Benutzer:A2r4e1/Ring von Mengen

In der Mathematik ist eine Ring (von Mengen) ein Grundbegriff der Maßtheorie. Ein Ring ist eine mengentheoretische Struktur, sie bezeichnet ein Mengensystem auf einer festen Grundmenge, das vor allem stabil gegenüber der Vereinigung und Differenz zweier Teilmengen ist.

Definition

Sei ${\mathcal {X}}$ eine beliebige (Grund-)Menge und ${\mathcal {P}}({\mathcal {X}})$ die Potenzmenge von ${\mathcal {X}}$, dann ist eine Teilmenge ${\mathcal {R}}\subseteq {\mathcal {P}}({\mathcal {X}})$ ein Ring (von Mengen), wenn für zwei beliebige Elemente $A,B\in {\mathcal {R}}$ folgegende Eigenschaften erfüllt sind:

1. $A\cap B\in {\mathcal {R}}$ (Abgeschlossenheit gegenüber Vereinigung)
2. $A\setminus B\in {\mathcal {R}}$ (Abgeschlossenheit gegenüber Differenz)

Beispiele

• Für jede beliebige Menge ${\mathcal {X}}$ ist $\{\emptyset ,{\mathcal {X}}\}$ die kleinste und die Potenzmenge ${\mathcal {P}}({\mathcal {X}})$ der größte mögliche Ring.

Äquivalente Definitionen

Zu der Behauptung, dass ${\mathcal {R}}$ ein Ring ist, sind folgende Aussagen äquivalent:

• Für alle Elemente $A,B\in {\mathcal {R}}$ gilt $A\cap B\in {\mathcal {R}}$ und $A\triangle B\in {\mathcal {R}}$.
• Für alle Elemente $A,B\in {\mathcal {R}}$ gilt $A\cup B\in {\mathcal {R}}$ und $A\triangle B\in {\mathcal {R}}$.
• Für alle Elemente $A,B\in {\mathcal {R}}$ gilt $A\cup B\in {\mathcal {R}}$ und $A\setminus B\in {\mathcal {R}}$.

Wobei $A\Delta B:=(A\setminus B)\cup (B\setminus A)$ als die Symmetrische Differenz bezeichnet wird.

Ring im Sinne der Algebra

Das Tripel $({\mathcal {R}},\Delta ,\cap )$ mit dem Ring (von Mengen)${\mathcal {R}}\subseteq {\mathcal {P}}({\mathcal {X}})$ ist auch ein algebraischer Ring. Wobei $\varnothing$ dem Nullelement und ${\mathcal {X}}$ (wenn vorhanden) dem Einselement entspricht.

besondere Eigenschaften

• $\varnothing \in {\mathcal {R}}$ - die Leere Menge ist immer in einem Ring enthalten
• $A_{1},\dots ,A_{n}\in {\mathcal {R}}\Rightarrow \cup _{i=1}^{n}A_{i}\in {\mathcal {R}}\quad \forall n\in \mathbb {N}$ - aus der ersten Eigenschaft in der Definition folgt induktiv, dass die endliche Vereinigung von Elementen auch im Ring ${\mathcal {R}}$ enthalten sind.
• Wenn die Grundmenge ${\mathcal {X}}$ im Ring ${\mathcal {R}}$ enthalten ist, so ist ${\mathcal {R}}$ sogar eine Algebra von Mengen.

Siehe auch

• Mengenlehre
• Algebra von Mengen
• σ-Algebra

Literatur

• Heinz Bauer: Maß- und Integrationstheorie. ISBN 3-11-013626-0
• Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. ISBN 3-540-65420-8