Benutzer:Sigma^2/Statistische Notation

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Zufallsvariable und Zufallsgröße

Es gibt unterschiedliche Bezeichnungssysteme für Zufallsgrößen und -variablen als messbare Abbildungen von einem Wahrscheinlichkeitsraum in einen Messraum.

Deutschsprachige Bezeichnungen

Bezeichnungssysteme für Zufallsgrößen und -variablen
Oberbegriff (Abbildung in einen allgemeinen Messraum) Werte in Werte in Werte in Quellen
Zufallsvariable, Zufallsgröße, zufällige Größe reelle Zufallsvariable erweiterte Zufallsvariable, numerische Zufallsvariable mehrdimensionale Zufallsvariable, Zufallsvektor Wikipedia (deutschsprachig)
Zufallsvariable reelle Zufallsvariable, Zufallsvariable Zufallsvektor Klenke (2020)[1]
Zufallsgröße, zufällige Größe, Zufallsvariable Bewersdorff (2018)[2]
Zufallsvariable reelle Zufallsvariable erweiterte Zufallsvariable, numerische Zufallsvariable zufälliger Vektor, Zufallsvektor Lexikon der Mathematik (2017)[3][4][5]
Zufallsgröße reelle Zufallsvariable Zufallsvariable Zufallsvektor Schmidt (2011)[6]
(eindimensionale) Zufallsvariable n-dimensionale Zufallsvariable, vektorielle Zufallsvariable, mehrdimensionale Zufallsvariable Taschenbuch der Statistik (2008)[7]
Zufallsvariable reelle Zufallsvariable numerische Zufallsvariable n-dimensionale Zufallsvariable Meintrup/Schäffler (2005)[8]
Zufallsvariable reelle Zufallsvariable numerische Zufallsvariable n-dimensionale Zufallsvariable, -wertige Zufallsvariable Bauer (2002)[9]
zufällige Variable, zufälliges Element, zufällige Veränderliche Zufallsgröße zufälliger Vektor, Zufallsvektor Lexikon der Stochastik (1991)[10]
zufälliges Element, -wertige zufällige Größe zufällige Größe erweiterte zufällige Größe n-dimensionaler zufälliger Vektor Širjaev(1988)[11]
Zufallsgröße -wertige Zufallsgröße n-dimensionale Zufallsgröße Witting (1985)[12]
zufällige Variable numerische zufällige Variable Zufallsvektor, zufälliger Vektor Gänssler/Stute (1977)[13]

Die deutschsprachige Wikipedia enthält im Artikel Zufallsvariable – ohne Nachweis – die Begriffe Zufallsveränderliche, stochastische Variable und stochastische Größe. Hierbei handelt es sich entweder um Ad-Hoc-Erfindungen denkbarer Synonyme durch einen Wikipedia-Autor oder um Ad-Hoc-Erfindungen in nichtwissenschaftlicher Literatur.

Als Beleg für den Begriff zufällige Größe und weitere wahrscheinlichkeitstheoretische Zusammenhänge wird (Stand: 5. September 2022) ein populärwissenschaftliches Buch angeführt.[14] Dort wird durchgängig der Begriff Zufallsgröße verwendet und nur einmal zufällige Größe als mögliches Synonym verwendet.

Einzelnachweise
  1. ↑ Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 4., überarbeitete und ergänzte Auflage. Springer, Berlin 2020, ISBN 978-3-662-62088-5, S. 45, 363, doi:10.1007/978-3-662-62089-2.
  2. ↑ Jörg Bewersdorff: Glück, Logik und Bluff. Mathematik im Spiel – Methoden, Ergebnisse und Grenzen. 7., verbesserte und erweiterte Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden 2018, ISBN 978-3-658-21764-8, S. 40, doi:10.1007/978-3-658-21765-5.
  3. ↑ Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. 2. Auflage. Band 2. Eig bis Inn. Springer Spektrum, Berlin 2017, ISBN 978-3-662-53503-5, S. 78, doi:10.1007/978-3-662-53504-2.
  4. ↑ Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. 2. Auflage. Band 4. Moo bis Sch. Springer Spektrum, Berlin 2017, ISBN 978-3-662-53499-1, S. 98, doi:10.1007/978-3-662-53500-4.
  5. ↑ Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. 2. Auflage. Band 5. Sed bis Zyl. Springer Spektrum, Berlin 2017, ISBN 978-3-662-53505-9, S. 465, doi:10.1007/978-3-662-53506-6.
  6. ↑ Klaus D. Schmidt: Maß und Wahrscheinlichkeit. 2., durchgesehene Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg 2011, ISBN 978-3-642-21025-9, S. 194.
  7. ↑ Horst Rinne: Taschenbuch der Statistik. 4. Auflage. Harri Deutsch, Frankfurt am Main 2008, ISBN 978-3-8171-1827-4, S. 184.
  8. ↑ David Meintrup, Stefan Schäffler: Stochastik – Theorie und Anwendungen. Springer, Berlin / Heidelberg / New York 2005, ISBN 3-540-21676-6, S. 90.
  9. ↑ Heinz Bauer: Wahrscheinlichkeitstheorie. 5. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin / New York 2002, ISBN 3-11-017236-4, S. 14.
  10. ↑ P. H. Müller (Hrsg.): Lexikon der Stochastik – Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. 5. Auflage. Akademie-Verlag, Berlin 1991, ISBN 978-3-05-500608-1, S. 511, 519.
  11. ↑ A. N. Širjaev: Wahrscheinlichkeit (= Hochschulbücher für Mathematik. Band 91). VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1988, ISBN 3-326-00195-9, S. 48, 50, 188.
  12. ↑ Hermann Witting: Mathematische Statistik I. Parametrische Verfahren bei festem Stichprobenumfang. Teubner, Stuttgart 1985, ISBN 3-519-02026-2, S. 517.
  13. ↑ Peter Gänssler, Winfried Stute: Wahrscheinlichkeitstheorie. Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 1977, ISBN 3-540-08418-5, S. 18.
  14. ↑ Jörg Bewersdorff: Glück, Logik und Bluff. Mathematik im Spiel – Methoden, Ergebnisse und Grenzen. 6., aktualisierte Auflage. Springer Spektrum, Wiesbaden 2012, ISBN 978-3-8348-1923-9.

Englischsprachige Bezeichnungen

Englischsprachige Bezeichnungen für Zufallsgrößen und -variablen
Oberbegriff (messbare Abbildung von einem Wahrscheinlichkeitsraum in einen Messraum) Werte in Werte in Werte in Quellen
random element, random variable real-valued random variable multivariate random variable, random vector engl. Wikipedia
random element random variable random vector Kallenberg (2021)[1]
random variable random vector Proschan/Shaw (2016)[2]
random variable random vector Loève (1977)[3]
Einzelnachweise
  1. ↑ Olav Kallenberg: Foundations of Modern Probability (= Probability Theory and Stochastic Modelling. Band 99). 3. Auflage. Springer, Cham 2021, ISBN 978-3-03061870-4, S. 83.
  2. ↑ Michael A. Proschan, Pamela A. Shaw: Essentials of Probability Theory for Statisticians. CRC Preess, Boca Raton 2016, ISBN 978-1-4987-0419-9, S. 39, 46.
  3. ↑ Michel Loève: Probability Theory I. 4. Auflage. Springer-Verlag, New York / Heidelberg / Berlin 1977, ISBN 978-1-4684-9466-2, S. 152, 155, doi:10.1007/978-1-4684-9464-8.

Zur Definition des Erwartungswertes

In einer engeren Definition wird der Erwartungswert einer reellen Zufallsvariablen () als reelle Zahl, , definiert. In einer weiteren Definition wird der Erwartungswert einer reellen Zufallsvariablen als erweiterte reelle Zahl, , definiert. Die nächste Erweiterung besteht darin, den Erwartungswert auch für erweiterte Zufallsvariablen () als erweiterte reelle Zahl () zu definieren. In anwendungsnahen Publikationen sind häufig unscharfe oder unvollständige Definitionen zu finden.

Unterschiedlich weite Konzepte des Erwartungswertes
Erwartungswert für reelle Zufallsvariable als reelle Zahl (in ) Doob (1953)[1], Feller (1968)[2], Lexikon der Stochastik (1991)[3], Whittle (2000)[4], Casella/Berger (2002)[5], Kallenberg (2021)[6]
Erwartungswert für reelle Zufallsvariable als erweiterte reelle Zahl (in ) Širjaev (1988)[7], Billingsley (1995)[8], Meintrup/Schäffler (2005)[9]
Erwartungswert für erweiterte Zufallsvariable als erweiterte reelle Zahl (in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \bar\R} ) Çinlar (2011)[10], Schmidt (2011)[11]

Erwartungswert einer reellen Zufallsvariablen als reelle Zahl

„Als Erwartungswert (Mittelwert) der Zufallsgröße Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} mit der Verteilungsfunktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F_X} bezeichnet man die Größe

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mu = \mathsf{E}X := \int_{-\infty}^\infty x\mathrm{d}F_X(x),\quad\text{falls } \int_{-\infty}^\infty |x|\mathrm{d}F_X(x) < \infty }

ist. Man sagt dann auch, es existiert der Erwartungswert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathsf{E}X} der Zufallsgröße Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} , oder, die Zufallsgröße Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} besitzt den Erwartungswert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathsf{E}X} .“[3]

Definitionen des Erwartungswertes als reelle Zahl lassen sich in vielen Statistikbüchern[5], aber auch in wahrscheinlichkeitstheoretischen Standardwerken[1][2][6] finden.

Erwartungswert einer reellen Zufallsvariablen als erweiterte reelle Zahl

Definition

  • „[...] schließen wir auf die Existenz des Grenzwertes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lim_n \mathbf{M}\xi_n} , der auch den Wert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle +\infty} annehmen kann.“[12]
  • „[...] Man sagt, dass der Erwartungswert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{M}\xi} der zufälligen Größe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \xi} existiert (oder daß er definiert ist), falls mindestens eine der Größen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{M}\xi^+} oder Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{M}\xi^-} endlich ist [...] In diesem Fall setzt man nach Definition Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{M}\xi = \mathbf{M}\xi^+ - \mathbf{M}\xi^-} .“[13]
  • „[...] Neben dem Erwartungswert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{M}\xi} sind auch die Größen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{M}\xi^r} (falls sie existieren) und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{M}|\xi|^r, r > 0} [die immer existieren, siehe oben], wichtige zahlenmäßige Charakteristika einer zufälligen Größe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \xi} . Sie heißen Momente r-ter Ordnung bzw. absolute Momente r-ter Ordnung (r-te Momente) der zufälligen Größe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \xi} .“[14]
  • „Man sagt, daß der Erwartungswert der zufälligen Größe Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \xi} endlich ist, falls sowohl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{M}\xi^- < \infty} als auch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{M}\xi^+ < \infty} erfüllt ist.“[15]

Analoge Definitionen lassen sich in vielen Büchern zur Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik finden.[16]

Zur Interpretation eines unendlichen Erwartungswert

Es sei Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} eine reelle Zufallsvariable mit dem Erwartungswert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E[X] = +\infty} , dann gilt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X < E[X]} (in dem üblichen Sinn, dass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X(\omega) < E[X]} für alle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \omega \in \Omega } gilt). Da alle Realisierungen von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} kleiner als der Erwartungswert sind, ist in diesem Fall die Interpretation des Erwartungswertes als 'Mittelwert' äußerst fragwürdig und führt zu einer falschen Intuition. Anders als bei einem endlichen Erwartungswert realisiert sich der Erwartungswert nicht 'im Mittel'. Für stochastisch unabhängige und identisch verteilte Stichprobenvariablen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X_1, \dots, X_n} mit der Verteilung von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} gilt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \bar X_n = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i \leq \max(X_1,\dots,X_n) < E[X]\quad\text{für alle }n \in \N } .

Dies zeigt, dass auch 'für große Stichprobenumfänge' die frequentistische Interpretation eines Erwartungswertes, nämlich Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E[X] \approx \bar X_n} , problematisch ist.

Erwartungswert einer erweiterten Zufallsvariablen als erweiterte reelle Zahl

Wenn man für den Erwartungswert die Werte zulässt, also die Definition eines Erwartungswertes im weiteren Sinn verwendet, dann führt dies zwangsläufig dazu, dass das Konzept der bedingten Erwartung als Zufallsvariable zu einer erweiterten Zufallsvariable führen kann. In der Literatur wird damit nicht einheitlich verfahren. Teils wird die bedingte Erwartung nür für Zufallsvariablen mit endlichem Erwartungswert definiert, teils wird der Erwartungswert auch für erweiterte Zufallsvariablen definiert.

Unscharfe Definitionen des Erwartungswertes

„Es heißt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E(g(X)) := \begin{cases} \sum_i g(x_i)P_i\\ \int_{-\infty}^\infty g(x) f(x) \mathrm{d}x, \end{cases}}

sofern existent, der Erwartungswert [expectation] von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle g(X)} . Speziell heißt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mu: = E(X) = \begin{cases} \sum_i x_iP_i\\ \int_{-\infty}^\infty x f(x) \mathrm{d}x \end{cases} }

der Erwartungswert von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} [...]“[17]

Die Definition ist unvollständig, da sie nur zwei Spezialfälle abdeckt. Sie enthält mit der Einschränkung „sofern existent“ eine nicht erklärte Unschärfe. Die Verwendung des Symbols Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mu} und danach angegebene Rechenregeln, die endliche Erwartungswerte voraussetzen, sind Indizen dafür, dass nur endliche Erwartungswert gemeint sind und die Einschränkung „sofern existent“ vermutlich heißen soll, „als reelle Zahl existent“.

Einzelnachweise
  1. ↑ a b Joseph L. Doob: Stochastic Processes. Wiley, New York 1953, ISBN 978-0-471-52369-7, S. 8.
  2. ↑ a b William Feller: An Introduction to Probability Theory and Its Applications. 3. Auflage. Band I. Wiley, New York / London / Sydney 1968, ISBN 978-0-471-25708-0, S. 221.
  3. ↑ a b P. H. Müller (Hrsg.): Lexikon der Stochastik – Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. 5. Auflage. Akademie-Verlag, Berlin 1991, ISBN 978-3-05-500608-1, S. 105, Artikel Erwartungswert (expectation).
  4. ↑ Peter Whittle: Probability via Expectation (= Springer Texts in Statistics). 4. Auflage. Springer, New York 2000, ISBN 978-1-4612-6795-9, doi:10.1007/978-1-4612-0509-8.Whittle startet auf S. 14, unmittelbar vor der axiomatischen Einführung des Erwartungswertes, zunächst mit einem weitgehenden Anspruch: „Note that the values Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \pm\infty} for an expectation have not been excluded as in any sense improper.“ Eine Seite später wird dann eine Beschränkung auf endliche Erwartungswerte durch die Annahme Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E(|X|) <\infty} vorgenommen und beibehalten. „This is a convenient restriction, on the whole, and we shall henceforth adopt it, unless the contrary is stated“ (S. 16).
  5. ↑ a b George Casella, Roger L. Berger: Statistical Inference. 2. Auflage. Duxbury, Pacific Grove 2002, ISBN 0-534-24312-6, S. 55.
  6. ↑ a b Olav Kallenberg: Foundations of Modern Probability (= Probability Theory and Stochastic Modelling. Band 99). 3. Auflage. Springer, Cham 2021, ISBN 978-3-03061870-4, S. 85.
  7. ↑ A. N. Širjaev: Wahrscheinlichkeit (= Hochschulbücher für Mathematik. Band 91). VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1988, ISBN 3-326-00195-9, S. 192–193.
  8. ↑ Patrick Billingsley: Probability and Measure. 3. Auflage. Wiley, New York 1995, ISBN 0-471-00710-2, S. 273.
  9. ↑ David Meintrup, Stefan Schäffler: Stochastik – Theorie und Anwendungen. Springer, Berlin / Heidelberg / New York 2005, ISBN 3-540-21676-6, S. 92, 99.
  10. ↑ Erhan Çinlar: Probability and Stochastics (= Graduate Texts in Mathematics. Band 261). Springer, Dordrecht / Heidelberg / London 2011, ISBN 978-0-387-87858-4, S. 57, doi:10.1007/978-0-387-87859-1.
  11. ↑ Klaus D. Schmidt: Maß und Wahrscheinlichkeit. 2., durchgesehene Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg 2011, ISBN 978-3-642-21025-9, S. 298.
  12. ↑ A. N. Širjaev: Wahrscheinlichkeit (= Hochschulbücher für Mathematik. Band 91). VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1988, ISBN 3-326-00195-9, S. 192.
  13. ↑ A. N. Širjaev: Wahrscheinlichkeit (= Hochschulbücher für Mathematik. Band 91). VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1988, ISBN 3-326-00195-9, S. 193, Definition 2.
  14. ↑ A. N. Širjaev: Wahrscheinlichkeit (= Hochschulbücher für Mathematik. Band 91). VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1988, ISBN 3-326-00195-9, S. 193, Bemerkung 2.
  15. ↑ A. N. Širjaev: Wahrscheinlichkeit (= Hochschulbücher für Mathematik. Band 91). VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1988, ISBN 3-326-00195-9, S. 193, Definition 3.
  16. ↑ David Meintrup, Stefan Schäffler: Stochastik – Theorie und Anwendungen. Springer, Berlin / Heidelberg / New York 2005, ISBN 3-540-21676-6, S. 92, 99.
  17. ↑ Horst Rinne: Taschenbuch der Statistik. 4. Auflage. Harri Deutsch, Frankfurt am Main 2008, ISBN 978-3-8171-1827-4, S. 190.

Der Begriff ‚Existenz‘ in mathematischen Artikeln

  • Im Artikel zum Grenzwert einer Funktion werden die Begriffe ‚existiert‘ und ‚Existenz‘ häufig (16-mal) verwendet. Oberflächlich betrachtet sieht es so aus, als würde ‚existiert‘ konsistent im Sinn von ‚existiert als reelle‘ Zahl verwendet. Aber im Abschnitt ‚Grenzwertsätze‘ wird dann ‚existiert‘ im Sinn von ‚existiert als erweiterte reelle Zahl‘ verwendet. Die Tabelle ‚Beispiele‘ suggeriert ebenfalls eine Verwendung im zweiten Sinn.
  • Im Abschnitt ‚Rechenregeln‘ des Artikels zum Grenzwert einer Folge bedeutet die Existenz eines Grenzwertes die Existenz als reelle Zahl.
  • Der Abschnitt ‚Mathematik/Logik‘ im Artikel Existenz ist nicht hilfreich, da die Formulierungen zu vage sind: ‚explizit angegeben‘ ist nicht inhaltlich gefüllt. Es genügt auch nicht, ein Objekt definitorisch auf existierende Objekte zurückzuführen, da z. B. in einer Definition zwei Eigenschaften verlangt werden können, die jede für sich erfüllbar ist, aber zusammen eine Widerspruch erzeugen.
  • Wenn es um Existenz als Zahl geht, sollte systematisch zwischen ‚Existenz‘ und ‚Existenz im weiteren Sinn‘ unterschieden werden. Die ‚Existenz im weiteren Sinn‘ könnte auch als ‚erweiterte Existenz‘ (in Anlehnung an die erweiterten reellen Zahlen) oder als ‚Quasiexistenz‘ (in Anlehnung an die Unterscheidung integrierbar versus quasiintegrierbar) bezeichnet werden.

Zur Existenz von Gleichungslösungen

  • Die Gleichung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x = x + 1} hat keine Lösung in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R} , aber die beiden Lösungen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -\infty} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle +\infty} in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \bar\R} . Die Gleichung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x^2 + 4 = 0} hat keine Lösung in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R} , aber die beiden Lösungen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 2\mathrm{i}} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle -2\mathrm{i}} in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \C} . Die ‚Existenz einer Lösung‘ muss also immer relativ zum Bereich der zugelassenen Objekte gesehen werden.

Existenz und Endlichkeit von Erwartungswerten und Momenten

  • Existenz eines Integral kann die Existenz im Sinn der Intergrierbarkeit (in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \bar\R} ) oder der Quaisintegrierbarkeit (in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R} ) bedeuten.
  • Existenz eines Momentes meint häufig die Endlichkeit eines Momentes (Existenz in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R} ).

'Existenz' bedeutet 'Existenz als reelle Zahl'

  • Für einige Autoren bedeutet 'der Erwartungswert von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} existiert', dass das mathematische Objekt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E[X]} definiert ist. Für andere Autoren heißt 'der Erwartungswert von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} existiert', dass der Erwartungswert von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} existiert als reelle Zahl existiert also endlich ist.
  • Für eine numerische Zufallsvariable Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} wird Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X^+ := \max(0,X)} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X^+ := \max(0,-X)} definiert. Die Erwartungswerte im weiteren Sinn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E[X^+] \in[0,\infty]} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E[X^-] \in[0,\infty]} sind dann definiert. Eine Festlegung ist: Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E[X] = E[X^+] - E[X^-]} existiert, falls Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E[X^+] < \infty} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E[X^-] < \infty } . Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E[X] = E[X^+] - E[X^-]} ist wohldefiniert (well defined), falls Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E[X^+] < \infty} oder Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E[X^-] < \infty } gilt.[1]
Einzelnachweise
  1. ↑ Alexandr A. Borovkov: Probability Theory. 5. Auflage. Springer-Verlag, London 2013, ISBN 978-1-4471-5200-2, S. 65–66.

Definition der bedingten Erwartung als Zufallsvariable

Typischerweise wird die bedingte Erwartung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E[X|\mathcal{G}]} gegeben eine Ereignis-σ-Algebra Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{G} \subseteq \mathcal{F}} nur für den Fall definiert, dass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E[X]} endlich ist (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} integrierbar ist), z. B. Billingsley (1995)[1], Shorack (2000)[2].

Es gibt aber einen etwas allgemeineren Ansatz, bei dem bedingte Erwartungswert unendlich sein können. Dies ergibt nur ein dann ein sinnvolles System, wenn gewöhnliche Erwartungswerte unendlich sein können und außerdem Erwartungswerte für erweiterte (numerische) Zufallsvariablen definiert, da der bedingte Erwartungswert eine erweiterte Zufallsvariable sein kann. Im Satz vom iterierten Erwartungswert,

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E[E[X|\mathcal{G}]] = E[X]} ,

steht dann auf der linken Seite der Erwartungswert einer erweiterten Zufallsvariablen und auf auf der rechten Seite der unendliche Erwartungswert einer Zufallsvariablen.

Beispiel

Betrachtet wird die diskrete Zufallsvariable Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} deren Wahrscheinlichkeitsverteilung durch die Wahrscheinlichkeiten

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(X=2^k)= \frac{1}{2^k} \quad\text{für }k=1,2,\dots }

festliegt. Es gilt Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E[X] = \infty} . Für das Ereignissystem Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{G} = \{\emptyset, \Omega, \{\omega\mid X(\omega) = 1\}, \{\omega\mid X(\omega) > 1\} \}} gilt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E[X|\mathcal{G}](\omega) = \begin{cases} 2 &\text{für } X(\omega) = 1 \\ \infty &\text{für }X(\omega) > 1 \end{cases} }

mit

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(E[X|\mathcal{G}] = 2) = P(E[X|\mathcal{G}] = \infty) = \frac{1}{2} } . Es gilt dann
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E[E[X|\mathcal{G}]] = \frac{1}{2}2 + \frac{1}{2}\infty = \infty = E[X]} .


Wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} eine nichtnegative Zufallsvariable mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E[X]=\infty} und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P(X \in [0,1]) > 0} ist, lässt sich zwar

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E[X|X \in [0,1]] = \frac{E[X\mathbf{1}_{[0,1]}(X)]}{P(X \in [0,1])}}

definieren, aber es gilt dann Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E[X|X \notin [0,1]] = \infty} . Für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{G} =\{\emptyset,\Omega,\{X \in [0,1]\}, \{X \notin [0,1]\} \}} lässt sich Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E[X|\mathcal{G}]} nur als erweiterte Zufallsvariable definieren.

Wenn beispielsweise Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} Cauchy-verteilt ist, gibt es weitere Einschränkungen. Es lässt sich zwar Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E[X|X \in [0,1]]} wie oben definieren, aber Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E[X|X \notin [0,1]]} kann nicht analog definiert werden, da für die Zufallsvariable Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Y = X\mathbf{1}_{\R \setminus[0,1]}(X)} sowohl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E[Y^+]= \infty} als auch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E[Y^-]= \infty} gilt. Somit lässt sich Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E[X|\mathcal{G}]} für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{G} =\{\emptyset,\Omega,\{X \in [0,1]\}, \{X \notin [0,1]\} \}} auch nicht als erweiterte Zufallsvariable definieren.

Das scheinbar allgemeinste Konzept einer bedingten Erwartung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E[X|\mathcal{G}]} als reelle Zufallsvariable oder als erweiterte Zufallsvariable enthält dann eine Einschränkung, wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E[X|G]} für einige Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle G \in \mathcal{G}} definiert werden kann und für andere nicht.

Existenz einer Zufallsvariablen als zufällige bedingte Erwartung

  1. „[...] und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \min(E(X_+ |\mathcal{B}), E(X_-|\mathcal{B}))} existiert“[3].
  2. „[...] d. h., der bedingte Erwartungswert Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E(X |\mathcal{B})} existiert.“[3]
Einzelnachweise
  1. ↑ Patrick Billingsley: Probability and Measure. 3. Auflage. Wiley, New York 1995, ISBN 0-471-00710-2, S. 445.
  2. ↑ Galen R. Shorack: Probability for Statisticians. Springer, New York 2000, ISBN 0-387-98953-6, S. 158 ff.
  3. ↑ a b Ludger Rüschendorf: Mathematische Statistik. Springer Spektrum, Berlin / Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-41996-6, S. 392.

Stetige Zufallsvariablen und Verteilungen

Eine reelle Zufallsvariable Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} mit der Verteilungsfunktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F_X} und der Verteilung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P_X} heißt genau dann stetig, wenn Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F_X} absolut stetig ist.

  • Eine reelle Zufallsvariable mit stetiger Verteilungsfunktion ist nicht notwendig stetig im Sinn dieser Definition.
  • Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F_X} ist genau dann absolut stetig, falls Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P_X} als Maß absolut stetig bezüglich des Lebesgue-Maßes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda} ist, wenn also
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \lambda(A) = 0 \implies P_X(A) = 0}
gilt.
  • Für eine stetige reelle Zufallsvariable existiert eine Dichtefunktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f_X} mit
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F_X(x) = \int_{-\infty}^x f_X(u) \mathrm{d}\lambda(u)} .
  • Für praktisch relevante Fälle existiert eine Dichtefunktion, die uneigentlich Riemann-integrierbar ist, so dass
Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F_X(x) = \int_{-\infty}^x f_X(u) \mathrm{d}u} .
  • Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P_X} heißt stetig, falls die Verteilungsfunktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F_X} stetig ist.
  • Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P_X} ist genau dann stetig, wenn es keine Stelle Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle P_X(\{x\}) > 0} .
  • In maßtheoretischer Terminologie wird zwischen einer absolut-stetigen und einer stetigen Verteilungen unterschieden, wobei alle absolut-stetigen Verteilungen erst recht stetig sind.
  • Manchmal wird in der Wahrscheinlichkeitstheorie von absolut-stetigen Zufallsvariablen gesprochen, wenn deren Verteilungsfunktion absolut-stetig ist. Die ergibt zwar ein konsistentere Bezeichnungsweise, ist aber nicht der seit einigen Jahrzehnten in der Statistik verwendeten Terminologie verträglich.

Indizierung versus Parametrisierung

„Unter einer Parametrisierung einer Klasse Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathfrak{P} \subset \mathfrak{M}^1(\mathfrak{X},\mathfrak{B})} verstehen wir demgemäß eine bijektive [!] Abbildung von einem Parameterraum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Theta} auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathfrak{P}} .“[1] Dabei bezeichnet Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathfrak{M}^1(\mathfrak{X},\mathfrak{B})} die „Klasse [...] aller WS-Maße [Wahrscheinlichkeitsmaße] über Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\mathfrak{X},\mathfrak{B})} “[2] Eine Verteilungsklasse Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathfrak{P} = \{ P_\theta \mid \theta \in \Theta \}} ist also nicht einfach eine durch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Theta} indizierte Verteilungsmenge, sondern erfüllt

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \theta_1 \neq \theta_2 \implies P_{\theta_1} \neq P_{\theta_2}. }
Einzelnachweise
  1. ↑ Hermann Witting: Mathematische Statistik I. Parametrische Verfahren bei festem Stichprobenumfang. Teubner, Stuttgart 1985, ISBN 3-519-02026-2, S. 5.
  2. ↑ Hermann Witting: Mathematische Statistik I. Parametrische Verfahren bei festem Stichprobenumfang. Teubner, Stuttgart 1985, ISBN 3-519-02026-2, S. 4.

Stichprobe, Stichprobenvariable und Stichprobenraum

In der Statistik werden reelle Zufallsvariablen und Zufallsvektoren ohne explizite Angabe des Urbildraums (zugrundeliegenden Wahrscheinlichkeitsraumes) Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\Omega,\Sigma,P)} und der Abbildungsvorschrift Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X(\cdot)} betrachtet.[1] Der meßbare Raum Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (\Omega', \Sigma')} , in dem die Zufallsvariable oder der Zufallsvektor Werte annimmt, heißt Stichprobenraum.[2] Das Bildwahrscheinlichkeitsmaß von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} heißt Verteilung von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} . Eine Realisierung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X} heißt Stichprobe.

Die Komponenten eines n-dimensionalen Zufallsvektors Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{X} = (X_1,\ldots,X_n)} heißen Stichprobenvariablen. Der Bildbereich Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbf{X}(\Omega)} heißt auch Stichprobenraum.

Einzelnachweise
  1. ↑ Hermann Witting: Mathematische Statistik I. Parametrische Verfahren bei festem Stichprobenumfang. Teubner, Stuttgart 1985, ISBN 3-519-02026-2, S. 4.
  2. ↑ Hermann Witting: Mathematische Statistik I. Parametrische Verfahren bei festem Stichprobenumfang. Teubner, Stuttgart 1985, ISBN 3-519-02026-2, S. 4.

Multivariate Standardnormalverteilung

Ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{N}(\mathbf{0},\mathbf{\Sigma})} eine multivariate Standardnormalverteilung, falls die eindimensionalen Randverteilungen Standardnormalverteilungen sind, oder – spezieller –, falls Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Sigma} eine Einheitsmatrix ist?

„Die Verteilung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm{N}(\mathbf{0},\mathbf{I})} wird als (multivariate) Standardnormal-Verteilung bezeichnet.“[1]

Einzelnachweise
  1. ↑ Klaus D. Schmidt: Maß und Wahrscheinlichkeit. 2., durchgesehene Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg 2011, ISBN 978-3-642-21025-9, S. 298.

Numerische Zufallsvariable

Der Begriff numerische Zufallsvariable für eine Zufallsvariable mit Werten in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \bar\R} (eine erweiterte Zufallsvariable) und ist eine Analogbildung zu numerische Funktion als Bezeichnung für eine Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \bar\R} -wertige Funktion. In der deutschsprachigen maßtheoretischen Literatur ist die Bezeichnung numerische Funktion für eine Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \bar\R} -wertige Funktion mehrfach zu finden und geht vermutlich auf Bauer (1964)[1] zurück. Diese Bezeichnung ist aber möglicherweise auf den deutschen Sprachraum beschränkt.

  • In der englischsprachigen Wikipedia leitet numerical function auf real-valued function weiter.
  • Im englischen Sprachraum ist eine numerical-valued random variable eine skalare oder vektorwertige Zufallsvariable mit Werten in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R} oder Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R^n} .
  • Im Französischen ist eine fonction numérique eine Funktion mit Werten in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \R} . Die Terminologie scheint auf Bourbaki zurückzugehen.

Einzelnachweise

  1. ↑ Heinz Bauer: Wahrscheinlichkeitstheorie und Grundzüge der Maßtheorie (= Sammlung Göschen. 1216/1216a). Band 1. Walter de Gruyter, Berlin 1964, S. 11. „Das Symbol Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f\colon A \to B} bedeutet, dass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f} eine Abbildung der Menge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A} in die Menge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B} ist. Im Spezialfall Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B = \R} bzw. Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B = \bar\R} soll von einer reellen bzw. numerischen Funktion gesprochen werden.“
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