Benutzer:Sigma^2/Statistische Notation

Zufallsvariable und Zufallsgröße

Es gibt unterschiedliche Bezeichnungssysteme für Zufallsgrößen und -variablen als messbare Abbildungen von einem Wahrscheinlichkeitsraum in einen Messraum.

Deutschsprachige Bezeichnungen

Bezeichnungssysteme für Zufallsgrößen und -variablen

Oberbegriff (Abbildung in einen allgemeinen Messraum)	Werte in $\mathbb {R}$	Werte in ${\bar {\mathbb {R} }}$	Werte in $\mathbb {R} ^{n}$	Quellen
Zufallsvariable, Zufallsgröße, zufällige Größe	reelle Zufallsvariable	erweiterte Zufallsvariable, numerische Zufallsvariable	mehrdimensionale Zufallsvariable, Zufallsvektor	Wikipedia (deutschsprachig)
Zufallsvariable	reelle Zufallsvariable, Zufallsvariable		Zufallsvektor	Klenke (2020)
	Zufallsgröße, zufällige Größe, Zufallsvariable			Bewersdorff (2018)
Zufallsvariable	reelle Zufallsvariable	erweiterte Zufallsvariable, numerische Zufallsvariable	zufälliger Vektor, Zufallsvektor	Lexikon der Mathematik (2017)
Zufallsgröße	reelle Zufallsvariable	Zufallsvariable	Zufallsvektor	Schmidt (2011)
	(eindimensionale) Zufallsvariable		n-dimensionale Zufallsvariable, vektorielle Zufallsvariable, mehrdimensionale Zufallsvariable	Taschenbuch der Statistik (2008)
Zufallsvariable	reelle Zufallsvariable	numerische Zufallsvariable	n-dimensionale Zufallsvariable	Meintrup/Schäffler (2005)
Zufallsvariable	reelle Zufallsvariable	numerische Zufallsvariable	n-dimensionale Zufallsvariable, $\mathbb {R} ^{n}$-wertige Zufallsvariable	Bauer (2002)
zufällige Variable, zufälliges Element, zufällige Veränderliche	Zufallsgröße		zufälliger Vektor, Zufallsvektor	Lexikon der Stochastik (1991)
zufälliges Element, $(\cdot )$-wertige zufällige Größe	zufällige Größe	erweiterte zufällige Größe	n-dimensionaler zufälliger Vektor	Širjaev(1988)
Zufallsgröße	$\mathbb {R}$-wertige Zufallsgröße		n-dimensionale Zufallsgröße	Witting (1985)
	zufällige Variable	numerische zufällige Variable	Zufallsvektor, zufälliger Vektor	Gänssler/Stute (1977)

Die deutschsprachige Wikipedia enthält im Artikel Zufallsvariable – ohne Nachweis – die Begriffe Zufallsveränderliche, stochastische Variable und stochastische Größe. Hierbei handelt es sich entweder um Ad-Hoc-Erfindungen denkbarer Synonyme durch einen Wikipedia-Autor oder um Ad-Hoc-Erfindungen in nichtwissenschaftlicher Literatur.

Als Beleg für den Begriff zufällige Größe und weitere wahrscheinlichkeitstheoretische Zusammenhänge wird (Stand: 5. September 2022) ein populärwissenschaftliches Buch angeführt. Dort wird durchgängig der Begriff Zufallsgröße verwendet und nur einmal zufällige Größe als mögliches Synonym verwendet.

Einzelnachweise

Englischsprachige Bezeichnungen

Englischsprachige Bezeichnungen für Zufallsgrößen und -variablen

Oberbegriff (messbare Abbildung von einem Wahrscheinlichkeitsraum in einen Messraum)	Werte in $\mathbb {R}$	Werte in ${\bar {\mathbb {R} }}$	Werte in $\mathbb {R} ^{n}$	Quellen
random element, random variable	real-valued random variable		multivariate random variable, random vector	engl. Wikipedia
random element	random variable		random vector	Kallenberg (2021)
	random variable		random vector	Proschan/Shaw (2016)
	random variable		random vector	Loève (1977)

Einzelnachweise

Zur Definition des Erwartungswertes

In einer engeren Definition wird der Erwartungswert einer reellen Zufallsvariablen ($X(\Omega )\subseteq \mathbb {R}$) als reelle Zahl, $E[X]\in \mathbb {R}$, definiert. In einer weiteren Definition wird der Erwartungswert einer reellen Zufallsvariablen als erweiterte reelle Zahl, $E[X]\in \mathbb {R} :={\bar {\mathbb {R} }}\cup \{-\infty ,+\infty \}$, definiert. Die nächste Erweiterung besteht darin, den Erwartungswert auch für erweiterte Zufallsvariablen ($X(\Omega )\subseteq {\bar {\mathbb {R} }}$) als erweiterte reelle Zahl ($E[X]\in {\bar {\mathbb {R} }}$) zu definieren. In anwendungsnahen Publikationen sind häufig unscharfe oder unvollständige Definitionen zu finden.

Unterschiedlich weite Konzepte des Erwartungswertes

Erwartungswert für reelle Zufallsvariable als reelle Zahl (in $\mathbb {R}$)	Doob (1953), Feller (1968), Lexikon der Stochastik (1991), Whittle (2000), Casella/Berger (2002), Kallenberg (2021)
Erwartungswert für reelle Zufallsvariable als erweiterte reelle Zahl (in ${\bar {\mathbb {R} }}$)	Širjaev (1988), Billingsley (1995), Meintrup/Schäffler (2005)
Erwartungswert für erweiterte Zufallsvariable als erweiterte reelle Zahl (in ${\bar {\mathbb {R} }}$)	Çinlar (2011), Schmidt (2011)

Erwartungswert einer reellen Zufallsvariablen als reelle Zahl

„Als Erwartungswert (Mittelwert) der Zufallsgröße $X$ mit der Verteilungsfunktion $F_{X}$ bezeichnet man die Größe

$\mu ={\mathsf {E}}X:=\int _{-\infty }^{\infty }x\mathrm {d} F_{X}(x),\quad {\text{falls }}\int _{-\infty }^{\infty }|x|\mathrm {d} F_{X}(x)<\infty$

ist. Man sagt dann auch, es existiert der Erwartungswert ${\mathsf {E}}X$ der Zufallsgröße $X$, oder, die Zufallsgröße $X$ besitzt den Erwartungswert ${\mathsf {E}}X$.“

Definitionen des Erwartungswertes als reelle Zahl lassen sich in vielen Statistikbüchern, aber auch in wahrscheinlichkeitstheoretischen Standardwerken finden.

Erwartungswert einer reellen Zufallsvariablen als erweiterte reelle Zahl

Definition

• „[...] schließen wir auf die Existenz des Grenzwertes $\lim _{n}\mathbf {M} \xi _{n}$, der auch den Wert $+\infty$ annehmen kann.“
• „[...] Man sagt, dass der Erwartungswert $\mathbf {M} \xi$ der zufälligen Größe $\xi$ existiert (oder daß er definiert ist), falls mindestens eine der Größen $\mathbf {M} \xi ^{+}$ oder $\mathbf {M} \xi ^{-}$ endlich ist [...] In diesem Fall setzt man nach Definition $\mathbf {M} \xi =\mathbf {M} \xi ^{+}-\mathbf {M} \xi ^{-}$.“
• „[...] Neben dem Erwartungswert $\mathbf {M} \xi$ sind auch die Größen $\mathbf {M} \xi ^{r}$ (falls sie existieren) und $\mathbf {M} |\xi |^{r},r>0$ [die immer existieren, siehe oben], wichtige zahlenmäßige Charakteristika einer zufälligen Größe $\xi$. Sie heißen Momente r-ter Ordnung bzw. absolute Momente r-ter Ordnung (r-te Momente) der zufälligen Größe $\xi$.“
• „Man sagt, daß der Erwartungswert der zufälligen Größe $\xi$ endlich ist, falls sowohl $\mathbf {M} \xi ^{-}<\infty$ als auch $\mathbf {M} \xi ^{+}<\infty$ erfüllt ist.“

Analoge Definitionen lassen sich in vielen Büchern zur Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik finden.

Zur Interpretation eines unendlichen Erwartungswert

Es sei $X$ eine reelle Zufallsvariable mit dem Erwartungswert $E[X]=+\infty$, dann gilt $X<E[X]$ (in dem üblichen Sinn, dass $X(\omega )<E[X]$ für alle $\omega \in \Omega$ gilt). Da alle Realisierungen von $X$ kleiner als der Erwartungswert sind, ist in diesem Fall die Interpretation des Erwartungswertes als 'Mittelwert' äußerst fragwürdig und führt zu einer falschen Intuition. Anders als bei einem endlichen Erwartungswert realisiert sich der Erwartungswert nicht 'im Mittel'. Für stochastisch unabhängige und identisch verteilte Stichprobenvariablen $X_{1},\dots ,X_{n}$ mit der Verteilung von $X$ gilt

${\bar {X}}_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}\leq \max(X_{1},\dots ,X_{n})<E[X]\quad {\text{für alle }}n\in \mathbb {N}$.

Dies zeigt, dass auch 'für große Stichprobenumfänge' die frequentistische Interpretation eines Erwartungswertes, nämlich $E[X]\approx {\bar {X}}_{n}$, problematisch ist.

Erwartungswert einer erweiterten Zufallsvariablen als erweiterte reelle Zahl

Wenn man für den Erwartungswert die Werte zulässt, also die Definition eines Erwartungswertes im weiteren Sinn verwendet, dann führt dies zwangsläufig dazu, dass das Konzept der bedingten Erwartung als Zufallsvariable zu einer erweiterten Zufallsvariable führen kann. In der Literatur wird damit nicht einheitlich verfahren. Teils wird die bedingte Erwartung nür für Zufallsvariablen mit endlichem Erwartungswert definiert, teils wird der Erwartungswert auch für erweiterte Zufallsvariablen definiert.

Unscharfe Definitionen des Erwartungswertes

„Es heißt

$E(g(X)):={\begin{cases}\sum _{i}g(x_{i})P_{i}\\\int _{-\infty }^{\infty }g(x)f(x)\mathrm {d} x,\end{cases}}$

sofern existent, der Erwartungswert [expectation] von $g(X)$. Speziell heißt

$\mu :=E(X)={\begin{cases}\sum _{i}x_{i}P_{i}\\\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)\mathrm {d} x\end{cases}}$

der Erwartungswert von $X$ [...]“

Die Definition ist unvollständig, da sie nur zwei Spezialfälle abdeckt. Sie enthält mit der Einschränkung „sofern existent“ eine nicht erklärte Unschärfe. Die Verwendung des Symbols $\mu$ und danach angegebene Rechenregeln, die endliche Erwartungswerte voraussetzen, sind Indizen dafür, dass nur endliche Erwartungswert gemeint sind und die Einschränkung „sofern existent“ vermutlich heißen soll, „als reelle Zahl existent“.

Einzelnachweise

Der Begriff ‚Existenz‘ in mathematischen Artikeln

• Im Artikel zum Grenzwert einer Funktion werden die Begriffe ‚existiert‘ und ‚Existenz‘ häufig (16-mal) verwendet. Oberflächlich betrachtet sieht es so aus, als würde ‚existiert‘ konsistent im Sinn von ‚existiert als reelle‘ Zahl verwendet. Aber im Abschnitt ‚Grenzwertsätze‘ wird dann ‚existiert‘ im Sinn von ‚existiert als erweiterte reelle Zahl‘ verwendet. Die Tabelle ‚Beispiele‘ suggeriert ebenfalls eine Verwendung im zweiten Sinn.
• Im Abschnitt ‚Rechenregeln‘ des Artikels zum Grenzwert einer Folge bedeutet die Existenz eines Grenzwertes die Existenz als reelle Zahl.
• Der Abschnitt ‚Mathematik/Logik‘ im Artikel Existenz ist nicht hilfreich, da die Formulierungen zu vage sind: ‚explizit angegeben‘ ist nicht inhaltlich gefüllt. Es genügt auch nicht, ein Objekt definitorisch auf existierende Objekte zurückzuführen, da z. B. in einer Definition zwei Eigenschaften verlangt werden können, die jede für sich erfüllbar ist, aber zusammen eine Widerspruch erzeugen.
• Wenn es um Existenz als Zahl geht, sollte systematisch zwischen ‚Existenz‘ und ‚Existenz im weiteren Sinn‘ unterschieden werden. Die ‚Existenz im weiteren Sinn‘ könnte auch als ‚erweiterte Existenz‘ (in Anlehnung an die erweiterten reellen Zahlen) oder als ‚Quasiexistenz‘ (in Anlehnung an die Unterscheidung integrierbar versus quasiintegrierbar) bezeichnet werden.

Zur Existenz von Gleichungslösungen

• Die Gleichung $x=x+1$ hat keine Lösung in $\mathbb {R}$, aber die beiden Lösungen $-\infty$ und $+\infty$ in ${\bar {\mathbb {R} }}$. Die Gleichung $x^{2}+4=0$ hat keine Lösung in $\mathbb {R}$, aber die beiden Lösungen $2\mathrm {i}$ und $-2\mathrm {i}$ in $\mathbb {C}$. Die ‚Existenz einer Lösung‘ muss also immer relativ zum Bereich der zugelassenen Objekte gesehen werden.

Existenz und Endlichkeit von Erwartungswerten und Momenten

• Existenz eines Integral kann die Existenz im Sinn der Intergrierbarkeit (in ${\bar {\mathbb {R} }}$) oder der Quaisintegrierbarkeit (in $\mathbb {R}$) bedeuten.
• Existenz eines Momentes meint häufig die Endlichkeit eines Momentes (Existenz in $\mathbb {R}$).

'Existenz' bedeutet 'Existenz als reelle Zahl'

• Für einige Autoren bedeutet 'der Erwartungswert von $X$ existiert', dass das mathematische Objekt $E[X]$ definiert ist. Für andere Autoren heißt 'der Erwartungswert von $X$ existiert', dass der Erwartungswert von $X$ existiert als reelle Zahl existiert also endlich ist.
• Für eine numerische Zufallsvariable $X$ wird $X^{+}:=\max(0,X)$ und $X^{+}:=\max(0,-X)$ definiert. Die Erwartungswerte im weiteren Sinn $E[X^{+}]\in [0,\infty ]$ und $E[X^{-}]\in [0,\infty ]$ sind dann definiert. Eine Festlegung ist: $E[X]=E[X^{+}]-E[X^{-}]$ existiert, falls $E[X^{+}]<\infty$ und $E[X^{-}]<\infty$. $E[X]=E[X^{+}]-E[X^{-}]$ ist wohldefiniert (well defined), falls $E[X^{+}]<\infty$ oder $E[X^{-}]<\infty$ gilt.

Einzelnachweise

Definition der bedingten Erwartung als Zufallsvariable

Typischerweise wird die bedingte Erwartung $E[X|{\mathcal {G}}]$ gegeben eine Ereignis-σ-Algebra ${\mathcal {G}}\subseteq {\mathcal {F}}$ nur für den Fall definiert, dass $E[X]$ endlich ist ($X$ integrierbar ist), z. B. Billingsley (1995), Shorack (2000).

Es gibt aber einen etwas allgemeineren Ansatz, bei dem bedingte Erwartungswert unendlich sein können. Dies ergibt nur ein dann ein sinnvolles System, wenn gewöhnliche Erwartungswerte unendlich sein können und außerdem Erwartungswerte für erweiterte (numerische) Zufallsvariablen definiert, da der bedingte Erwartungswert eine erweiterte Zufallsvariable sein kann. Im Satz vom iterierten Erwartungswert,

$E[E[X|{\mathcal {G}}]]=E[X]$,

steht dann auf der linken Seite der Erwartungswert einer erweiterten Zufallsvariablen und auf auf der rechten Seite der unendliche Erwartungswert einer Zufallsvariablen.

Beispiel

Betrachtet wird die diskrete Zufallsvariable $X$ deren Wahrscheinlichkeitsverteilung durch die Wahrscheinlichkeiten

$P(X=2^{k})={\frac {1}{2^{k}}}\quad {\text{für }}k=1,2,\dots$

festliegt. Es gilt $E[X]=\infty$. Für das Ereignissystem ${\mathcal {G}}=\{\emptyset ,\Omega ,\{\omega \mid X(\omega )=1\},\{\omega \mid X(\omega )>1\}\}$ gilt

$E[X|{\mathcal {G}}](\omega )={\begin{cases}2&{\text{für }}X(\omega )=1\\\infty &{\text{für }}X(\omega )>1\end{cases}}$

mit

$P(E[X|{\mathcal {G}}]=2)=P(E[X|{\mathcal {G}}]=\infty )={\frac {1}{2}}$. Es gilt dann

$E[E[X|{\mathcal {G}}]]={\frac {1}{2}}2+{\frac {1}{2}}\infty =\infty =E[X]$.

Wenn $X$ eine nichtnegative Zufallsvariable mit $E[X]=\infty$ und $P(X\in [0,1])>0$ ist, lässt sich zwar

$E[X|X\in [0,1]]={\frac {E[X\mathbf {1} _{[0,1]}(X)]}{P(X\in [0,1])}}$

definieren, aber es gilt dann $E[X|X\notin [0,1]]=\infty$. Für ${\mathcal {G}}=\{\emptyset ,\Omega ,\{X\in [0,1]\},\{X\notin [0,1]\}\}$ lässt sich $E[X|{\mathcal {G}}]$ nur als erweiterte Zufallsvariable definieren.

Wenn beispielsweise $X$ Cauchy-verteilt ist, gibt es weitere Einschränkungen. Es lässt sich zwar $E[X|X\in [0,1]]$ wie oben definieren, aber $E[X|X\notin [0,1]]$ kann nicht analog definiert werden, da für die Zufallsvariable $Y=X\mathbf {1} _{\mathbb {R} \setminus [0,1]}(X)$ sowohl $E[Y^{+}]=\infty$ als auch $E[Y^{-}]=\infty$ gilt. Somit lässt sich $E[X|{\mathcal {G}}]$ für ${\mathcal {G}}=\{\emptyset ,\Omega ,\{X\in [0,1]\},\{X\notin [0,1]\}\}$ auch nicht als erweiterte Zufallsvariable definieren.

Das scheinbar allgemeinste Konzept einer bedingten Erwartung $E[X|{\mathcal {G}}]$ als reelle Zufallsvariable oder als erweiterte Zufallsvariable enthält dann eine Einschränkung, wenn $E[X|G]$ für einige $G\in {\mathcal {G}}$ definiert werden kann und für andere nicht.

Existenz einer Zufallsvariablen als zufällige bedingte Erwartung

1. „[...] und $\min(E(X_{+}|{\mathcal {B}}),E(X_{-}|{\mathcal {B}}))$ existiert“.
2. „[...] d. h., der bedingte Erwartungswert $E(X|{\mathcal {B}})$ existiert.“

Einzelnachweise

Stetige Zufallsvariablen und Verteilungen

Eine reelle Zufallsvariable $X$ mit der Verteilungsfunktion $F_{X}$ und der Verteilung $P_{X}$ heißt genau dann stetig, wenn $F_{X}$ absolut stetig ist.

• Eine reelle Zufallsvariable mit stetiger Verteilungsfunktion ist nicht notwendig stetig im Sinn dieser Definition.
• $F_{X}$ ist genau dann absolut stetig, falls $P_{X}$ als Maß absolut stetig bezüglich des Lebesgue-Maßes $\lambda$ ist, wenn also

$\lambda (A)=0\implies P_{X}(A)=0$

gilt.

• Für eine stetige reelle Zufallsvariable existiert eine Dichtefunktion $f_{X}$ mit

$F_{X}(x)=\int _{-\infty }^{x}f_{X}(u)\mathrm {d} \lambda (u)$.

• Für praktisch relevante Fälle existiert eine Dichtefunktion, die uneigentlich Riemann-integrierbar ist, so dass

$F_{X}(x)=\int _{-\infty }^{x}f_{X}(u)\mathrm {d} u$.

• Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung $P_{X}$ heißt stetig, falls die Verteilungsfunktion $F_{X}$ stetig ist.
• $P_{X}$ ist genau dann stetig, wenn es keine Stelle $x$ mit $P_{X}(\{x\})>0$.
• In maßtheoretischer Terminologie wird zwischen einer absolut-stetigen und einer stetigen Verteilungen unterschieden, wobei alle absolut-stetigen Verteilungen erst recht stetig sind.
• Manchmal wird in der Wahrscheinlichkeitstheorie von absolut-stetigen Zufallsvariablen gesprochen, wenn deren Verteilungsfunktion absolut-stetig ist. Die ergibt zwar ein konsistentere Bezeichnungsweise, ist aber nicht der seit einigen Jahrzehnten in der Statistik verwendeten Terminologie verträglich.

Indizierung versus Parametrisierung

„Unter einer Parametrisierung einer Klasse ${\mathfrak {P}}\subset {\mathfrak {M}}^{1}({\mathfrak {X}},{\mathfrak {B}})$ verstehen wir demgemäß eine bijektive [!] Abbildung von einem Parameterraum $\Theta$ auf ${\mathfrak {P}}$.“ Dabei bezeichnet ${\mathfrak {M}}^{1}({\mathfrak {X}},{\mathfrak {B}})$ die „Klasse [...] aller WS-Maße [Wahrscheinlichkeitsmaße] über $({\mathfrak {X}},{\mathfrak {B}})$“ Eine Verteilungsklasse ${\mathfrak {P}}=\{P_{\theta }\mid \theta \in \Theta \}$ ist also nicht einfach eine durch $\Theta$ indizierte Verteilungsmenge, sondern erfüllt

$\theta _{1}\neq \theta _{2}\implies P_{\theta _{1}}\neq P_{\theta _{2}}.$

Einzelnachweise

Stichprobe, Stichprobenvariable und Stichprobenraum

In der Statistik werden reelle Zufallsvariablen und Zufallsvektoren ohne explizite Angabe des Urbildraums (zugrundeliegenden Wahrscheinlichkeitsraumes) $(\Omega ,\Sigma ,P)$ und der Abbildungsvorschrift $X(\cdot )$ betrachtet. Der meßbare Raum $(\Omega ',\Sigma ')$, in dem die Zufallsvariable oder der Zufallsvektor Werte annimmt, heißt Stichprobenraum. Das Bildwahrscheinlichkeitsmaß von $X$ heißt Verteilung von $X$. Eine Realisierung $x$ von $X$ heißt Stichprobe.

Die Komponenten eines n-dimensionalen Zufallsvektors $\mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{n})$ heißen Stichprobenvariablen. Der Bildbereich $\mathbf {X} (\Omega )$ heißt auch Stichprobenraum.

Einzelnachweise

Multivariate Standardnormalverteilung

Ist $\mathrm {N} (\mathbf {0} ,\mathbf {\Sigma } )$ eine multivariate Standardnormalverteilung, falls die eindimensionalen Randverteilungen Standardnormalverteilungen sind, oder – spezieller –, falls $\Sigma$ eine Einheitsmatrix ist?

„Die Verteilung $\mathrm {N} (\mathbf {0} ,\mathbf {I} )$ wird als (multivariate) Standardnormal-Verteilung bezeichnet.“

Einzelnachweise

Numerische Zufallsvariable

Der Begriff numerische Zufallsvariable für eine Zufallsvariable mit Werten in ${\bar {\mathbb {R} }}$ (eine erweiterte Zufallsvariable) und ist eine Analogbildung zu numerische Funktion als Bezeichnung für eine ${\bar {\mathbb {R} }}$-wertige Funktion. In der deutschsprachigen maßtheoretischen Literatur ist die Bezeichnung numerische Funktion für eine ${\bar {\mathbb {R} }}$-wertige Funktion mehrfach zu finden und geht vermutlich auf Bauer (1964) zurück. Diese Bezeichnung ist aber möglicherweise auf den deutschen Sprachraum beschränkt.

• In der englischsprachigen Wikipedia leitet numerical function auf real-valued function weiter.
• Im englischen Sprachraum ist eine numerical-valued random variable eine skalare oder vektorwertige Zufallsvariable mit Werten in $\mathbb {R}$ oder $\mathbb {R} ^{n}$.
• Im Französischen ist eine fonction numérique eine Funktion mit Werten in $\mathbb {R}$. Die Terminologie scheint auf Bourbaki zurückzugehen.

Einzelnachweise