {x} _{i}-\mathbf {x} |}}{\big /}\sum _{i=1}^{n}{\frac {m_{i}}{|\mathbf {x} _{i}-\mathbf {x} |}}$

mit der Fixpunktgleichung

(4)$\quad \mathbf {x} =G(\mathbf {x} )$

angesehen werden (Siehe hierzu auch Fixpunktsatz von Banach.)