Algebraisches Hüllensystem

Algebraische Hüllensysteme sind ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der universellen Algebra. Ein Hüllensystem heißt algebraisch, wenn es sich als Menge der Universen aller Unterstrukturen einer algebraischen Struktur ergibt.

Zusammenhang zwischen Hüllensystem und Hüllenoperator

Für ein Hüllensystem ${\mathcal {H}}\subseteq {\mathcal {P}}(S)$ über einer Grundmenge $S$ ist der zugehörige Hüllenoperator Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle C_{\mathcal {H}}} auf Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal {P}(S) } gegeben durch:

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle C_{\mathcal {H}}(A)=\bigcap \{H\in {\mathcal {H}}|H\supseteq A\}} (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A \subseteq S } ).

Der Hüllenoperator ordnet also einer Teilmenge von S die kleinste Obermenge aus dem Hüllensystem zu.

Charakterisierung über Endlichkeitsbedingung

Die Algebraizität eines Hüllensystems lässt sich wie folgt ohne Rückgriff auf algebraische Strukturen charakterisieren: Das Hüllensystem Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal {H}} und der Hüllenoperator Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle C_{\mathcal {H}}} werden algebraisch genannt, wenn folgende Endlichkeitsbedingung erfüllt ist:

Ist $A\subseteq S$ und Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle x\in C_{\mathcal {H}}(A)} , so existiert schon eine endliche Teilmenge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F \subseteq A } derart, dass Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x \in C_{\mathcal {H}}(F) } .

Das bedeutet:

Es ist stets

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle C_{\mathcal {H}}(A)=\bigcup \{C_{\mathcal {H}}(F):F\subseteq A\land |F|<\infty \}} (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A \subseteq S } ).

In der Logik wird diese Eigenschaft Kompaktheit genannt.

Diese Eigenschaft gilt für jedes Hüllensystem, das durch die Unterstrukturen einer algebraischen Struktur gegeben ist, denn ein Element Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} der Struktur liegt gerade dann im Erzeugnis einer Teilmenge der Struktur, wenn es einen Term bestehend aus den (nach Voraussetzung endlichstelligen) Verknüpfungen der Struktur und Elementen der Teilmenge gibt, dessen Wert $x$ ist, und ein Term kann nur endlich viele solche Elemente verwenden. Umgekehrt lässt sich zu einem Hüllensystem mit der obigen Eigenschaft eine entsprechende algebraische Struktur definieren, indem man für jedes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A\subseteq S} und $x$ und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle F=\left\{f_1,\ldots, f_n\right\}} wie oben eine Verknüpfung Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle v\colon S^{n}\mapsto S} definiert durch Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle v(f_1,\ldots,f_n)=x} und für andere Tupel Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (x_1,\ldots,x_n)} (was für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n=0} nicht auftritt) zum Beispiel Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle v(x_{1},\ldots ,x_{n})=x_{1}} setzt.

Charakterisierung über Induktivität

Eine Menge von Mengen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{T}} heißt induktiv, wenn für jede nichtleere bezüglich der Inklusionsrelation aufsteigend linear geordnete Teilmenge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{K}\subseteq\mathcal{T}} die Vereinigungsmenge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \textstyle \bigcup\mathcal{K}} wiederum zu Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{T}} gehört. Dies ist äquivalent dazu, dass die Vereinigung jeder nichtleeren bezüglich der Inklusionsrelation gerichteten Teilmenge von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{T}} wiederum zu Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{T}} gehört. Die Rückrichtung folgt a fortiori, die Hinrichtung ergibt sich per transfiniter Induktion über alle Kardinalzahlen: Als Induktionsanfang betrachte man eine endliche gerichtete Menge, diese hat ein Maximum, womit die Aussage trivial ist. Sei nun also Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{K}\subseteq\mathcal{T}} eine gerichtete Teilmenge mit unendlicher Kardinalität Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \kappa} . ${\mathcal {K}}$ lässt sich als Vereinigung einer aufsteigenden Kette von Teilmengen kleinerer Kardinalität darstellen. Hierfür wähle eine Nummerierung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f\colon\kappa\to\mathcal{K}} , dann ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{K}} Vereinigung der Bilder Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle f(\alpha )} für jede Ordinalzahl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha<\kappa} . Da für unendliche Mengen die Menge aller endlichen Teilmengen dieselbe Kardinalität wie die Menge selbst besitzt und sich somit jedes Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(\alpha)} zu einer gerichteten Teilmenge ergänzen lässt, ohne die Kardinalität Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \kappa} zu überschreiten, lässt sich Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{K}} sogar als Vereinigung einer aufsteigenden Kette von gerichteten Teilmengen kleinerer Kardinalität. Für diese sei nun per Induktionsvoraussetzung die Behauptung gezeigt und sie ergibt sich für alle Kardinalzahlen.

Satz von Schmidt

Aus dem Vorherigen ergibt sich ein Satz von Jürgen Schmidt (1918–1980), welcher besagt, dass die Induktivität für ein Hüllensystem äquivalent zur Algebraizität ist.

Denn die Algebraizität impliziert die Induktivität offensichtlich unmittelbar. Umgekehrt betrachte man für ein Hüllensystem Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{H}\subseteq\mathcal{P}(S)} und ein Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle A\subseteq S} die gerichtete Menge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \left\{ C_{\mathcal{H}}(F) \mid F \subseteq A \land |F| < \infty \right\}} (sie ist gerichtet, da Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle C_{\mathcal{H}}(F)\cup C_{\mathcal{H}}(G) = C_{\mathcal{H}}(F\cup G)} ). Sie besteht aus Elementen des Hüllensystems, somit ist auch ihre Vereinigung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U} Element des Hüllensystems, somit ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U=C_{\mathcal{H}}(A)} und die Algebraizität gezeigt. Man beachte, dass der Beweis letzterer Implikation aufgrund obiger Verwendung gewisser Sätze über unendliche Mengen auf dem Auswahlaxiom basiert.

Beispiele

An zwei einfachen Beispielen kann man den vom Satz formulierten Zusammenhang zwischen Algebraizität und Induktivität nachprüfen.

Ein mögliches Hüllensystem ist die ganze Potenzmenge, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{H} = \mathcal{P}(S)} . In diesem Fall ist der Hüllenoperator die Identität. Da jede Teilmenge von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S} die Vereinigung ihrer endlichen Teilmengen ist, sind der Hüllenoperator und das Hüllensystem algebraisch. Tatsächlich ist das Hüllensystem in diesem Fall auch induktiv.

Ein anderes Hüllensystem besteht aus der als unendlich angenommenen Menge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S} und allen endlichen Teilmengen, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathcal{H} = \{S\}\cup\{A: A \subseteq S \land |A| < \infty\}} . Endliche Teilmengen werden in diesem Fall vom Hüllenoperator auf sich selbst abgebildet, unendliche Teilmengen dagegen auf ganz Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S} . Für eine unendliche echte Teilmenge von Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S} ist die Endlichkeitsbedingung daher nicht erfüllt, das Hüllensystem somit nicht algebraisch. Tatsächlich ist es auch nicht induktiv, eine aufsteigende Kette endlicher Mengen, die nicht ganz Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S} ausschöpft, ist hierfür ein Gegenbeispiel.

Literatur

Originalarbeiten

• Jürgen Schmidt: Über die Rolle der transfiniten Schlussweisen in einer allgemeinen Idealtheorie. In: Math. Nachr. Band 7, 1952, S. 165–182 (MR0047628). 
• Jürgen Schmidt: Einige grundlegende Begriffe und Sätze aus der Theorie der Hüllenoperatoren. In: Bericht über die Mathematiker-Tagung in Berlin. Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin Januar 1953, S. 21–48 (MR0069802). 

Monographien

• Paul Moritz Cohn: Universal Algebra (= Mathematics and Its Applications. Band 6). Überarbeitete Auflage. D. Reidel Publishing, Dordrecht, Boston 1981, ISBN 90-277-1213-1. 
• Th. Ihringer: Allgemeine Algebra (= Teubner Studienbuch). Teubner Verlag, Stuttgart 1988, ISBN 3-519-02083-1. 
• Heinrich Werner: Einführung in die allgemeine Algebra (= BI-Hochschultaschenbuch. Band 120). Bibliographisches Institut, Mannheim / Wien / Zürich 1978, ISBN 3-411-00120-8.