(11,5,2)-Blockplan
Der (11,5,2)-Blockplan ist ein spezieller symmetrischer Blockplan. Um ihn konstruieren zu können, musste dieses kombinatorische Problem gelöst werden: eine leere 11×11-Matrix wurde so mit Einsen gefüllt, dass jede Zeile der Matrix genau 5 Einsen enthält und je zwei beliebige Zeilen genau 2 Einsen in der gleichen Spalte besitzen (nicht mehr und nicht weniger). Das klingt relativ einfach, ist aber nicht trivial zu lösen. Es gibt nur gewisse Kombinationen von Parametern (wie hier v = 11, k = 5, λ = 2), für die eine solche Konstruktion überhaupt machbar ist. In dieser Übersicht sind die kleinsten solcher (v,k,λ) aufgeführt.
Bezeichnung
Dieser symmetrische 2-(11,5,2)-Blockplan wird Biplane der Ordnung 3 genannt. Gleichzeitig ist er der Hadamard-Blockplan der Ordnung 3.
Eigenschaften
Dieser symmetrische Blockplan hat die Parameter v = 11, k = 5, λ = 2 und damit folgende Eigenschaften:
- Er besteht aus 11 Blöcken und 11 Punkten.
- Jeder Block enthält genau 5 Punkte.
- Je 2 Blöcke schneiden sich in genau 2 Punkten.
- Jeder Punkt liegt auf genau 5 Blöcken.
- Je 2 Punkte sind durch genau 2 Blöcke verbunden.
Existenz und Charakterisierung
Es existiert (bis auf Isomorphie) genau ein 2-(11,5,2)-Blockplan[1][2]. Er ist selbstdual und hat die Signatur 11·40 sowie die λ-chains 66·5. Er enthält 55 Ovale der Ordnung 3.
Liste der Blöcke
Hier sind alle Blöcke dieses Blockplans aufgelistet; zum Verständnis dieser Liste siehe diese Veranschaulichung
1 2 3 4 5 1 2 6 7 8 1 3 6 9 10 1 4 7 9 11 1 5 8 10 11 2 3 8 9 11 2 4 6 10 11 2 5 7 9 10 3 4 7 8 10 3 5 6 7 11 4 5 6 8 9
Inzidenzmatrix
Dies ist eine Darstellung der Inzidenzmatrix dieses Blockplans; zum Verständnis dieser Matrix siehe diese Veranschaulichung
O O O O O . . . . . . O O . . . O O O . . . O . O . . O . . O O . O . . O . . O . O . O O . . . O . . O . O O . O O . . . . O O . O . O . O . O . . . O O . O . . O . O . O O . . . O O . . O O . O . . . O . O O O . . . O . . . O O O . O O . .
Zyklische Darstellung
Es existiert eine zyklische Darstellung (Singer-Zyklus) dieses Blockplans, sie ist isomorph zur obigen Liste der Blöcke. Ausgehend von dem dargestellten Block erhält man die restlichen Blöcke des Blockplans durch zyklische Permutation der in ihm enthaltenen Punkte.
1 2 3 5 8
Oval
Ein Oval des Blockplans ist eine Menge seiner Punkte, von welcher keine drei auf einem Block liegen. Hier ist ein Beispiel eines Ovals maximaler Ordnung dieses Blockplans:
1 2 9
Literatur
- Thomas Beth, Dieter Jungnickel, Hanfried Lenz: Design Theory. 1. Auflage. B.I. Wissenschaftsverlag, Mannheim/Wien/Zürich 1985, ISBN 3-411-01675-2.
- Albrecht Beutelspacher: Einführung in die endliche Geometrie. Band 1: Blockpläne. B.I. Wissenschaftsverlag, Mannheim/Wien/Zürich 1982, ISBN 3-411-01632-9.
Einzelnachweise
- ↑ Qazi M. Husain: On the totality of the solutions for the symmetrical incomplete block designs λ = 2, κ = 5 or 6. In: Sankhyā. Bd. 7, Nr. 2, 1945, S. 204–208, (JSTOR 25047845).
- ↑ Rudolf Mathon, Alexander Rosa: 2-(ν, κ, λ) Designs of Small Order. In: Charles J. Colbourn, Jeffrey H. Dinitz (Hrsg.): Handbook of Combinatorial Designs. 2nd Edition. Chapman and Hall/ CRC, Boca Raton FL u. a. 2007, ISBN 978-1-4200-1054-1, S. 25–57.
