(43,21,10)-Blockplan

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Der (43,21,10)-Blockplan ist ein spezieller symmetrischer Blockplan. Um ihn konstruieren zu können, musste dieses kombinatorische Problem gelöst werden: eine leere 43 × 43 - Matrix wurde so mit Einsen gefüllt, dass jede Zeile der Matrix genau 21 Einsen enthält und je zwei beliebige Zeilen genau 10 Einsen in der gleichen Spalte besitzen (nicht mehr und nicht weniger). Das klingt relativ einfach, ist aber nicht trivial zu lösen. Es gibt nur gewisse Kombinationen von Parametern (wie hier v = 43, k = 21, λ = 10), für die eine solche Konstruktion überhaupt machbar ist. In dieser Übersicht sind die kleinsten solcher (v,k,λ) aufgeführt.

Bezeichnung

Dieser symmetrische 2-(43,21,10)-Blockplan wird Hadamard-Blockplan der Ordnung 11 genannt.

Eigenschaften

Dieser symmetrische Blockplan hat die Parameter v = 43, k = 21, λ = 10 und damit folgende Eigenschaften:

  • Er besteht aus 43 Blöcken und 43 Punkten.
  • Jeder Block enthält genau 21 Punkte.
  • Je 2 Blöcke schneiden sich in genau 10 Punkten.
  • Jeder Punkt liegt auf genau 21 Blöcken.
  • Je 2 Punkte sind durch genau 10 Blöcke verbunden.

Existenz und Charakterisierung

Es existieren mindestens 82 nichtisomorphe 2-(43,21,10) - Blockpläne[1]. Drei dieser Lösungen sind:

  • Lösung 1 mit der Signatur 43·504. Sie enthält 903 Ovale der Ordnung 2.
  • Lösung 2 (dual zur Lösung 3) mit der Signatur 12·1, 4·2, 3·4, 4·6, 2·7, 2·9, 4·10, 4·11, 2·12, 4·13, 2·14. Sie enthält 1 Oval der Ordnung 3.
  • Lösung 3 (dual zur Lösung 2) mit der Signatur 12·1, 4·2, 1·4, 2·5, 6·6, 2·7, 4·10, 8·11, 2·13, 2·14. Sie enthält 1 Oval der Ordnung 3.

Liste der Blöcke

Hier sind alle Blöcke dieses Blockplans aufgelistet; zum Verständnis dieser Liste siehe diese Veranschaulichung

  • Lösung 1
  2   5   7  10  11  12  14  15  16  17  18  22  24  25  26  32  36  37  39  41  42
  3   6   8  11  12  13  15  16  17  18  19  23  25  26  27  33  37  38  40  42  43
  1   4   7   9  12  13  14  16  17  18  19  20  24  26  27  28  34  38  39  41  43
  1   2   5   8  10  13  14  15  17  18  19  20  21  25  27  28  29  35  39  40  42
  2   3   6   9  11  14  15  16  18  19  20  21  22  26  28  29  30  36  40  41  43
  1   3   4   7  10  12  15  16  17  19  20  21  22  23  27  29  30  31  37  41  42
  2   4   5   8  11  13  16  17  18  20  21  22  23  24  28  30  31  32  38  42  43
  1   3   5   6   9  12  14  17  18  19  21  22  23  24  25  29  31  32  33  39  43
  1   2   4   6   7  10  13  15  18  19  20  22  23  24  25  26  30  32  33  34  40
  2   3   5   7   8  11  14  16  19  20  21  23  24  25  26  27  31  33  34  35  41
  3   4   6   8   9  12  15  17  20  21  22  24  25  26  27  28  32  34  35  36  42
  4   5   7   9  10  13  16  18  21  22  23  25  26  27  28  29  33  35  36  37  43
  1   5   6   8  10  11  14  17  19  22  23  24  26  27  28  29  30  34  36  37  38
  2   6   7   9  11  12  15  18  20  23  24  25  27  28  29  30  31  35  37  38  39
  3   7   8  10  12  13  16  19  21  24  25  26  28  29  30  31  32  36  38  39  40
  4   8   9  11  13  14  17  20  22  25  26  27  29  30  31  32  33  37  39  40  41
  5   9  10  12  14  15  18  21  23  26  27  28  30  31  32  33  34  38  40  41  42
  6  10  11  13  15  16  19  22  24  27  28  29  31  32  33  34  35  39  41  42  43
  1   7  11  12  14  16  17  20  23  25  28  29  30  32  33  34  35  36  40  42  43
  1   2   8  12  13  15  17  18  21  24  26  29  30  31  33  34  35  36  37  41  43
  1   2   3   9  13  14  16  18  19  22  25  27  30  31  32  34  35  36  37  38  42
  2   3   4  10  14  15  17  19  20  23  26  28  31  32  33  35  36  37  38  39  43
  1   3   4   5  11  15  16  18  20  21  24  27  29  32  33  34  36  37  38  39  40
  2   4   5   6  12  16  17  19  21  22  25  28  30  33  34  35  37  38  39  40  41
  3   5   6   7  13  17  18  20  22  23  26  29  31  34  35  36  38  39  40  41  42
  4   6   7   8  14  18  19  21  23  24  27  30  32  35  36  37  39  40  41  42  43
  1   5   7   8   9  15  19  20  22  24  25  28  31  33  36  37  38  40  41  42  43
  1   2   6   8   9  10  16  20  21  23  25  26  29  32  34  37  38  39  41  42  43
  1   2   3   7   9  10  11  17  21  22  24  26  27  30  33  35  38  39  40  42  43
  1   2   3   4   8  10  11  12  18  22  23  25  27  28  31  34  36  39  40  41  43
  1   2   3   4   5   9  11  12  13  19  23  24  26  28  29  32  35  37  40  41  42
  2   3   4   5   6  10  12  13  14  20  24  25  27  29  30  33  36  38  41  42  43
  1   3   4   5   6   7  11  13  14  15  21  25  26  28  30  31  34  37  39  42  43
  1   2   4   5   6   7   8  12  14  15  16  22  26  27  29  31  32  35  38  40  43
  1   2   3   5   6   7   8   9  13  15  16  17  23  27  28  30  32  33  36  39  41
  2   3   4   6   7   8   9  10  14  16  17  18  24  28  29  31  33  34  37  40  42
  3   4   5   7   8   9  10  11  15  17  18  19  25  29  30  32  34  35  38  41  43
  1   4   5   6   8   9  10  11  12  16  18  19  20  26  30  31  33  35  36  39  42
  2   5   6   7   9  10  11  12  13  17  19  20  21  27  31  32  34  36  37  40  43
  1   3   6   7   8  10  11  12  13  14  18  20  21  22  28  32  33  35  37  38  41
  2   4   7   8   9  11  12  13  14  15  19  21  22  23  29  33  34  36  38  39  42
  3   5   8   9  10  12  13  14  15  16  20  22  23  24  30  34  35  37  39  40  43
  1   4   6   9  10  11  13  14  15  16  17  21  23  24  25  31  35  36  38  40  41
  • Lösung 2
  1   2   4   8  10  13  14  16  18  20  21  24  25  26  27  29  30  31  32  35  43
  1   2   6   7  12  14  21  23  25  26  27  30  31  32  34  37  38  39  40  41  42
  3   4   7  10  11  14  15  16  18  20  21  22  25  28  29  30  38  39  40  41  42
  1   3   4   6   7   8   9  16  21  22  26  28  29  30  31  33  34  36  37  38  43
  5   7   9  11  13  14  16  17  18  20  21  23  24  25  26  33  34  37  38  39  43
  2   4   6  11  12  13  15  16  17  19  20  29  30  31  32  33  34  38  39  40  43
  2   3   4   5   7   8  10  12  17  22  24  25  26  27  29  33  34  39  40  41  43
  1   4   7   8  11  12  13  15  17  18  19  22  25  26  27  30  35  36  37  38  39
  4   5   9  10  12  19  21  23  24  25  28  29  30  32  35  36  37  38  39  40  43
  1   3   7   9  10  12  13  15  17  19  20  23  24  25  26  28  29  30  31  34  42
  3   5   6   8  12  13  15  18  20  21  22  23  24  26  29  31  32  36  38  39  41
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  1   3   4   5   6  14  17  18  19  20  22  23  25  26  30  32  33  36  40  42  43
  5   6   7   8  10  13  14  15  16  19  22  23  25  29  30  32  33  34  35  37  41
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  6   8   9  10  12  14  15  16  17  18  24  26  30  34  35  36  38  40  41  42  43
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  1   2   3   4   5   9  11  13  14  15  22  24  26  29  32  34  35  37  38  40  42
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  • Lösung 3
  1   2   4   8  10  13  14  16  18  20  21  24  25  26  27  29  30  31  32  35  43
  1   2   6   7  12  14  21  23  25  26  27  30  31  32  34  37  38  39  40  41  42
  3   4   7  10  11  14  15  16  18  20  21  22  25  28  29  30  38  39  40  41  42
  1   3   4   6   7   8   9  16  21  22  26  28  29  30  31  33  34  36  37  38  43
  5   7   9  11  13  14  16  17  18  20  21  23  24  25  26  33  34  37  38  39  43
  2   4   6  11  12  13  15  16  17  19  20  29  30  31  32  33  34  38  39  40  43
  2   3   4   5   7   8  10  12  17  22  24  25  26  27  29  33  34  39  40  41  43
  1   4   7   8  11  12  13  15  17  18  19  22  25  26  27  30  35  36  37  38  39
  4   5   9  10  12  19  21  23  24  25  28  29  30  32  35  36  37  38  39  40  43
  1   3   7   9  10  12  13  15  17  19  20  23  24  25  26  28  29  30  31  34  42
  3   5   6   8  12  13  15  18  20  21  25  27  28  30  33  34  35  37  40  42  43
  2   6   7   8   9  10  11  18  19  20  24  25  27  28  30  32  33  34  36  38  41
  1   5   6   8  10  11  15  17  20  21  23  25  26  29  31  33  35  36  38  40  41
  1   2   3   5  15  16  17  18  19  21  22  23  24  26  27  28  30  32  33  38  40
  3   6   8  10  11  13  14  17  19  21  22  23  26  28  30  32  34  35  39  41  43
  1   3   4   5   6  14  17  18  19  20  24  27  28  29  31  34  35  37  38  39  41
  5   6   7   8  10  13  14  15  16  19  24  26  27  28  31  36  38  39  40  42  43
  1   3   5   8  11  12  14  16  19  20  22  23  25  27  29  32  34  36  38  42  43
  6   8   9  10  12  14  15  16  17  18  22  23  25  27  28  29  31  32  33  37  39
  1   3   5   6  10  11  12  13  16  18  24  26  29  30  32  33  36  37  39  41  42
  1   2   3   4   5   9  11  13  14  15  23  25  27  28  30  31  33  36  39  41  43
  3   4   7   8  11  12  13  16  17  20  21  23  24  27  28  31  32  36  37  40  41
  2   5   9  10  11  12  16  17  20  22  26  27  28  30  31  35  37  38  41  42  43
  1   5   7   9  10  11  13  15  18  19  21  22  27  29  31  32  34  37  40  41  43
  1   2   3   5   7   8   9  10  14  15  16  17  20  30  32  34  35  36  37  39  40
  1   2   4   5   7   8  10  11  12  16  18  19  21  23  28  31  33  34  35  39  42
  1   2   7   8  13  15  20  22  23  24  28  29  32  33  35  37  38  39  41  42  43
  3   4   9  10  13  18  20  22  23  26  27  31  32  33  34  35  36  38  39  40  42
  1   3   4   6   7   9  10  11  12  14  15  17  21  24  27  32  33  35  38  42  43
  1   2   3   4   6   8   9  10  13  16  17  18  19  23  25  37  38  40  41  42  43
  1   2   4   6  10  11  12  14  15  18  20  22  23  24  26  28  34  36  37  40  43
  1   2   6   9  11  13  16  17  21  22  24  25  27  28  29  34  35  36  39  40  42
  4   5   6   7  15  16  17  18  22  23  24  25  30  31  32  34  35  36  41  42  43
  2   4   5   6   7  10  13  14  17  19  20  21  22  23  27  29  30  33  36  37  42
  1   8   9  12  14  17  18  19  20  21  22  24  30  31  33  36  39  40  41  42  43
  4   8   9  11  14  15  16  19  23  24  26  27  29  30  33  34  35  37  40  41  42
  2   4   5   8   9  12  13  14  15  17  18  21  26  28  29  32  34  36  38  41  42
  2   3   4   5   6   8   9  11  15  19  20  21  22  24  25  26  31  32  37  39  42
  2   3   5   6   7   8   9  11  12  13  14  18  22  23  24  29  30  31  35  38  40
  2   3   6   7   9  12  15  16  18  19  20  21  23  26  27  29  35  36  39  41  43
  2   3   7  11  14  17  18  19  25  26  28  29  31  32  33  35  36  37  40  42  43
  2   3  10  12  13  14  15  16  19  21  22  24  25  31  33  34  35  36  37  38  41
  1   4   5   6   7   9  12  13  14  16  19  20  22  25  26  28  32  33  35  40  41

Inzidenzmatrix

Dies ist eine Darstellung der Inzidenzmatrix dieses Blockplans; zum Verständnis dieser Matrix siehe diese Veranschaulichung

  • Lösung 1
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  • Lösung 2
O O . O . . . O . O . . O O . O . O . O O . . O O O O . O O O O . . O . . . . . . . O
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  • Lösung 3
O O . O . . . O . O . . O O . O . O . O O . . O O O O . O O O O . . O . . . . . . . O
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Zyklische Darstellung

Es existiert eine zyklische Darstellung (Singer-Zyklus) für Lösung 1 dieses Blockplans, sie ist isomorph zur obigen Liste der Blöcke. Ausgehend von dem dargestellten Block erhält man die restlichen Blöcke des Blockplans durch zyklische Permutation der in ihm enthaltenen Punkte.

  • Lösung 1
  2   5   7  10  11  12  14  15  16  17  18  22  24  25  26  32  36  37  39  41  42

Oval

Ein Oval des Blockplans ist eine Menge seiner Punkte, von welcher keine drei auf einem Block liegen. Hier sind Beispiele von Ovalen maximaler Ordnung dieses Blockplans:

  • Lösung 1
  1   2
  • Lösung 2 (sämtliche Ovale)
 11  22  33
  • Lösung 3 (sämtliche Ovale)
 11  22  33

Literatur

Einzelnachweise

  1. ↑ Rudolf Mathon, Alexander Rosa: 2-(ν, κ, λ) Designs of Small Order. In: Charles J. Colbourn, Jeffrey H. Dinitz (Hrsg.): Handbook of Combinatorial Designs. 2nd Edition. Chapman and Hall/ CRC, Boca Raton FL u. a. 2007, ISBN 978-1-4200-1054-1, S. 25–57.
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