(31,6,1)-Blockplan
Der (31,6,1)-Blockplan ist ein spezieller symmetrischer Blockplan. Um ihn konstruieren zu können, musste dieses kombinatorische Problem gelöst werden: eine leere 31 × 31 - Matrix wurde so mit Einsen gefüllt, dass jede Zeile der Matrix genau 6 Einsen enthält und je zwei beliebige Zeilen genau 1 Eins in der gleichen Spalte besitzen (nicht mehr und nicht weniger). Das klingt relativ einfach, ist aber nicht trivial zu lösen. Es gibt nur gewisse Kombinationen von Parametern (wie hier v = 31, k = 6, λ = 1), für die eine solche Konstruktion überhaupt machbar ist. In dieser Übersicht sind die kleinsten solcher (v,k,λ) aufgeführt.
Bezeichnung
Dieser symmetrische 2-(31,6,1)-Blockplan wird Projektive Ebene oder Desarguessche Ebene der Ordnung 5 genannt.
Eigenschaften
Dieser symmetrische Blockplan hat die Parameter v = 31, k = 6, λ = 1 und damit folgende Eigenschaften:
- Er besteht aus 31 Blöcken und 31 Punkten.
- Jeder Block enthält genau 6 Punkte.
- Je 2 Blöcke schneiden sich in genau 1 Punkt.
- Jeder Punkt liegt auf genau 6 Blöcken.
- Je 2 Punkte sind durch genau 1 Block verbunden.
Existenz und Charakterisierung
Es existiert (bis auf Isomorphie) genau ein 2-(31,6,1) - Blockplan[1]. Er ist selbstdual und hat die Signatur 31·60. Er enthält 3100 Ovale der Ordnung 6.
Liste der Blöcke
Hier sind alle Blöcke dieses Blockplans aufgelistet; zum Verständnis dieser Liste siehe diese Veranschaulichung
1 2 3 4 5 6 1 7 8 9 10 11 1 12 13 14 15 16 1 17 18 19 20 21 1 22 23 24 25 26 1 27 28 29 30 31 2 7 12 17 22 27 2 8 13 18 23 28 2 9 14 19 24 29 2 10 15 20 25 30 2 11 16 21 26 31 3 7 15 21 23 29 3 8 12 20 24 31 3 9 13 17 26 30 3 10 16 19 22 28 3 11 14 18 25 27 4 7 16 18 24 30 4 8 15 19 26 27 4 9 12 21 25 28 4 10 14 17 23 31 4 11 13 20 22 29 5 7 13 19 25 31 5 8 14 21 22 30 5 9 16 20 23 27 5 10 12 18 26 29 5 11 15 17 24 28 6 7 14 20 26 28 6 8 16 17 25 29 6 9 15 18 22 31 6 10 13 21 24 27 6 11 12 19 23 30
Inzidenzmatrix
Dies ist eine Darstellung der Inzidenzmatrix dieses Blockplans; zum Verständnis dieser Matrix siehe diese Veranschaulichung
O O O O O O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O . . . . . O O O O O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O . . . . . . . . . . O O O O O . . . . . . . . . . . . . . . O . . . . . . . . . . . . . . . O O O O O . . . . . . . . . . O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O O O O O . . . . . O . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . O O O O O . O . . . . O . . . . O . . . . O . . . . O . . . . O . . . . . O . . . . . O . . . . O . . . . O . . . . O . . . . O . . . . O . . . . . . O . . . . O . . . . O . . . . O . . . . O . . . O . . . . . . . O . . . . O . . . . O . . . . O . . . . O . . O . . . . . . . . O . . . . O . . . . O . . . . O . . . . O . . O . . . O . . . . . . . O . . . . . O . O . . . . . O . . . . O . . . . O . . . O . . . . . . . O . . . O . . . . . . O . . O . . . . . O . . . O . . . O . . . . . . . . O . . . O . . . O . . . . . . O . . . . . O . . O . . O . . . . . O . . . . . O . . . . . . . O . . O . . . O . . . . . . O . O . . . . . . . O . . O . . . . . . . . O . O . . . . . O . . . . . O . . . . O . . . O . . . . . . O . . . O . . . . . . O O . . . . . . . O . . . . O . . O . . . . . . . . O . . . O . . O . . . . . . O . . . . . O . . . O . . O . . . . . O . . . . . . . O . . . O . . . . . . O . O . . . . . . O . O . . . . . . O . . . . . . O . O . . . . . O . . . . . O . . . . . O . . . . . O . . . . O . . O . . . . . O . . . . . . O O . . . . . . . O . . . . . O . . . O . . . . . . O . . . O . . O . . . O . . . . . . . . O . . . . O . O . . . . . O . . . . . . . O . . O . . . . . . O . . . . . O . . . O . O . . . . . . O . . . O . . . . . . . . O O . . . . . . O . . . . . O . . . . . O . O . . . . . . . . O . O . . . . . . . O O . . . . . . . O . . . O . . . . . . . O . . O . . . . . O . . O . . . O . . . . . . . . O . . . . . O . . . O . . O . . . . . . . O . . O . . O . . . . . . . . . O . . . . O O . . . . . . O . . . O . . . . . . O .
Zyklische Darstellung
Es existiert eine zyklische Darstellung (Singer-Zyklus) dieses Blockplans, sie ist isomorph zur obigen Liste der Blöcke. Ausgehend von dem dargestellten Block erhält man die restlichen Blöcke des Blockplans durch zyklische Permutation der in ihm enthaltenen Punkte.
1 2 4 9 13 19
Orthogonale Lateinische Quadrate (MOLS)
Diese Projektive Ebene der Ordnung 5 ist äquivalent mit diesen 4 MOLS der Ordnung 5:
Oval
Ein Oval des Blockplans ist eine Menge seiner Punkte, von welcher keine drei auf einem Block liegen. Hier ist ein Beispiel eines Ovals maximaler Ordnung dieses Blockplans:
1 2 7 13 20 24
Literatur
- Thomas Beth, Dieter Jungnickel, Hanfried Lenz: Design Theory. 1. Auflage. B.I. Wissenschaftsverlag, Mannheim/Wien/Zürich 1985, ISBN 3-411-01675-2.
- Albrecht Beutelspacher: Einführung in die endliche Geometrie. Band 1: Blockpläne. B.I. Wissenschaftsverlag, Mannheim/Wien/Zürich 1982, ISBN 3-411-01632-9.
Einzelnachweise
- ↑ Rudolf Mathon, Alexander Rosa: 2-(ν, κ, λ) Designs of Small Order. In: Charles J. Colbourn, Jeffrey H. Dinitz (Hrsg.): Handbook of Combinatorial Designs. 2nd Edition. Chapman and Hall/ CRC, Boca Raton FL u. a. 2007, ISBN 978-1-4200-1054-1, S. 25–57.
