Anomale Diffusion

aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie
[[Hilfe:Cache|Fehler beim Thumbnail-Erstellen]]:
Mittlere quadratische Verschiebung für normale, Super- und Subdiffusion

Anomale Diffusion ist in der statistischen Physik eine besondere Art des Transportprozesses Diffusion bzw. der brownschen Molekularbewegung, die in vielen komplexen (z. B. viskoelastischen) Medien auftritt. Sie lässt sich nicht durch das gewöhnliche (Fick’sche) Diffusionsgesetz beschreiben. Im Unterschied zu normaler Diffusion wächst die mittlere quadratische Verschiebung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \langle r^2(\tau)\rangle} eines anomal diffundierenden Teilchens, also der Raum, den das Teilchen in der Zeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tau} durchwandert, nicht proportional zu Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \tau} , sondern folgt typischerweise einem Potenzgesetz Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \langle r^2(\tau)\rangle\propto\tau^\alpha} mit Anomalieparameter α. Anomale Diffusion beschreibt Zufallsbewegungen mit lang-reichweitigen Korrelationen, für die der zentrale Grenzwertsatz der Statistik nicht mehr gilt. Solche Transportprozesse treten zum Beispiel in Zellen oder beim Reiseverhalten von Menschen auf.

Definition und Eigenschaften

Definition

Übliche Diffusionsprozesse lassen sich makroskopisch durch die Fick’sche Diffusionsgleichung beschreiben. Mikroskopisch geht diese Beschreibung in eine Brown’sche Molekularbewegung (Wiener-Prozess) über, mit der mittleren quadratischen Verschiebung:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \langle \Delta r^2(\tau)\rangle_\text{normale Diffusion}=2n\cdot D\cdot\tau}

Der Faktor gibt die Zahl der Raumdimensionen an und der Parameter D ist der Diffusionskoeffizient.

Anomale Diffusion zeichnet sich dagegen durch folgende Abhängigkeit aus:[1]

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \langle \Delta r^2(\tau)\rangle_\text{anomale Diffusion}=2n\cdot K_\alpha\cdot\tau^\alpha,\quad \alpha>0}

Hier ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K_{\alpha}} ein verallgemeinerter Diffusionskoeffizient und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha} der Anomalieparameter. Die Einheit dieses verallgemeinerten Diffusionskoeffizienten ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle [K_{\alpha}]=m^2 / s^{\alpha}} , hängt also vom Anomalieparameter ab. Man unterscheidet zwei Regime, die auch in der Abbildung ganz oben dargestellt sind:

  • Subdiffusion (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 0<\alpha<1} ): Diese Art der verlangsamten diffusiven Bewegung kann etwa im Inneren von Zellen und bei Random Walks auf fraktalen Strukturen beobachtet werden.
  • Der Spezialfall beschreibt die gewöhnliche normale Diffusion.
  • Superdiffusion (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha>1} ): Diese beschleunigte Diffusion tritt z. B. bei Lévy-Flügen auf, oder etwa bei der Bewegung von Geldscheinen bzw. Reisebewegung von Menschen.
  • Der Spezialfall Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha=2} wird ballistische Diffusion (englisch
    ballistic diffusion
    ) genannt.[2] Dies entspricht einem Fall, wo zusätzlich zur Diffusionsbewegung auch eine Drift vorliegt.

Anomale Diffusion als makroskopischer Effekt

Anomale Diffusion an sich ist zunächst ein makroskopischer Effekt. Wie die verschiedenen obigen Beispiele schon zeigen, ist das Herleiten der mikroskopischen Ursache der anomalen Diffusion nicht einfach möglich.

Zeitabhängiger Diffusionskoeffizient und Gedächtnis

Die mittlere quadratische Verschiebung lässt sich formal auch durch einen zeitabhängigen Diffusionskoeffizienten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle D_{\alpha}(\tau)} ausdrücken:[1]

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \langle \Delta r^2(\tau)\rangle_\text{anomale Diffusion}=2n\cdot D_\alpha(\tau)\cdot\tau \quad \text{mit} \quad D_\alpha(\tau)=K_\alpha\cdot\tau^{\alpha-1}}

Der Diffusionskoeffizient ist also nicht mehr zeitlich konstant, das Verhalten (die "Diffusionsgeschwindigkeit") eines Teilchens hängt also davon ab, wie lange es sich schon bewegt (für Subdiffusion wird es z. B. immer langsamer, je länger es sich bewegt). Dies bedeutet, dass quasi ein Gedächtnis im System vorhanden ist, das die aktuelle Bewegung von der Vorgeschichte abhängig macht. Ein detaillierteres mathematisches Modell hierfür wird weiter unten im Abschnitt Anomale Diffusion und die Langevin-Gleichung beschrieben.

Auftreten anomaler Diffusion

Anomale Diffusionsphänomene treten in verschiedenen Systemen auf. Hier sollen einige Beispiele zusammengefasst werden, die teilweise im restlichen Artikel näher erläutert werden:

  • Superdiffusion mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha >1} :
    • im theoretischen Random-Walk-Modell des Lévy-Fluges[1]
    • bei der Bewegung von Geldscheinen bzw. Reisebewegung von Menschen.[3][4] Reisende Menschen verbleiben z. B. typischerweise einige Zeit in einer Stadt und bewegen sich dort auf kleiner räumlicher Skala. Mit einer gewissen (niedrigen, aber nicht verschwindenden) Wahrscheinlichkeit unternehmen sie dann eine Reise in eine entfernte Stadt, was zu einem großen Sprung führt. Lévy-Flüge sind ein theoretisches Modell für solches Verhalten.
    • Bewegung einzelner Zellen in Zellaggregaten[5]
  • Subdiffusion mit Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle 0<\alpha <1} :
    • Im Inneren von Zellen beobachtet man Subdiffusion bei der Bewegung von Makromolekülen durch das Cytoplasma. Eine Ursache hierfür kann das sog.
      molecular crowding
       sein, also das Vorhandensein vieler (dicht gepackter) Makromoleküle und Organellen im Zytoplasma[6]
    • Auf Membranen von Zellen wird ebenfalls anomale Diffusion beobachtet.[7][8][9] Die Zellmembran ist hier ein komplexes System aus vielen verschiedenen Bausteinen (siehe z. B. Flüssig-Mosaik-Modell).
    • Random Walks auf fraktalen Strukturen, wie etwa Perkolationsklustern[10][11]. Dies kann auch experimentell durch NMR-Diffusivitätsmessungen in porösen Systemen gezeigt werden.[1]
    • Diffusion in Polymernetzwerken[12]
    • Die Monomerbewegung von langen Polymeren wie DNA zeigt auf begrenzten Zeitskalen ebenfalls die Charakteristik anomaler Diffusion, hier ausgelöst durch die eingeschränkte interne Bewegung des Polymers (siehe z. B. das einfache Rouse-Modell für die Polymerdynamik).[13]
    • Ladungsträgertransport in amorphen Halbleitern[1]

Theoretische Beschreibung durch Random Walks

Normale Diffusion

Datei:BrownianMotion.svg
1000 Schritte eines normal-diffusiven (α = 1) Random-Walk

Wie schon erwähnt, zeigen gewisse

Random Walk

-Prozesse ein anomal diffusives Verhalten. Dabei beschreibt man das Fortschreiten der (hier im Beispiel eindimensionalen) Bewegung in diskreten Zeitschritten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta t} . Der Positionssprung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta x=x_{t}-x_{t-1}} von einem Zeitschritt zum nächsten ist für normale Diffusion gauß-verteilt:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p(\Delta x)\propto\exp\left(-\frac{1}{2}\cdot\frac{\Delta x^2}{2D\cdot \Delta t}\right)}

Diese charakteristische Gauß-Verteilung gilt aufgrund des zentralen Grenzwertsatzes der Statistik für viele Vorgänge. Sind allerdings wie in den folgenden Beispielen seine Voraussetzungen nicht mehr erfüllt (z. B. weil die Varianz (Stochastik) Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma^2=2D\cdot \Delta t} der obigen Verteilung nicht mehr definiert werden kann), so kann man anomal diffusives Verhalten beobachten.

Lévy-Flüge

Datei:LevyFlight.svg
Ein Lévy-Flug mit seiner erhöhten Wahrscheinlichkeit von langen Sprüngen zeigt Superdiffusion (α > 1). Das Bild zeigt ebenfalls 1000 Schritte und man kann deutlich die seltenen langen Sprünge erkennen.

Anomale Superdiffusion tritt in Random Walk-Prozessen auf, bei denen die Sprunglängenverteilung endlastig ist. Hier gilt der zentrale Grenzwertsatz nicht mehr, da die Varianz von endlastigen Verteilungen divergiert.[1] Ein Beispiel sind die bereits erwähnten Lévy-Flüge, bei denen selten (aber häufiger als in einer Gauß-Verteilung) sehr lange Sprünge vorkommen können. Die Sprunglängenverteilung nimmt hier mit einem Potenzgesetz ab:[14]

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p(\Delta x)\propto|\Delta x|^{-(1+2/\alpha)}, \alpha>1,\ \ \ \text{für}\ \ \ \Delta x\rightarrow\infty}

Im Bild rechts sind einige Schritte eines solchen Prozesses gezeigt. Die seltenen großen Sprünge sind gut zu erkennen.

Continuous time random walks
(CTRW)

Ein weiterer Random-Walk-Prozess mit anomal diffusiver Charakteristik sind sog.

Continuous time random walks

(CTRW). Dabei ist die Bewegung nicht in gleich lange Zeitschritte zerteilt, sondern bei gleich bleibender Sprunglänge Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta x} wird die Wartezeit zwischen zwei Sprüngen aus einer Verteilung betrachtet.[14] Man kann das auch als Diffusion auf einem Gitter mit Fallen auffassen, wobei die Fallen das diffundierende Teilchen unterschiedlich lange festhalten können.[15] Ist die Wartezeitverteilung endlastig, also:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p(\Delta t)\propto\Delta t^{-(1+\alpha)}, 0<\alpha<1,\ \ \ \text{für}\ \ \ \Delta t\rightarrow\infty}

so führt auch dieses zu anomaler Subdiffusion mit Anomalieparameter Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha} .

Kontinuierliche theoretische Modelle

Anomale Diffusion und die Langevin-Gleichung

Datei:Anomaloussubdiffusion.svg
Normale (α=1) und subdiffusive (α=0.7) Bewegung eines Teilchens. Für eine detaillierte Beschreibung des Algorithmus zur Berechnung des Bildes siehe Ref.[16] Das Fortschreiten der Zeit (10000 Schritte) ist als Farbe codiert (siehe Farbbalken links oben)

Normal diffundierende Teilchen in einem viskosen Medium können über die Langevin-Gleichung beschrieben werden:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m\cdot\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2}=-\xi\cdot\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+F_\text{st}(t)}

Dabei ist x(t) der Teilchenort zur Zeit t, ξ der Reibungskoeffizient und Fst eine stochastische Kraft mit verschwindender Korrelation Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \langle F(t)\cdot F(t')\rangle\propto\delta(t-t')} , also weißes Rauschen. Diese stochastische Differentialgleichung lässt sich zur fraktionalen Langevin-Gleichung verallgemeinern:[16]

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle m\cdot\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2}=-\xi\cdot\int\limits_{-\infty}^tK(t-t')\frac{\mathrm{d}x(t')}{\mathrm{d}t}\;\mathrm{d}t+F_\text{st}(t)}

Dabei ist nun Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K(\tau)} ein sog.

memory kernel

(deutsch etwa Gedächtnis-Faltungskern), der eine (auch langreichweitige) zeitliche Kopplung induziert. Die Bewegung des Teilchens hängt also auch von seiner Vergangenheit (Integral ) ab, was bei normaler Brownscher Bewegung nicht der Fall war (dies entspricht einem nicht-markovschen Random-Walk). Nimmt man nun im Speziellen wieder ein Potenzgesetz für Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K(\tau)} an, also

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle K(\tau)\propto\tau^{-\alpha}}

so folgt auch aus diesem Ansatz eine anomale mittlere quadratische Verschiebung mit Anomalie α.[16] Mit diesem Ansatz kann man anomale Diffusion modellieren, wie sie in viskoelastischen Medien auftritt. Alternativ kann man den stochastischen Term korrelieren lassen, etwa Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \langle F(t)\cdot F(t')\rangle\propto\exp(-|t-t'|)} . Dies entspricht einer Diffusion mit Hindernissen, die für Zeitskalen, in der einerseits die Hindernisgröße und andererseits der mittlere Hindernisabstand nicht verschwindet gegenüber diffundierten Distanzen, auch eine anomale Subdiffusion ist.

Fraktionale Diffusionsgleichung

Mit Hilfe der in der Fraktionale Infinitesimalrechnung definierten fraktionalen Integro-Differential-Operatoren lässt sich die oft zur Modellierung normaler Diffusionsphänomene herangezogene Fokker-Planck-Gleichung auf anomale Diffusion erweitern.[17][1][18] Diese (dann fraktionale) Differentialgleichung beschreibt die Zeitentwicklung der Aufenthaltswahrscheinlichkeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle W(x,t)} diffundierender Teilchen am Ort Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle x} zur Zeit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle t} .

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \frac{\partial W(x,t)}{\partial t}=K_\alpha\cdot\mathbb{D}_t^{1-\alpha}\frac{\partial^2W(x,t)}{\partial x^2}}

Dabei ist der Riemann-Liouville-Operator anschaulich als die Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \alpha} -te Ableitung der Funktion Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(t)} nach der Zeit definiert über die Integraldarstellung:[1]

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathbb{D}_t^{1-\alpha}f(t)=\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\frac{\partial}{\partial t}\int\limits_0^t\frac{f(t')}{(t-t')^{1-\alpha}}\;\mathrm{d}t'}

Dabei ist Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Gamma(x)} die Gamma-Funktion. Die Lösung dieser fraktionalen Differentialgleichung führt wieder auf die anomale mittlere quadratische Verschiebung:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \langle r^2(\tau)\rangle=\frac{2K}{\Gamma(1+\alpha)}\cdot\tau^\alpha}

Siehe auch

Literatur

Weblinks

Einzelnachweise

  1. ↑ a b c d e f g h Ralf Metzler, Joseph Klafter: The random walk's guide to anomalous diffusion: a fractional dynamics approach. In: Physics Reports. 339, Nr. 1, Dezember 2000, S. 1–77. doi:10.1016/S0370-1573(00)00070-3.
  2. ↑ Valery Ilyin, Itamar Procaccia, Anatoly Zagorodny: Stochastic processes crossing from ballistic to fractional diffusion with memory: Exact results. In: Physical Review E. 81, Nr. 3, März 2010. doi:10.1103/PhysRevE.81.030105.
  3. ↑ Dirk Brockmann, Fabian Theis: Money Circulation, Trackable Items, and the Emergence of Universal Human Mobility Patterns. In: IEEE Pervasive Computing. 7, Nr. 4, Oktober 2008, S. 28–35. doi:10.1109/MPRV.2008.77.
  4. ↑ D. Brockmann: Anomalous diffusion and the structure of human transportation networks. In: The European Physical Journal Special Topics. 157, Nr. 1, April 2008, S. 173–189. doi:10.1140/epjst/e2008-00640-0.
  5. ↑ Arpita Upadhyaya, Jean-Paul Rieu, James A. Glazier, Yasuji Sawada: Anomalous diffusion and non-Gaussian velocity distribution of Hydra cells in cellular aggregates. In: Physica A: Statistical Mechanics and its Applications. 293, Nr. 3–4, April 2001, S. 549–558. doi:10.1016/S0378-4371(01)00009-7.
  6. ↑ Matthias Weiss, Markus Elsner, Fredrik Kartberg, Tommy Nilsson: Anomalous Subdiffusion Is a Measure for Cytoplasmic Crowding in Living Cells. In: Biophysical Journal. Band 87, Nr. 5, November 2004, S. 3518–3524, doi:10.1529/biophysj.104.044263.
  7. ↑ G.J. Schuetz, H. Schindler, T. Schmidt: Single-molecule microscopy on model membranes reveals anomalous diffusion. In: Biophysical Journal. 73, Nr. 2, August 1997, S. 1073–1080. doi:10.1016/S0006-3495(97)78139-6.
  8. ↑ Laure Wawrezinieck, Herve Rigneault, Didier Marguet, Pierre-Francois Lenne: Fluorescence Correlation Spectroscopy Diffusion Laws to Probe the Submicron Cell Membrane Organization. In: Biophysical Journal. Band 89, Nr. 6, Dezember 2005, S. 4029–4042, doi:10.1529/biophysj.105.067959.
  9. ↑ Diego Krapf: Mechanisms Underlying Anomalous Diffusion in the Plasma Membrane. In: Current Topics in Membranes. Band 75. Elsevier, 2015, ISBN 978-0-12-803295-4, S. 167–207, doi:10.1016/bs.ctm.2015.03.002 (elsevier.com [abgerufen am 8. November 2019]).
  10. ↑ Shlomo Havlin, Daniel Ben-Avraham: Diffusion in disordered media. In: Advances in Physics. Band 51, Nr. 1, 2002, S. 187–292, doi:10.1080/00018730110116353.
  11. ↑ Yuval Gefen, Amnon Aharony, Shlomo Alexander: Anomalous Diffusion on Percolating Clusters. In: Physical Review Letters. 50, Nr. 1, Januar 1983, S. 77–80. doi:10.1103/PhysRevLett.50.77.
  12. ↑ I. Wong, M. Gardel, D. Reichman, Eric Weeks, M. Valentine, A. Bausch, D. Weitz: Anomalous Diffusion Probes Microstructure Dynamics of Entangled F-Actin Networks. In: Physical Review Letters. 92, Nr. 17, April 2004. doi:10.1103/PhysRevLett.92.178101.
  13. ↑ Roman Shusterman, Sergey Alon, Tatyana Gavrinyov, Oleg Krichevsky: Monomer Dynamics in Double- and Single-Stranded DNA Polymers. In: Physical Review Letters. Band 92, Nr. 4, Januar 2004, doi:10.1103/PhysRevLett.92.048303.
  14. ↑ a b D. H. Rothman (2011): MIT Vorlesungsskript "Anomalous Diffusion" (Memento vom 10. Oktober 2015 im Internet Archive) (zugegriffen am 11. November 2012; PDF; 224 kB)
  15. ↑ A. V. Weigel, B. Simon, M. M. Tamkun, D. Krapf: Ergodic and nonergodic processes coexist in the plasma membrane as observed by single-molecule tracking. In: Proceedings of the National Academy of Sciences. Band 108, Nr. 16, 19. April 2011, ISSN 0027-8424, S. 6438–6443, doi:10.1073/pnas.1016325108, PMID 21464280 (pnas.org [abgerufen am 8. November 2019]).
  16. ↑ a b c Christian C. Fritsch, Jörg Langowski: Kinetic lattice Monte Carlo simulation of viscoelastic subdiffusion. In: aip.scitation.org. Abgerufen am 29. Januar 2019 (englisch).
  17. ↑ Ralf Metzler, Eli Barkai, Joseph Klafter: Anomalous Diffusion and Relaxation Close to Thermal Equilibrium: A Fractional Fokker-Planck Equation Approach. In: Physical Review Letters. 82, Nr. 18, Mai 1999, S. 3563–3567. doi:10.1103/PhysRevLett.82.3563.
  18. ↑ Eli Barkai: CTRW pathways to the fractional diffusion equation. In: Chemical Physics. 284, Nr. 1–2, November 2002, S. 13–27. doi:10.1016/S0301-0104(02)00533-5.
Abgerufen von „https://de.wikiup.org/index.php?title=Anomale_Diffusion&oldid=214387513“