2-Kategorie

Im mathematischen Gebiet der Kategorientheorie sind 2-Kategorien die einfachsten Beispiele höherer Kategorien.

Definition

Eine 2-Kategorie ${\mathcal {C}}$ besteht aus einer Klasse $Ob({\mathcal {C}})$ von Objekten, einer Klasse $Mor({\mathcal {C}})$ von Morphismen zwischen Objekten und einer Klasse $Mor_{2}({\mathcal {C}})$ von Morphismen zwischen Morphismen.

Das heißt sowohl

$(Ob({\mathcal {C}}),Mor({\mathcal {C}}))$

als auch

$(Mor({\mathcal {C}}),Mor_{2}({\mathcal {C}}))$

bilden jeweils eine Kategorie.

Beispiele

• Sei ${{\mathcal {G}}rp}$ die Kategorie der Gruppen und Gruppenhomomorphismen. Diese wird eine 2-Kategorie mit den Konjugationsabbildungen als 2-Isomorphismen durch

$Mor_{2}(f_{0},f_{1})=\left\{h\in H\colon f_{1}(g)=hf_{0}(g)h^{-1}\ \forall \ g\in G\right\}$

für alle $f_{0},f_{1}\in Mor(G,H)$.

• Sei ${{\mathcal {T}}op}$ die Kategorie der topologischen Räume und stetigen Abbildungen. Diese wird eine 2-Kategorie mit den Homotopien als 2-Homomorphismen durch

$Mor_{2}(f_{0},f_{1})=\left\{H\colon X\times \left[0,1\right]\to Y\colon H(x,i)=f_{i}(x)\ \forall \ x\in X,i\in \left\{0,1\right\}\right\}$

für alle $f_{0},f_{1}\in Mor(X,Y)$.

• Sei ${{\mathcal {C}}at}$ die Kategorie der Kategorien und Funktoren. Diese wird eine 2-Kategorie mit den natürlichen Transformationen als 2-Morphismen durch

$Mor_{2}({\mathcal {F}}_{0},{\mathcal {F}}_{1})=\left\{\left\{\alpha _{C}\colon {\mathcal {F}}_{0}(C)\to {\mathcal {F}}_{1}(C)\right\}_{C\in {\mathcal {C}}}\colon \alpha _{C^{\prime }}\circ F(f)=G(f)\circ \alpha _{C}\ \forall C,C^{\prime }\in Ob({\mathcal {C}}),f\in Mor(C,C^{\prime })\right\}$

für alle ${\mathcal {F}}_{0},{\mathcal {F}}_{1}\in Mor({\mathcal {C}},{\mathcal {D}})$.

Literatur

• Jacob Lurie: Higher Topos Theory (Section 1.1), online (pdf)

Weblinks

• 2-category (nlab)