Wedge-Produkt (Topologie)

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Wedge-Produkt zweier Kreise

Mit dem Wedge-Produkt (nach wedge engl. Keil; auch Einpunktvereinigung oder Bouquet genannt) Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X\vee Y} zweier punktierter topologischer Räume $X$ und $Y$ bezeichnet man ihre disjunkte Vereinigung, die an einem Punkt (dem Basispunkt) verklebt ist. Formal ist die Definition wie folgt:

$X\vee Y=(X\amalg Y)/(pt\amalg pt)$

Hierbei bezeichnet Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle pt} den jeweiligen Basispunkt.

Die Konstruktion kann man auch auf eine beliebige Menge von Räumen verallgemeinern:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \bigvee_{i\in I}X_i = \left(\coprod_{i\in I}X_i\right)/\left(\coprod_{i\in I} pt_i\right)}

Abstrakter kann man das Wedge-Produkt als das Koprodukt in der Kategorie der punktierten topologischen Räume auffassen.

Rolle in der algebraischen Topologie

Das Wedge-Produkt verhält sich gut bezüglich einiger Funktoren in der algebraischen Topologie. Zum Beispiel gilt für die Fundamentalgruppe für lokal-kontrahierbare Räume Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X_i}

$\pi _{1}\left(\bigvee _{i\in I}X_{i}\right)=*_{i\in I}\pi _{1}(X_{i}),$

wobei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle *} das freie Produkt der Gruppen bezeichnet.

In der singulären Homologie gilt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle H_n\left(\bigvee_{i\in I}X_i,pt\right) = \bigoplus_{i\in I} H_n(X_i, pt)}

Man kann das Wedge-Produkt $X\vee Y$ auf naheliegende Weise in das Produkt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X\times Y} einbetten, der Quotient

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X\wedge Y:= X\times Y/X\vee Y}

ist das Smash-Produkt.

Insbesondere ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Sigma X:=S^1\wedge X} die reduzierte Einhängung, von Bedeutung in der stabilen Homotopietheorie.

Das Wedge-Produkt wird auch in der Definition der Verknüpfung in den Homotopiegruppen verwendet.

Literatur

• Allen Hatcher: Algebraic Topology, Cambridge University Press 2002