Tangens hyperbolicus und Kotangens hyperbolicus

Graph des Tangens hyperbolicus

Graph des Kotangens hyperbolicus

Tangens hyperbolicus und Kotangens hyperbolicus sind Hyperbelfunktionen. Man nennt sie auch Hyperbeltangens oder hyperbolischen Tangens bzw. Hyperbelkotangens oder hyperbolischen Kotangens.

Schreibweisen

Tangens hyperbolicus:	$y=\tanh \,x$
Kotangens hyperbolicus:	$y=\coth \,x$

Definitionen

$\tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}={\frac {\mathrm {e} ^{x}-\mathrm {e} ^{-x}}{\mathrm {e} ^{x}+\mathrm {e} ^{-x}}}={\frac {\mathrm {e} ^{2x}-1}{\mathrm {e} ^{2x}+1}}=1-{\frac {2}{\mathrm {e} ^{2x}+1}}$

$\coth x={\frac {\cosh x}{\sinh x}}={\frac {\mathrm {e} ^{x}+\mathrm {e} ^{-x}}{\mathrm {e} ^{x}-\mathrm {e} ^{-x}}}={\frac {\mathrm {e} ^{2x}+1}{\mathrm {e} ^{2x}-1}}=1+{\frac {2}{\mathrm {e} ^{2x}-1}}$

Hierbei bezeichnen $\sinh x$ und $\cosh x$ den Sinus hyperbolicus bzw. Kosinus hyperbolicus.

Eigenschaften

	Tangens hyperbolicus	Kotangens hyperbolicus
Definitionsbereich	$-\infty <x<+\infty$	$-\infty <x<+\infty$ ; $x\neq 0$
Wertebereich	$-1<f\left(x\right)<1$	$-\infty <f\left(x\right)<-1$ ; $1<f\left(x\right)<+\infty$
Periodizität	keine	keine
Monotonie	streng monoton steigend	$x<0$ streng monoton fallend $x>0$ streng monoton fallend
Symmetrien	Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung	Punktsymmetrie zum Koordinatenursprung
Asymptoten	$x\to +\infty \colon f\left(x\right)\to +1$ $x\to -\infty \colon f\left(x\right)\to -1$	$x\to +\infty \colon f\left(x\right)\to +1$ $x\to -\infty \colon f\left(x\right)\to -1$
Nullstellen	$x=0$	keine
Sprungstellen	keine	keine
Polstellen	keine	$x=0$
Extrema	keine	keine
Wendepunkte	$\left(0,0\right)$	keine

Spezielle Werte

Der Kotangens hyperbolicus hat zwei Fixpunkte, d. h., es gibt zwei $u\in \mathbb {R}$, sodass

$\coth \,u=u$.

Sie liegen bei $u_{\pm }=\pm 1{,}19967864\dots$ (Folge A085984 in OEIS)

Umkehrfunktionen

Der Tangens hyperbolicus ist eine Bijektion $\tanh \colon \mathbb {R} \rightarrow (-1,1)$. Die Umkehrfunktion nennt man Areatangens hyperbolicus. Sie ist für Zahlen x aus dem Intervall $(-1,1)$ definiert und nimmt als Wert alle reellen Zahlen an. Sie lässt sich durch den natürlichen Logarithmus ausdrücken:

$\operatorname {artanh} x={\frac {1}{2}}\ln {\frac {1+x}{1-x}}.$

Für die Umkehrung des Kotangens hyperbolicus gilt:

$\operatorname {arcoth} x={\frac {1}{2}}\ln {\frac {x+1}{x-1}}$

Ableitungen

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\tanh x=1-\tanh ^{2}x={\frac {1}{\cosh ^{2}x}}=\operatorname {sech} ^{2}x$

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\coth x=1-\coth ^{2}x=-{\frac {1}{\sinh ^{2}x}}=-\operatorname {csch} ^{2}x$

Die $n$-te Ableitung ist gegeben durch

${\frac {\mathrm {d} ^{n}}{\mathrm {d} z^{n}}}\tanh z={\frac {2^{n+1}\mathrm {e} ^{2z}}{(1+\mathrm {e} ^{2z})^{n+1}}}\sum _{k=0}^{n-1}(-1)^{k}A_{n,k}\,\mathrm {e} ^{2kz}$

mit den Euler-Zahlen A_n,k.

Additionstheorem

Es gilt das Additionstheorem

$\tanh(\alpha +\beta )={\frac {\tanh \alpha +\tanh \beta }{1+\tanh \alpha \,\tanh \beta }}$

analog dazu:

$\coth(\alpha +\beta )={\frac {1+\coth \alpha \,\coth \beta }{\coth \alpha +\coth \beta }}$

Integrale

$\int \tanh x\,\mathrm {d} x=\ln \cosh x+C$

$\int \coth x\,\mathrm {d} x=\ln |{\sinh x}|+C$

Weitere Darstellungen

Reihenentwicklungen

$\tanh x=\operatorname {sgn} x\left[1+\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k}\,2\,\mathrm {e} ^{-2k|x|}\right]$

$\tanh x=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {8x}{(2k+1)^{2}\pi ^{2}+4x^{2}}}$

$\coth x={\frac {1}{x}}+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {2x}{k^{2}\pi ^{2}+x^{2}}}$

Die Taylorreihe des Tangens hyperbolicus lautet:

$\tanh x=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)}{(2n)!}}\cdot B_{2n}\cdot x^{2n-1}=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}\cdot {\frac {2^{2n+1}}{\pi ^{2n}}}\cdot \lambda (2n)\cdot x^{2n-1}=x-{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {2}{15}}x^{5}-{\frac {17}{315}}x^{7}+\cdots$

Hierbei steht Bₙ für die Bernoulli-Zahlen und λ(n) für die Dirichletsche Lambdafunktion. Der Konvergenzradius dieser Reihe ist π/2.

Die Taylorreihe der Differenz von Kotangens hyperbolicus und Kehrwertfunktion lautet:

$\mathrm {L} (x)=\coth x-{\frac {1}{x}}=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}\cdot {\frac {2}{\pi ^{2n}}}\cdot \zeta (2n)\cdot x^{2n-1}={\frac {1}{3}}x-{\frac {1}{45}}x^{3}+{\frac {2}{945}}x^{5}-{\frac {1}{4725}}x^{7}+\cdots$

Diese Funktion wird Langevin-Funktion genannt.

Dabei steht ζ(n) für die Riemannsche Zetafunktion. Der Konvergenzradius dieser Reihe ist π.

Kettenbruchdarstellung

Johann Heinrich Lambert zeigte folgende Formel:

$\tanh x={\frac {x}{1+{\cfrac {x^{2}}{3+{\cfrac {x^{2}}{5+\ldots }}}}}}$

Numerische Berechnung

Grundsätzlich kann der Tangens hyperbolicus über die bekannte Formel

$\tanh x={\frac {\mathrm {e} ^{2x}-1}{\mathrm {e} ^{2x}+1}}$

berechnet werden, wenn die Exponentialfunktion ${e}^{x}$ zur Verfügung steht. Es gibt jedoch folgende Probleme:

• Große positive Operanden lösen einen Überlauf aus, obwohl das Endergebnis immer darstellbar ist
• Für Operanden nahe an 0 kommt es zu einer numerischen Auslöschung, womit das Ergebnis ungenau wird

Fall 1: $x$ ist eine große positive Zahl mit ${x}>k\cdot {\frac {\ln 10}{2}}$:

$\tanh x=+1$,

wobei $k$ die Anzahl der signifikanten Dezimalziffern des verwendeten Zahlentyps ist, was zum Beispiel beim 64-Bit-Gleitkommatyp double 16 ist.

Fall 2: $x$ ist eine kleine negative Zahl mit ${x}<-k\cdot {\frac {\ln 10}{2}}$:

$\tanh x=-1$

Fall 3: $x$ ist nahe an 0, z. B. für $-0{,}1<x<+0{,}1$:

$\tanh x={\frac {\sinh x}{\mathrm {e} ^{x}-\sinh x}}$

$\sinh x$ lässt sich hier über die Taylorreihe $\sinh x=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+{\frac {x^{7}}{7!}}+\dots$ sehr genau berechnen.

Fall 4: Alle übrigen $x$:

$\tanh x={\frac {\mathrm {e} ^{2x}-1}{\mathrm {e} ^{2x}+1}}$

Differentialgleichung

$\tanh$ löst folgende Differentialgleichungen:

$f^{\prime }=1-f^{2}$ oder

${\frac {1}{2}}f^{\prime \prime }=f^{3}-f=f(f^{2}-1)$

mit $f(0)=0$ und $f^{\prime }(\infty )=0$

Komplexe Argumente

$\tanh(x+i\,y)={\frac {\sinh(2x)}{\cosh(2x)+\cos(2y)}}+i\,{\frac {\sin(2y)}{\cosh(2x)+\cos(2y)}}$

$\tanh(i\,y)=i\,\tan y$

$\coth(x+i\,y)={\frac {\sinh(2x)}{\cosh(2x)-\cos(2y)}}+i\,{\frac {-\sin(2y)}{\cosh(2x)-\cos(2y)}}$

$\coth(i\,y)=-i\,\cot y$

Anwendungen in der Physik

• Tangens und Kotangens hyperbolicus können benutzt werden, um die zeitliche Abhängigkeit der Geschwindigkeit beim Fall mit Luftwiderstand oder auch beim Wurf nach unten zu beschreiben, wenn für den Strömungswiderstand eine turbulente Strömung angesetzt wird (Newton-Reibung). Das Koordinatensystem werde so gelegt, dass die Ortsachse nach oben zeigt. Für die Geschwindigkeit gilt dann eine Differenzialgleichung der Form ${\dot {v}}=-g+kv^{2}$ mit der Schwerebeschleunigung g und einer Konstanten k > 0 mit der Einheit 1/m. Es gibt dann immer eine Grenzgeschwindigkeit $v_{\mathrm {g} }=-{\sqrt {\frac {g}{k}}}<0$, die für $t\to \infty$ erreicht wird, und es gilt:
  • beim Fall oder Wurf nach unten mit einer Anfangsgeschwindigkeit kleiner der Grenzgeschwindigkeit: $v(t)=v_{\mathrm {g} }\cdot \tanh \left({\sqrt {gk}}t+c\right)$ mit $c=\operatorname {artanh} {\frac {v(0)}{v_{\mathrm {g} }}}\geq 0$
  • beim Wurf nach unten mit einer Anfangsgeschwindigkeit größer der Grenzgeschwindigkeit: $v(t)=v_{\mathrm {g} }\cdot \coth \left({\sqrt {gk}}t+c\right)$ mit $c=\operatorname {arcoth} {\frac {v(0)}{v_{\mathrm {g} }}}>0$

• In der Speziellen Relativitätstheorie ist der Zusammenhang zwischen Geschwindigkeit v und Rapidität $\theta$ gegeben durch $v=c\cdot \tanh \theta$ mit der Lichtgeschwindigkeit c.

• Der Tangens hyperbolicus beschreibt ferner die thermische Besetzung eines Zwei-Zustands-Systems in der Quantenmechanik: Ist n die gesamte Besetzung der beiden Zustände und E ihr Energie-Unterschied, so ergibt sich für die Differenz der Besetzungszahlen $\delta n=n\cdot \tanh {\frac {E}{2k_{\mathrm {B} }T}}$, wobei $k_{\mathrm {B} }$ die Boltzmann-Konstante und T die absolute Temperatur ist.

• Wichtig für die Beschreibung der Magnetisierung eines Paramagneten ist die Brillouin-Funktion:

$B_{J}(x)={\frac {1}{J}}\left[\left(J+{\frac {1}{2}}\right)\coth \left(J\,x+{\frac {x}{2}}\right)-{\frac {1}{2}}\coth {\frac {x}{2}}\right]$

• Der Kotangens hyperbolicus tritt auch in der Kosmologie auf: Die zeitliche Entwicklung des Hubble-Parameters in einem flachen Universum, das im Wesentlichen nur Materie und Dunkle Energie enthält (was ein gutes Modell für unser tatsächliches Universum ist), wird beschrieben durch $H(t)=H_{g}\coth {\frac {t}{t_{ch}}}$, wobei $t_{ch}={\frac {2}{3H_{g}}}$ eine charakteristische Zeitskala ist und $H_{g}={\sqrt {\Omega _{\Lambda ,0}}}H_{0}$ der Grenzwert des Hubble-Parameters für $t\to \infty$ ist ($H_{0}$ ist dabei der heutige Wert des Hubble-Parameters, $\Omega _{\Lambda ,0}$ der Dichteparameter für die Dunkle Energie). (Dieses Ergebnis ergibt sich leicht aus dem zeitlichen Verhalten des Skalenparameters, das aus den Friedmann-Gleichungen abgeleitet werden kann.) Bei der Zeitabhängigkeit des Dichteparameters der Dunklen Energie tritt dagegen der Tangens hyperbolicus auf: $\Omega _{\Lambda }(t)=\tanh ^{2}(t/t_{ch})$.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Hyperbolic Tangent. In: MathWorld (englisch).
• Eric W. Weisstein: Hyperbolic Cotangent. In: MathWorld (englisch).

Trigonometrische Funktion

Primäre trigonometrische Funktionen
Sinus und Kosinus | Tangens und Kotangens | Sekans und Kosekans 

Umkehrfunktionen (Arkusfunktionen)
Arkussinus und Arkuskosinus | Arkustangens und Arkuskotangens | Arkussekans und Arkuskosekans 

Hyperbelfunktionen
Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus | Tangens hyperbolicus und Kotangens hyperbolicus | Sekans hyperbolicus und Kosekans hyperbolicus 

Areafunktionen
Areasinus hyperbolicus und Areakosinus hyperbolicus | Areatangens hyperbolicus und Areakotangens hyperbolicus | Areasekans hyperbolicus und Areakosekans hyperbolicus