Boltzmann-Konstante

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Physikalische Konstante
Name Boltzmann-Konstante
Formelzeichen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k} oder Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k_\mathrm{B}}
Wert
SI 1.380649e-23 Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \textstyle \frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}}}
Unsicherheit (rel.) (exakt)
Planck-Einheiten 1
Quellen und Anmerkungen
Quelle SI-Wert: CODATA 2018 (Direktlink)

Die Boltzmann-Konstante (Formelzeichen Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k} oder Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k_\mathrm{B}} ) ist eine physikalische Konstante, die in der statistischen Mechanik eine zentrale Rolle spielt. Sie wurde von Max Planck eingeführt und nach dem österreichischen Physiker Ludwig Boltzmann benannt,[1] einem der Begründer der statistischen Mechanik. Sie gilt als eine der fundamentalen Konstanten der Physik.[2][3] Man kann sie aber auch als Skalierungsfaktor ansehen, der Energie- und Temperaturskala miteinander verknüpft.[4]

Wert

Die Boltzmann-Konstante hat die Dimension Energie/Temperatur.

Ihr Wert beträgt:[5]

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k_\mathrm B= 1{,}380\,649 \cdot 10^{-23} \; \mathrm{J/K}}

Dieser Wert gilt exakt, weil die Maßeinheit „Kelvin“ seit 2019 dadurch definiert ist, dass der Boltzmann-Konstante dieser Wert zugewiesen wurde.[6] Zuvor war das Kelvin anders definiert, und Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k_\mathrm B} war eine experimentell zu bestimmende Größe.[4]

Mit Elektronenvolt (eV) als Energieeinheit hat die Boltzmann-Konstante den – ebenfalls exakten – Wert[7]

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k_\mathrm B=\frac{1{,}380\,649\cdot 10^{-23}}{1{,}602\,176\,634\cdot 10^{-19}}\,\frac{\mathrm{eV}}{\mathrm{K}}\approx 8{,}617\,333\,262\cdot 10^{-5}\,\frac{\mathrm{eV}}{\mathrm{K}}\,} .

Aus der Boltzmann-Konstante berechnet sich die universelle Gaskonstante mit Hilfe der Avogadro-Konstante Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle N_\mathrm{A}} :

.

Definition und Zusammenhang mit der Entropie

Ludwig Boltzmann

Die Ideen von Ludwig Boltzmann präzisierend,[8] lautet die von Max Planck gefundene[9] fundamentale Beziehung:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S = k_\mathrm{B} \, \ln \Omega \,. }

Das heißt, die Entropie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S} eines Makrozustands eines abgeschlossenen Systems im thermischen Gleichgewicht ist proportional zum natürlichen Logarithmus der Anzahl Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Omega} (Ergebnisraum) der entsprechend möglichen Mikrozustände (somit ein Maß für die Menge an benötigter Information[10] zur Beschreibung des Mikrozustands). Das statistische Gewicht Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Omega} ist ein Maß für die Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Makrozustandes.

Diese Gleichung verknüpft – über die Boltzmann-Konstante als Proportionalitätsfaktor – die Mikrozustände des abgeschlossenen Systems mit der makroskopischen Größe der Entropie und bildet die zentrale Grundlage der statistischen Physik. Sie ist in leicht abgewandelter Nomenklatur auf dem Grabstein von Ludwig Boltzmann am Wiener Zentralfriedhof eingraviert.[8]

Die Entropieänderung ist in der klassischen Thermodynamik definiert als

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta S = \int \frac{\mathrm{d}Q}{T}}

mit der Wärmemenge .

Eine Entropiezunahme Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \Delta S > 0} entspricht einem Übergang in einen neuen Makrozustand mit einer größeren Zahl möglicher Mikrozustände. Dies ist in einem abgeschlossenen (isolierten) System stets der Fall (Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik).

In Bezug zur mikroskopischen Zustandssumme kann die Entropie auch als Größe der Dimension Zahl festgelegt werden:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} S^{\,\prime} & = \frac {S}{k_\mathrm{B}} = \ln \Omega\\ \Rightarrow \Delta S^{\,\prime} & = \int \frac{\mathrm{d}Q}{k_\mathrm{B}T}. \end{align}}

In dieser „natürlichen“ Form korrespondiert die Entropie mit der Definition der Entropie in der Informationstheorie und bildet dort ein zentrales Maß. Der Term Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle k_\mathrm BT} stellt dabei jene Energie dar, um die Entropie Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S^{\,\prime}} um ein Nit anzuheben.

Gesetz der idealen Gase

Die Boltzmann-Konstante erlaubt die Berechnung der mittleren thermischen Energie eines einatomigen freien Teilchens aus der Temperatur gemäß

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle E_\mathrm{therm} = \frac{3}{2}k_\mathrm{B} \, T,}

und tritt beispielsweise im Gasgesetz für ideale Gase als eine der möglichen Proportionalitätskonstanten auf:

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle pV=N\,k_{\mathrm {B} }\,T} .

Bedeutung der Formelzeichen:

  • Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p} – Druck
  • Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V} – Volumen
  • – Teilchenzahl
  • Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T} – Absolute Temperatur

Bezogen auf Normalbedingungen (Temperatur Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T_0} und Druck Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p_0} ) und mit der Loschmidt-Konstanten Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle N_\mathrm{L} = \tfrac{N}{V_0}} kann die Gasgleichung umformuliert werden zu:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \begin{align} \Leftrightarrow \frac{N}{V} & = \frac{1}{k_\mathrm{B}} \frac{p}{T}\\ & = \left( N_\mathrm{L} \frac{T_{0}}{p_{0}} \right) \frac{p}{T}\\ & = N_\mathrm{L} \frac{p}{p_{0}} \frac{T_0}{T}. \end{align}}

Zusammenhang mit der kinetischen Energie

Allgemein ergibt sich für die mittlere kinetische Energie eines klassischen punktförmigen Teilchens im thermischen Gleichgewicht mit Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f}  Freiheitsgraden, die quadratisch in die Hamiltonfunktion eingehen (Äquipartitionstheorem):

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \langle E_\mathrm{kin} \rangle = \frac{f}{2} k_\mathrm{B} \, T.}

So hat beispielsweise ein punktförmiges Teilchen drei Translationsfreiheitsgrade:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \langle E_\mathrm{kin} \rangle = \frac{3}{2} k_\mathrm{B} \, T.}

Ein zweiatomiges Molekül hat

  • ohne Symmetrie drei zusätzliche Rotationsfreiheitsgrade, also insgesamt sechs
  • mit einer Symmetrieachse zwei zusätzliche Rotationsfreiheitsgrade für Rotation senkrecht zur Symmetrieachse, also insgesamt fünf. Durch Rotation um die Symmetrieachse kann im Bereich thermischer Energien keine Energie gespeichert werden, da das Trägheitsmoment hier vergleichsweise klein ist und der 1. angeregte Rotationszustand daher sehr hoch liegt.

Dazu kommen bei ausreichend hohen Temperaturen noch Schwingungen der Atome gegeneinander entlang der Bindungen.

Rolle in der statistischen Physik

Allgemeiner tritt die Boltzmann-Konstante in der thermischen Wahrscheinlichkeitsdichte Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \rho_\mathrm{th}} beliebiger Systeme der statistischen Mechanik im thermischen Gleichgewicht auf. Diese lautet:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \rho_\mathrm{th} = \frac{\mathrm e^{-\frac{E}{k_\mathrm{B} T}}}{Z}}

mit

  • dem Boltzmann-Faktor Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \mathrm e^{-\frac{E}{k_\mathrm{B} T}}}
  • der kanonischen Zustandssumme Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle Z} als Normierungskonstante.

Beispiel aus der Festkörperphysik

In Halbleitern besteht eine Abhängigkeit der Spannung über einen p-n-Übergang von der Temperatur, die mit Hilfe der Temperaturspannung Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \phi_T} oder Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U_T} beschrieben werden kann:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \phi_T = U_T = \frac{k_\mathrm{B} \cdot T}{e}}

Dabei ist

  • Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle T} die absolute Temperatur in Kelvin
  • Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle e} die Elementarladung.

Bei Raumtemperatur (T = 293 K) beträgt der Wert der Temperaturspannung ungefähr 25 mV.

Siehe auch

Anmerkungen und Einzelnachweise

  1. ↑ „… where k is Boltzmann’s constant, introduced at that time by Planck, …“, wobei sich that time auf die Formulierung des Rayleigh-Jeans-Gesetzes (dem Grenzfall seiner Strahlungsformel für kleine Frequenzen) im Jahr 1900 bezieht. M. Jammer, The Conceptual Development of Quantum Mechanics, New York, 1966, S. 17. Dieses Gesetz ermöglichte auch die erste experimentelle Bestimmung der Boltzmann-Konstante.
  2. ↑ Gilles Cohen-Tannoudji: Lambda, the Fifth Foundational Constant Considered by Einstein arxiv:1802.08317, 23. Feb 2018, abgerufen am 18. Oktober 2021
  3. ↑ „Die fundamentalen physikalischen Konstanten sind [...] und die Boltzmann-Konstante kB.“, Fundamentalkonstanten, Lexikon der Physik, Spektrum
  4. ↑ a b „Dabei muss man sich darüber im Klaren sein, dass die Boltzmann-Konstante [...] keine wirkliche Naturkonstante von der Art etwa der Feinstrukturkonstanten oder der elektrischen Elementarladung ist, sondern lediglich ein Skalenfaktor, dessen Bestimmung im Rahmen des gegenwärtigen [2007] Internationalen Einheitensystems (SI) überhaupt erst deshalb nötig ist, weil dieses das Kelvin als Basiseinheit mit Hilfe des Wassertripelpunktes unabhängig von den anderen Basiseinheiten (insbesondere Meter, Sekunde und Kilogramm) definiert. Implizit wird dadurch nämlich für die thermische Energie kT eine zusätzliche eigene Einheit neben dem Joule (definiert als die Arbeit 1 Newton × 1 Meter), der SI-Einheit der Energie, eingeführt.“, Bernd Fellmuth, Wolfgang Buck, Joachim Fischer, Christof Gaiser, Joachim Seidel: Neudefinition der Basiseinheit Kelvin, PTB-Mitteilungen 117 (2007), Heft 3, S. 287, online
  5. ↑ CODATA Recommended Values: Boltzmann constant. National Institute of Standards and Technology NIST, abgerufen am 15. April 2020.
  6. ↑ Resolution 1 of the 26th CGPM. On the revision of the International System of Units (SI). Bureau International des Poids et Mesures, 2018, abgerufen am 15. Juni 2022 (englisch).
  7. ↑ CODATA Recommended Values: Boltzmann constant in eV/K. National Institute of Standards and Technology NIST, abgerufen am 15. April 2020.
  8. ↑ a b Die oben genannte Formel für die Entropie findet sich zwar in der Form „S = k. log W“ auf Boltzmanns Grabstein, steht aber nirgendwo explizit in seinen Werken. Er hat aber den Zusammenhang zwischen Entropie und der Zahl der Zustände klar erkannt, z. B. in den Sitzungsberichten der Wiener Akademie 1877 oder den Vorlesungen über Gastheorie, Bd. 1, 1895, S. 40, siehe Ingo Müller A history of thermodynamics, Springer, S. 102.
  9. ↑ Max Planck: Zur Theorie des Gesetzes der Energieverteilung im Normalspektrum. Vortrag – Faksimile aus den Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft 2 (1900). In: https://onlinelibrary.wiley.com/. 14. Dezember 1900, S. 237–245, abgerufen am 14. Dezember 2020.
  10. ↑ Die Bezeichnung der Entropie als „Maß der ‚Unordnung‘ des Makrozustands“ ist weniger genau.
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