Areatangens hyperbolicus und Areakotangens hyperbolicus

Areatangens hyperbolicus und Areakotangens hyperbolicus sind die Umkehrfunktionen von Tangens hyperbolicus und Kotangens hyperbolicus und damit Area-Funktionen.

Schreibweisen:

y=\operatorname {artanh} (x)=\tanh ^{-1}(x)

y=\operatorname {arcoth} (x)=\coth ^{-1}(x)

Letztere wird seltener benutzt, um die Verwechslung mit dem Kehrwert des hyperbolischen (Ko-)Tangens zu vermeiden. Es ist $\operatorname {artanh} (x)=\tanh ^{-1}(x)\not =\tanh(x)^{-1}={\tfrac {1}{\tanh(x)}}$ .

Definitionen

Areatangens hyperbolicus:

\operatorname {artanh} (x):={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)\quad \mathrm {f{\ddot {u}}r} \quad |x|<1

Areakotangens hyperbolicus:

\operatorname {arcoth} (x):={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {x+1}{x-1}}\right)\quad \mathrm {f{\ddot {u}}r} \quad |x|>1

Geometrische Definitionen

Geometrisch lässt sich der Areatangens hyperbolicus durch die Fläche in der Ebene darstellen, welche die Verbindungsstrecke zwischen dem Koordinatenursprung $(x,y)=(0,0)$ und der Hyperbel $x^{2}-y^{2}=1$ überstreicht: Es seien $(x,-y)=\left(x,-{\sqrt {x^{2}-1}}\right)$ und $(x,y)=\left(x,+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)$ Start- und Endpunkt auf der Hyperbel, dann wird von der Verbindungsstrecke die Fläche $A=\operatorname {artanh} \left({\frac {y}{x}}\right)$ überstrichen.

Eigenschaften

Graph der Funktion artanh(x)

Graph der Funktion arcoth(x)

	Areatangens hyperbolicus	Areakotangens hyperbolicus
Definitionsbereich	$-1<x<1$	$-\infty <x<-1$ $1<x<\infty$
Wertebereich	$-\infty <f(x)<\infty$	$-\infty <f(x)<\infty ;\;f(x)\neq 0$
Periodizität	keine	keine
Monotonie	streng monoton steigend	keine
Symmetrien	ungerade Funktion: $f(-x)=-f(x)$	ungerade Funktion: $f(-x)=-f(x)$
Asymptoten	$x=1\colon \,f(x)\to \infty {\text{ für }}x\to 1$ $x=-1\colon \,f(x)\to -\infty {\text{ für }}x\to -1$	$y=0\colon \,f(x)\to 0{\text{ für }}x\to \pm \infty$
Nullstellen	$x=0$	keine
Sprungstellen	keine	keine
Polstellen	$x=\pm 1$	$x=\pm 1$
Extrema	keine	keine
Wendepunkte	$x=0$	keine