(121,40,13)-Blockplan

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Der (121,40,13)-Blockplan ist in der Mathematik ein spezieller symmetrischer Blockplan (eine bestimmte mathematische Struktur). Um ihn konstruieren zu können, musste dieses kombinatorische Problem gelöst werden: eine leere 121×121-Matrix wurde so mit Einsen gefüllt, dass jede Zeile der Matrix genau 40 Einsen enthält und je zwei beliebige Zeilen genau 13 Einsen in der gleichen Spalte besitzen (nicht mehr und nicht weniger). Das klingt relativ einfach, ist aber nicht trivial zu lösen. Es gibt nur gewisse Kombinationen von Parametern (wie hier v = 121, k = 40, λ = 13), für die eine solche Konstruktion überhaupt machbar ist. In dieser Übersicht sind die kleinsten solcher (v,k,λ) aufgeführt.

Eigenschaften

Dieser Blockplan hat die Parameter v = 121, k = 40, λ = 13 und damit folgende Eigenschaften:

  • Er besteht aus 121 Blöcken und 121 Punkten.
  • Jeder Block enthält genau 40 Punkte.
  • Je 2 Blöcke schneiden sich in genau 13 Punkten.
  • Jeder Punkt liegt auf genau 40 Blöcken.
  • Je 2 Punkte sind durch genau 13 Blöcke verbunden.

Existenz und Charakterisierung

Es existieren mindestens 1029 nichtisomorphe 2-(121,40,13)-Blockpläne[1]. Vier dieser Lösungen sind:

  • Lösung 1 mit der Signatur 121·40/20. Sie enthält 7260 Ovale der Ordnung 2.
  • Lösung 2 mit der Signatur 121·40/18720. Sie enthält 7260 Ovale der Ordnung 2.
  • Lösung 3 mit der Signatur 121·40/40. Sie enthält 7260 Ovale der Ordnung 2.
  • Lösung 4 mit der Signatur 121·20. Sie enthält 7260 Ovale der Ordnung 2.

Liste der Blöcke

Hier sind alle Blöcke dieses Blockplans aufgelistet; zum Verständnis dieser Liste siehe diese Veranschaulichung

  • Lösung 1
1 3 4 5 9 12 13 14 15 16 17 22 23 27 32 34 36 39 42 45 46 48 51 64 66 69 71 77 81 82 85 86 88 92 96 102 108 109 110 117
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3 5 10 15 19 20 28 31 32 33 34 35 48 52 55 58 59 60 66 67 68 71 74 76 77 78 80 82 85 87 88 90 94 100 105 109 111 115 118 119
4 6 11 16 20 21 29 32 33 34 35 36 49 53 56 59 60 61 67 68 69 72 75 77 78 79 81 83 86 88 89 91 95 101 106 110 112 116 119 120
5 7 12 17 21 22 30 33 34 35 36 37 50 54 57 60 61 62 68 69 70 73 76 78 79 80 82 84 87 89 90 92 96 102 107 111 113 117 120 121
1 6 8 13 18 22 23 31 34 35 36 37 38 51 55 58 61 62 63 69 70 71 74 77 79 80 81 83 85 88 90 91 93 97 103 108 112 114 118 121
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4 7 8 13 15 20 25 29 30 38 41 42 43 44 45 58 62 65 68 69 70 76 77 78 81 84 86 87 88 90 92 95 97 98 100 104 110 115 119 121
1 5 8 9 14 16 21 26 30 31 39 42 43 44 45 46 59 63 66 69 70 71 77 78 79 82 85 87 88 89 91 93 96 98 99 101 105 111 116 120
2 6 9 10 15 17 22 27 31 32 40 43 44 45 46 47 60 64 67 70 71 72 78 79 80 83 86 88 89 90 92 94 97 99 100 102 106 112 117 121
1 3 7 10 11 16 18 23 28 32 33 41 44 45 46 47 48 61 65 68 71 72 73 79 80 81 84 87 89 90 91 93 95 98 100 101 103 107 113 118
2 4 8 11 12 17 19 24 29 33 34 42 45 46 47 48 49 62 66 69 72 73 74 80 81 82 85 88 90 91 92 94 96 99 101 102 104 108 114 119
3 5 9 12 13 18 20 25 30 34 35 43 46 47 48 49 50 63 67 70 73 74 75 81 82 83 86 89 91 92 93 95 97 100 102 103 105 109 115 120
4 6 10 13 14 19 21 26 31 35 36 44 47 48 49 50 51 64 68 71 74 75 76 82 83 84 87 90 92 93 94 96 98 101 103 104 106 110 116 121
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3 8 12 14 18 21 22 27 29 34 39 43 44 52 55 56 57 58 59 72 76 79 82 83 84 90 91 92 95 98 100 101 102 104 106 109 111 112 114 118
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1 7 12 16 18 22 25 26 31 33 38 43 47 48 56 59 60 61 62 63 76 80 83 86 87 88 94 95 96 99 102 104 105 106 108 110 113 115 116 118
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1 5 11 16 20 22 26 29 30 35 37 42 47 51 52 60 63 64 65 66 67 80 84 87 90 91 92 98 99 100 103 106 108 109 110 112 114 117 119 120
2 6 12 17 21 23 27 30 31 36 38 43 48 52 53 61 64 65 66 67 68 81 85 88 91 92 93 99 100 101 104 107 109 110 111 113 115 118 120 121
1 3 7 13 18 22 24 28 31 32 37 39 44 49 53 54 62 65 66 67 68 69 82 86 89 92 93 94 100 101 102 105 108 110 111 112 114 116 119 121
1 2 4 8 14 19 23 25 29 32 33 38 40 45 50 54 55 63 66 67 68 69 70 83 87 90 93 94 95 101 102 103 106 109 111 112 113 115 117 120
2 3 5 9 15 20 24 26 30 33 34 39 41 46 51 55 56 64 67 68 69 70 71 84 88 91 94 95 96 102 103 104 107 110 112 113 114 116 118 121
1 3 4 6 10 16 21 25 27 31 34 35 40 42 47 52 56 57 65 68 69 70 71 72 85 89 92 95 96 97 103 104 105 108 111 113 114 115 117 119
2 4 5 7 11 17 22 26 28 32 35 36 41 43 48 53 57 58 66 69 70 71 72 73 86 90 93 96 97 98 104 105 106 109 112 114 115 116 118 120
3 5 6 8 12 18 23 27 29 33 36 37 42 44 49 54 58 59 67 70 71 72 73 74 87 91 94 97 98 99 105 106 107 110 113 115 116 117 119 121
1 4 6 7 9 13 19 24 28 30 34 37 38 43 45 50 55 59 60 68 71 72 73 74 75 88 92 95 98 99 100 106 107 108 111 114 116 117 118 120
2 5 7 8 10 14 20 25 29 31 35 38 39 44 46 51 56 60 61 69 72 73 74 75 76 89 93 96 99 100 101 107 108 109 112 115 117 118 119 121
1 3 6 8 9 11 15 21 26 30 32 36 39 40 45 47 52 57 61 62 70 73 74 75 76 77 90 94 97 100 101 102 108 109 110 113 116 118 119 120
2 4 7 9 10 12 16 22 27 31 33 37 40 41 46 48 53 58 62 63 71 74 75 76 77 78 91 95 98 101 102 103 109 110 111 114 117 119 120 121
1 3 5 8 10 11 13 17 23 28 32 34 38 41 42 47 49 54 59 63 64 72 75 76 77 78 79 92 96 99 102 103 104 110 111 112 115 118 120 121
1 2 4 6 9 11 12 14 18 24 29 33 35 39 42 43 48 50 55 60 64 65 73 76 77 78 79 80 93 97 100 103 104 105 111 112 113 116 119 121
1 2 3 5 7 10 12 13 15 19 25 30 34 36 40 43 44 49 51 56 61 65 66 74 77 78 79 80 81 94 98 101 104 105 106 112 113 114 117 120
2 3 4 6 8 11 13 14 16 20 26 31 35 37 41 44 45 50 52 57 62 66 67 75 78 79 80 81 82 95 99 102 105 106 107 113 114 115 118 121

Zyklische Darstellung

Es existieren zyklische Darstellungen (Singer-Zyklus) dieses Blockplans, sie sind isomorph zur jeweiligen obigen Liste der Blöcke. Ausgehend von dem dargestellten Block erhält man die restlichen Blöcke des Blockplans durch zyklische Permutation der in ihm enthaltenen Punkte.

  • Lösung 1
  1 3 4 5 9 12 13 14 15 16 17 22 23 27 32 34 36 39 42 45 46 48 51 64 66 69 71 77 81 82 85 86 88 92 96 102 108 109 110 117
  • Lösung 2
  1 3 4 7 9 11 12 13 21 25 27 33 34 36 39 44 55 63 64 67 68 70 71 75 80 81 82 83 85 89 92 99 102 103 104 108 109 115 117 119
  • Lösung 3
  1 3 4 7 8 9 12 21 24 25 26 27 34 36 40 43 49 63 64 68 70 71 72 75 78 81 82 83 89 92 94 95 97 102 104 108 112 113 118 120
  • Lösung 4
  1 3 4 5 7 9 12 14 15 17 21 27 32 36 38 42 45 46 51 53 58 63 67 68 76 79 80 81 82 83 96 100 103 106 107 108 114 115 116 119

Oval

Ein Oval des Blockplans ist eine Menge seiner Punkte, von welcher keine drei auf einem Block liegen. Hier ist ein Beispiel eines Ovals maximaler Ordnung für jede Lösung dieses Blockplans:

  • Lösung 1
  1   2
  • Lösung 2
  1   2
  • Lösung 3
  1   2
  • Lösung 4
  1   2

Literatur

Einzelnachweise

  1. ↑ Rudolf Mathon, Alexander Rosa: 2-(ν, κ, λ) Designs of Small Order. In: Charles J. Colbourn, Jeffrey H. Dinitz (Hrsg.): Handbook of Combinatorial Designs. 2nd Edition. Chapman and Hall/ CRC, Boca Raton FL u. a. 2007, ISBN 978-1-4200-1054-1, S. 25–57.
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