Areatangens hyperbolicus und Areakotangens hyperbolicus

Areatangens hyperbolicus und Areakotangens hyperbolicus sind die Umkehrfunktionen von Tangens hyperbolicus und Kotangens hyperbolicus und damit Area-Funktionen.

Schreibweisen:

$y=\operatorname {artanh} (x)=\tanh ^{-1}(x)$

$y=\operatorname {arcoth} (x)=\coth ^{-1}(x)$

Letztere wird seltener benutzt, um die Verwechslung mit dem Kehrwert des hyperbolischen (Ko-)Tangens zu vermeiden. Es ist $\operatorname {artanh} (x)=\tanh ^{-1}(x)\not =\tanh(x)^{-1}={\tfrac {1}{\tanh(x)}}$.

Definitionen

Areatangens hyperbolicus:

$\operatorname {artanh} (x):={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)\quad \mathrm {f{\ddot {u}}r} \quad |x|<1$

Areakotangens hyperbolicus:

$\operatorname {arcoth} (x):={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {x+1}{x-1}}\right)\quad \mathrm {f{\ddot {u}}r} \quad |x|>1$

Geometrische Definitionen

Geometrisch lässt sich der Areatangens hyperbolicus durch die Fläche in der Ebene darstellen, welche die Verbindungsstrecke zwischen dem Koordinatenursprung $(x,y)=(0,0)$ und der Hyperbel $x^{2}-y^{2}=1$ überstreicht: Es seien $(x,-y)=\left(x,-{\sqrt {x^{2}-1}}\right)$ und $(x,y)=\left(x,+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)$ Start- und Endpunkt auf der Hyperbel, dann wird von der Verbindungsstrecke die Fläche $A=\operatorname {artanh} \left({\frac {y}{x}}\right)$ überstrichen.

Eigenschaften

Graph der Funktion artanh(x)

Graph der Funktion arcoth(x)

	Areatangens hyperbolicus	Areakotangens hyperbolicus
Definitionsbereich	$-1<x<1$	$-\infty <x<-1$ $1<x<\infty$
Wertebereich	$-\infty <f(x)<\infty$	$-\infty <f(x)<\infty ;\;f(x)\neq 0$
Periodizität	keine	keine
Monotonie	streng monoton steigend	keine
Symmetrien	ungerade Funktion: $f(-x)=-f(x)$	ungerade Funktion: $f(-x)=-f(x)$
Asymptoten	$x=1\colon \,f(x)\to \infty {\text{ für }}x\to 1$ $x=-1\colon \,f(x)\to -\infty {\text{ für }}x\to -1$	$y=0\colon \,f(x)\to 0{\text{ für }}x\to \pm \infty$
Nullstellen	$x=0$	keine
Sprungstellen	keine	keine
Polstellen	$x=\pm 1$	$x=\pm 1$
Extrema	keine	keine
Wendepunkte	$x=0$	keine

Reihenentwicklungen

Taylor- und Laurent-Reihen der beiden Funktionen sind

${\begin{alignedat}{2}\operatorname {artanh} (x)&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{2k+1}}{2k+1}}&=x+{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {1}{5}}x^{5}+{\frac {1}{7}}x^{7}+\ldots &{}\\\operatorname {arcoth} (x)&=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {x^{-(2k-1)}}{2k-1}}&=x^{-1}+{\frac {1}{3}}x^{-3}+{\frac {1}{5}}x^{-5}+{\frac {1}{7}}x^{-7}+\ldots &{}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(2k+1)\cdot x^{2k+1}}}&={\frac {1}{x}}+{\frac {1}{3x^{3}}}+{\frac {1}{5x^{5}}}+{\frac {1}{7x^{7}}}+\ldots &{}\end{alignedat}}$

Ableitungen

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {artanh} (x)={\frac {1}{1-x^{2}}}\,;\quad |x|<1$

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\operatorname {arcoth} (x)={\frac {1}{1-x^{2}}}\,;\quad |x|>1$

Integrale

Die Stammfunktionen lauten:

$\int \operatorname {artanh} (x)\,\mathrm {d} x=x\cdot \operatorname {artanh} (x)+{\frac {1}{2}}\ln \left(1-x^{2}\right)+C$

$\int \operatorname {arcoth} (x)\,\mathrm {d} x=x\cdot \operatorname {arcoth} (x)+{\frac {1}{2}}\ln \left(x^{2}-1\right)+C$

Additionstheoreme

$\operatorname {artanh} (x)\pm \operatorname {artanh} (y)=\operatorname {artanh} \left({\frac {x\pm y}{1\pm xy}}\ \right)$

$\operatorname {arcoth} (x)\pm \operatorname {arcoth} (y)=\operatorname {arcoth} \left({\frac {1\pm xy}{x\pm y}}\ \right)$

Umrechnung und Beziehungen zu anderen trigonometrischen Funktionen

$\operatorname {artanh} (z)={\frac {1}{i}}\arctan(iz)$

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \operatorname{arcoth}(z) = \frac{1}{i}\arccot(-iz) }

Siehe auch

• Trigonometrische Funktionen
• Kreis- und Hyperbelfunktionen

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Inverse Hyperbolic Tangent und Inverse Hyperbolic Cotangent auf MathWorld

Trigonometrische Funktion

Primäre trigonometrische Funktionen
Sinus und Kosinus | Tangens und Kotangens | Sekans und Kosekans 

Umkehrfunktionen (Arkusfunktionen)
Arkussinus und Arkuskosinus | Arkustangens und Arkuskotangens | Arkussekans und Arkuskosekans 

Hyperbelfunktionen
Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus | Tangens hyperbolicus und Kotangens hyperbolicus | Sekans hyperbolicus und Kosekans hyperbolicus 

Areafunktionen
Areasinus hyperbolicus und Areakosinus hyperbolicus | Areatangens hyperbolicus und Areakotangens hyperbolicus | Areasekans hyperbolicus und Areakosekans hyperbolicus