Benutzer:Algebraiker/Spielwiese

Baustelle

Einleitung

zur algebraischen Beschreibung verwendet. Dieser in den 1970er Jahren entwickelte Kalkül beantwortet erstmalig vollständig die Frage nach einer synonymen, also isomorphen - und nicht wie bisher mit nur mit Ternärkörpern und anderen Modellen isotopen – algebraischen Beschreibung aller affinen und projektiven Geometrien und ermöglicht durch das Prinzip „operator operandum“ einen intuitiv einfachen Zugang zu einer Fernraumgeometrie. Bedeutenster Aspekt ist, daß sich für aufwändig zu beschreibende geometrische Schnittpunktsätze (z.B. affiner und projektiver Satz von Desargues, Invarianzsatz von Hessenberg) in der Geometrischen Relationenalgebra notwendige und hinreichende Bedingungen mit einfachen "Rechenregeln", also das Hintereinanderausführen von Relationen in den "Homogenitätsregeln", angeben und beweisen lassen ("Prinzip der konstruktiven Erweiterbarkeit"). Die Methodik findet darüber hinaus Anwendungen in den Kognitionswissenschaften und insbesondere in der Systemtheorie: Hier werden mit dem relationalen Kalkül so unterschiedliche Systeme wie zeitdiskrete, zeitkontinuierliche (lineare und nichtlineare) dynamische Systeme und Fuzzzy-Systeme inklusive wichtiger Systemeigenschaften mit derselben mathematischen Sprache (synoynm) beschrieben. Zentrale Begriffe der Geometrischen Relationenalgebra sind geometrische Relative, Regel-Relative und Handlungsrelative – und die daraus abgeleiteten Derivate.

Methodik

In der Geometrischen Relationenalgebra werden geometrische Konfigurationen wie Geraden, Winkel, Dreiecke als Systeme von Relationen einer geeigneten Relationenalgebra, die auf einzelne Punkte einer Punktmenge angewendet werden, dargestellt. So ist beispielsweise eine Gerade in einer affinen Geomtrie in der synoynmen (isomorphen) Bechreibung durch sogenannte affine Relative darstellbar als $A{\mathfrak {B}}=\{C\in {\mathfrak {P}}\mid A{\mathfrak {B}}C\}$, bei Vorgabe einer geeigneten Punktmenge ${\mathfrak {P}}$ und Relationemenge ${\mathcal {R}}=\{{\mathfrak {A}},{\mathfrak {B}},...\}$ , siehe weiter das Übergangsverfahren in 2.1.1. Mit diesem Ansatz war es möglich, das zentrale Anliegen der Geometrischen Algebra, ...

....zugrundeliegenden Relationen - der affinen oder projektiven Homogenitätsregel - beantwortet. Die bisher angewendeten Kalküle der Universellen Algebra liefern dazu lediglich Umschreibungen der geometrischen Aussagen, die über das geometrisch-kombinatorische Arbeiten mit Schnittpunkt-Konfigurationen noch nicht heinausgehen.

...erstmals klassische geometrische Schließungssätze in den Zustandsräumen der dynamischen Systeme mit dem entsprechenden relationalen Systemkalkül anzugegeben.

${\displaystyle }$

Affiner Teil

Man spricht von einem n-stelligen Relativ $({\mathfrak {P}},{\mathcal {R}}^{(n)})$ mit $n\geq 2$, wenn gegeben sind:

• eine Menge von Punkten ${\mathfrak {P}}=\{A,B,C\dots \}\neq \emptyset .$
• eine Menge ${\mathcal {R}}^{(n)}=\{{\mathfrak {A,B,C,}}\dots \}\subset \mathrm {Pot} ({\mathfrak {P}}^{(n)})\setminus \left\{\emptyset \right\}$ von $n$ -stelligen Relationen auf der Grundmenge ${\mathfrak {P}}.$

Ein zweistelliges Relativ $({\mathfrak {P}},{\mathcal {R}})$ heißt einfach graphisch, wenn es die folgenden Eigenschaften erfüllt:

1. Scharf einfache Transitivität: $\bigwedge _{A,B\in {\mathfrak {P}}}\bigvee _{{\mathfrak {D}}\in {\mathcal {R}}}^{1}:A{\mathfrak {D}}B$. Zu zwei vorgegebenen Punkten $A,B\in {\mathfrak {P}}$ gibt es genau eine "Verbindungs"-Relation ${\mathfrak {D}}\in {\mathcal {R}}$, man setzt:$\;$ ${\mathfrak {D}}=AB:\Leftrightarrow A{\mathfrak {D}}B.$
2. Abgeschlossenheit bezüglich Gleichheitsrelation: $\bigwedge _{A,B,C\in {\mathfrak {P}}}:A(BB)C\Leftrightarrow A=C$. Gleichbedeutend ist dies damit, dass für die Gleichheitsrelation ${\mathfrak {E}}$ auf ${\mathfrak {P}}$ gilt: ${\mathfrak {E}}\in {\mathcal {R}}$.
3. Abgeschlossenheit bezüglich Inversen: $\bigwedge _{A,B\in {\mathfrak {P}}}:AB^{-1}=BA$. Die inverse Relation (Umkehrrelation) ${\mathfrak {D}}^{-1}$ zu einer gegebenen Relation ${\mathfrak {D}}$ ist auch in ${\mathcal {R}}$ enthalten.
4. Linkstotalität:$\bigwedge _{A\in {\mathfrak {P}}}\bigwedge _{{\mathfrak {D}}\in {\mathcal {R}}}\bigvee _{B\in {\mathfrak {P}}}:A{\mathfrak {D}}B$. Die Relationen genügen einer gewissen Reichhaltigkeit.

Ein zweistelliges, einfach graphisches Relativ $({\mathfrak {P}},{\mathcal {R}})$ heißt homogen, wenn gilt:

$(H_{2})\bigwedge _{A,B\in {\mathfrak {P}}}\bigwedge _{{\mathfrak {A,B}}\in {\mathcal {R}}}:A({\mathfrak {A}}\circ {\mathfrak {B}})B\Rightarrow AB\subset {\mathfrak {A}}\circ {\mathfrak {B}}.$

Diese Formel wird als zweistufige Homogenitätsregel bezeichnet, sie ist äquivalent zu folgendem Ausdruck:

$(H_{2})\bigwedge _{A,B,C\in {\mathfrak {P}}}:AB\subset AC\circ CB.$

Ein zweistelliges, einfach graphisches und homogenes Relativ $({\mathfrak {P}},{\mathcal {R}})$ heißt affines Richtungsrelativ, wenn die Relationen folgenden Eigenschaften genügen:

1. Streng alternierende Relationen: ${\mathfrak {A}}\circ {\mathfrak {A}}^{-1}={\mathfrak {A}}\cup {\mathfrak {A}}^{-1}\cup {\mathfrak {E}}$
2. Idempotente Relationen: ${\mathfrak {A}}\circ {\mathfrak {A}}={\mathfrak {A}}$
3. Antisymmetrische Relationen: ${\mathfrak {A}}\cap {\mathfrak {A}}^{-1}=\emptyset$
4. Kommutierende Relationen: ${\mathfrak {A}}\circ {\mathfrak {B}}={\mathfrak {B}}\circ {\mathfrak {A}}$

Man spricht von einem affinen Relativ $({\mathfrak {P}},{\mathcal {R}})$, wenn das Relativ einfach graphisch und homogen ist und die Relationen in ${\mathcal {R}}$ symmetrisch alternierend sind, d. h.:

1. Symmetrie: ${\mathfrak {A}}={\mathfrak {A}}^{-1}$
2. Alternierende Relationen: ${\mathfrak {A}}\circ {\mathfrak {A}}^{-1}\subset {\mathfrak {A}}\cup {\mathfrak {E}}$

Jedes affine Richtungsrelativ $({\mathfrak {P}},{\mathcal {R}})$ stiftet ein affines Relativ $({\mathfrak {P}},{\mathcal {\tilde {R}}})$, wenn gesetzt wird: ${\mathcal {\tilde {R}}}:=\{{\mathfrak {A}}\cup {\mathfrak {A}}^{-1}\mid {\mathfrak {A}}\in {\mathcal {R}}\}.$

Man spricht von einer affinen Geometrie $({\mathfrak {P}},{\mathfrak {G}},\in ,\parallel )$, wenn gegeben sind:

• eine Menge von Punkten ${\mathfrak {P}}=\{A,B,C,\dots \}\neq \emptyset ,$
• eine Menge von Geraden ${\mathfrak {G}}=\{g,h,k,\dots \}\subset \mathrm {Pot} ({\mathfrak {P}}),$
• die mengentheoretische Elementbeziehung $\in$ als Inzidenzrelation,
• eine Parallelenrelation $\parallel$ auf ${\mathfrak {G}}$

und wenn die folgenden Eigenschaften gelten:

1. Existenz und Eindeutigkeit der Verbindungsgeraden: Durch zwei verschiedene Punkte $A,\,B$ geht genau eine Gerade $g$ mit $A,B\in g$. Man setzt für diese eindeutig bestimmte Verbindungsgerade $g$ auch $g_{AB}$.
2. Geraden sind Verbindungsgeraden: Auf jeder Gerade liegen mindestens zwei Punkte.
3. Die Parallelenrelation $\parallel$ ist eine Äquivalenzrelation
4. Euklidisches Parallelenpostulat: Durch jeden Punkt geht genau eine Gerade, die zu einer gegebenen Gerade parallel ist.
5. Konstruierbarkeit parallelähnlicher Dreiecke (Tamaschke-Axiom): Wenn ein Dreieck (drei nicht auf einer Gerade liegende Punkte) $ABC$ gegeben ist und zwei Punkte $A'$ und $B'$ derart, dass die Gerade $AB$ parallel zu der Geraden $A'B'$ liegt, so gibt es einen Punkt $C'$ so, dass auch $AC$ parallel zu $A'C'$ und $BC$ parallel zu $B'C'$ liegen.

Aus einem affinen Relativ $({\mathfrak {P}},{\mathcal {R}})$ entsteht durch Anwendung des folgenden Verfahrens $\gamma$ eine affine Geometrie $({\mathfrak {P}},{\mathfrak {G}},\in ,\parallel )=({\mathfrak {P}},{\mathcal {R}})\gamma :$

${\mathfrak {G}}:=\{A({\mathfrak {B}}\cup {\mathfrak {E}})\mid A\in {\mathfrak {P}}\wedge {\mathfrak {B}}\in {\mathcal {R}}\setminus \{{\mathfrak {E}}\}\}$

$A({\mathfrak {B}}\cup {\mathfrak {E}})\parallel A'({\mathfrak {B}}'\cup {\mathfrak {E}}):\Leftrightarrow {\mathfrak {B}}={\mathfrak {B}}'.$

Aus einer affinen Geometrie $({\mathfrak {P}},{\mathfrak {G}},\in ,\parallel )$ entsteht durch Anwendung des Verfahrens $\alpha$ ein affines Relativ $({\mathfrak {P}},{\mathcal {R}})=({\mathfrak {P}},{\mathfrak {G}},\in ,\parallel )\alpha :$

${\mathcal {R}}:=\{\left\langle g\right\rangle \subset {\mathfrak {P}}^{2}\mid g\in {\mathfrak {G}}\}\cup \{{\mathfrak {E}}\}$

$A\left\langle g\right\rangle B:\Leftrightarrow A\neq B\wedge g_{A,B}\parallel g.$

Für alle affinen Relative $({\mathfrak {P}},{\mathcal {R}})$ und alle affinen Geometrien $({\mathfrak {P}},{\mathfrak {G}},\in ,\parallel )$ gilt:

$({\mathfrak {P}},{\mathfrak {G}},\in ,\parallel )\alpha \gamma \cong ({\mathfrak {P}},{\mathfrak {G}},\in ,\parallel ).$

$({\mathfrak {P}},{\mathcal {R}})\gamma \alpha \cong ({\mathfrak {P}},{\mathcal {R}}).$

Affine Relative und affine Geometrien sind synonym zueinander, der (H2)-Homogenitätsregel auf der algebraischen Seite entspricht die Konstruierbarkeit parallelähnlicher Dreiecke auf der geometrischen Seite.

Die Klasse der dreistelligen affinen Relative erweist sich ebenfalls als synonym zur Klasse der affinen Geometrien. Ein zweistelliges, einfach graphisches und homogenes Relativ $({\mathfrak {P}},{\mathcal {R}})$, also ein Relativ, dessen Relationenmenge scharf einfach transitiv, abgeschlossen gegenüber Gleichheitsrelation und Inversion, linkstotal und homogen ist, definiert mit

${\begin{cases}{\mathcal {R}}^{(3)}\;:=\;\{ABC\mid A,B,C\in {\mathfrak {P}}\}\\(A',B',C')\in ABC\;:\Leftrightarrow \;A'(AB)B'\wedge B'(BC)C'\wedge A'(AC)C'\end{cases}}$

ein einfach graphisches dreistelliges Relativ $({\mathfrak {P}},{\mathcal {R}}^{(3)})$.

Projektiver Teil

Man spricht von einer projektiven Geometrie $(\mathbb {P} ,\mathbb {G} ,\in )$, wenn gegeben sind:

• eine Menge von Punkten $\mathbb {P} =\{A,B,C,\dots \}\neq \emptyset ,$
• eine Menge von Geraden $\mathbb {G} =\{g,h,k,\dots \}\subset \mathrm {Pot} (\mathbb {P} ),$
• die mengentheoretische Elementbeziehung $\in$ als Inzidenzrelation,

und wenn die folgenden Axiome gelten:

1. Existenz und Eindeutigkeit der Verbindungsgeraden: Sind $A$ und $B$ zwei verschiedene Punkte, so gibt es genau eine Gerade $g_{AB}$, die mit $A$ und $B$ inzidiert.
2. Reichhaltigkeitsaxion: Auf jeder Geraden liegen mindestens drei Punkte
3. Veblensches Axiom: Sind $A$, $B$, $C$, $D$ vier Punkte, so dass $g_{A,B}$ und $g_{C,D}$ mit einem gemeinsamen Punkt inzidieren, so inzidieren auch $g_{A,C}$ und $g_{B,D}$ mit einem gemeinsamen Punkt.

Synonymer Zusammenhang

der sich an der Definition .. seines Lehrers... orientiert.

Man spricht von einem allgemeinen dynamischen System $({\mathcal {T}},X,{\mathcal {U}},\Phi )$ nach Sontag und Kalman, wenn vorgegeben werden:

• als "Zeitmenge" eine Untergruppe ${\mathcal {T}}(+)<\mathbb {R} (+)$ ;
• eine nicht leere Menge $X$ , deren Elemente "Zustände" heißen;
• eine nicht leere Menge ${\mathcal {U}}$, deren Elemente "Stellwerte" heißen;
• eine Zustandsüberführungsfunktion $\Phi :{\mathcal {D}}_{\Phi }\longrightarrow X,$

wobei ${\mathcal {D}}_{\Phi }$ eine Teilmenge ist von $\{(\tau ,\sigma ,x,\omega )\mid \sigma ,\tau \in {\mathcal {T}};\sigma \leq \tau ;x\in X;\omega \in {\mathcal {U}}^{[\sigma ,\tau )}\}$

und wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

1. Nicht-Trivialität: Zu jedem Zustand $x_{0}\in X$ gibt es mindestens ein Paar $\sigma <\tau$ in ${\mathcal {T}}$ und ein $\omega \in {\mathcal {U}}^{[\sigma ,\tau )}$ derart, dass "$\omega$ auf $x_{0}$ anwendbar" ist, d. h. derart, dass $(\tau ,\sigma ,x_{0},\omega )\in {\mathcal {D}}_{\Phi }$
2. Restriktion: Ist $\omega \in {\mathcal {U}}^{[\sigma ,\tau )}$ anwendbar auf $x$, so ist auch für jedes $\mu \in [\sigma ,\tau )$ die Restriktion $\omega _{1}=\omega \mid _{[\sigma ,\mu )}\in {\mathcal {U}}^{[\sigma ,\mu )}$ auf $x$ anwendbar und die Restriktion $\omega _{2}=\omega \mid _{[\mu ,\tau )}\in U^{[\mu ,\tau )}$ ist anwendbar auf $x(\mu )=(\mu ,\sigma ,x,\omega _{1})\Phi$ .
3. Halbgruppe: Sind $\sigma ,\mu ,\tau$ drei reelle Zahlen mit $\sigma <\mu <\tau$, ist $\omega _{1}\in {\mathcal {U}}^{[\sigma ,\mu )}$ und $\omega _{2}\in {\mathcal {U}}^{[\mu ,\tau )}$ und ist $x$ ein Zustand mit $(\mu ,\sigma ,x,\omega _{1})\Phi =x_{1}\wedge (\tau ,\mu ,x_{1},\omega _{2})\Phi =x_{2}$ , dann ist die Verkettung $\omega =\omega _{1}{\dot {\vee }}\omega _{2}\in {\mathcal {U}}^{[\sigma ,\tau )}$ auf $x$ anwendbar, und es gilt $(\tau ,\sigma ,x,\omega )\Phi =x_{2}.$
4. Identität: Für jedes $\sigma \in {\mathcal {T}}$ und jedes $x\in X$ ist die leere Abbildung $\diamond \in {\mathcal {U}}^{[\sigma ,\sigma )}$ auf $x$ anwendbar, und es gilt $(\sigma ,\sigma ,x,\diamond )\Phi =x.$
5. Reduktion: Es seien $u_{1},u_{2}\in {\mathcal {U}}$ und es gelte $\bigwedge _{\sigma \in {\mathcal {T}}}\bigwedge _{\tau \in {\mathcal {T}}}\bigwedge _{x\in X}(\tau ,\sigma ,x,\omega _{u_{1}})\Phi =(\tau ,\sigma ,x,\omega _{u_{2}})\Phi$ , wobei $\omega _{u_{i}}(t)\equiv u_{i}\;{\text{ f.a. }}t\in [\sigma ,\tau )$gesetzt sei, so folgt $u_{1}=u_{2}$.

${\displaystyle }$ Beispiel:

Ein lineares zeitinvariantes Mehrgrößensystem, das beschrieben wird durch

${\dot {x}}(t)=Ax(t)+Bu(t)$

mit ${\dot {x}}(t)\in \mathbb {R} ^{n},u(t)\in \mathbb {R} ^{m}$ sowie Matrizen $A$ und $B$ mit entsprechend angepaßten Dimensionen und Anfangswert $x(t_{0})=x_{0}$, stellt zu jedem Zeitpunkt $t$ eine Beziehung zwischen den Zuständen $x(t)$, deren zeitlichen Ableitungen ${\dot {x}}(t)$ und Eingängen $u(t)$ her. Mit Hilfe der Matrixexponentialfuntkion für die Lösung der vektorwertigen Differentialgleichung wird ein Sontag'sches System wie folgt definiert:

${\begin{cases}{\mathcal {T}}(+)\ :=\ \mathbb {R} (+)\\X\ :=\ \mathbb {R} ^{n}\\{\mathcal {U}}\ :=\ \mathbb {R} ^{m}\\{\mathcal {D}}_{\Phi }\ :=\ \{(\tau ,\tau _{0},x_{0},u(\cdot ))\mid \tau _{0}\leq \tau ,\ u(\cdot )\ {\text{stückweise stetig differenzierbar}}\}\\(\tau ,\tau _{0},x_{0},u(\cdot ))\Phi \ :=\ e^{A(\tau -\tau _{0})}x_{0}\,+\,\int _{\tau _{0}}^{\tau }e^{A(\tau -\sigma )}Bu(\sigma )\,d\sigma \end{cases}}$

Man spricht von einem Regel-Relativ $({\mathfrak {P}},{\mathcal {R}},\Pi \cdot dt),$ wenn vorgegeben werden:

• als "Zeitmenge" eine Untergruppe ${\mathcal {T}}(+)<\mathbb {R} (+);$
• eine nicht leere Menge $X$ , deren Elemente "Zustände" heißen;
• eine nicht leere Menge ${\mathcal {R}}$ von binären Relationen auf der Grundmenge ${\mathfrak {P}}={\mathcal {T}}\times X:{\mathcal {R}}\subset \mathrm {Pot} ({\mathfrak {P}}\times {\mathfrak {P}});$
• eine Abbildungsschar $\Pi \cdot dt$, in der zu jedem Paar $\sigma ,\tau \in {\mathcal {T}}$ mit $\sigma \leq \tau$ eine Abbildung

$\Pi _{\sigma }^{\tau }\cdot dt\colon \left\{{\begin{array}{c}{\mathcal {R}}^{[\sigma ,\tau )}\longrightarrow \mathrm {Pot} ({\mathfrak {P}}\times {\mathfrak {P}})\\\Omega \longmapsto \Pi _{\sigma }^{\tau }\Omega dt\end{array}}\right.$

existiert

und wenn die folgenden Eigenschaften gelten:

1. $\bigwedge _{x\in X}\bigvee _{\sigma <\tau }\bigvee _{\Omega \in {\mathcal {R}}^{[\sigma ,\tau )}}(\sigma ,x)\Pi _{\sigma }^{\tau }\Omega dt\neq \emptyset$. Auf jeden Punkt bzw. Zustand kann eine Relation angewendet werden.
2. $(\sigma ,x)\Pi _{\sigma }^{\tau }\Omega dt(\tau ,y_{1})\wedge (\sigma ,x)\Pi _{\sigma }^{\tau }\Omega dt(\tau ,y_{2})\succ y_{1}=y_{2}$. Bedeutet anschaulich, daß bei gleichen betrachteten Anfangswerten, Stellgrößenverläufen und Zeitabschnitten der erreichte Zustand eindeutig ist.
3. $\Pi _{\sigma }^{\mu }\Omega _{1}dt\circ \Pi _{\mu }^{\tau }\Omega _{2}dt=\Pi _{\sigma }^{\tau }(\Omega _{1}{\dot {\vee }}\Omega _{2})dt$. Beschreibt, wie ein Stellwertverlauf sich aus zwei einzelnen Verläufen zusammensetzen kann.
4. $\bigwedge _{c\in {\mathcal {R}}}\Pi _{\sigma }^{\tau }cdt=c\cap (\tau -\sigma ),$ wobei $(\tau -\sigma )$ die gemäß $(\sigma ',x)(\tau -\sigma )(\tau ',y)\;:\Leftrightarrow \;\tau '=\tau \wedge \sigma '=\sigma$ erklärte Relation ist und $\Pi _{\sigma }^{\tau }c\,dt=\Pi _{\sigma }^{\tau }\Omega _{c}dt$ zu setzen ist für $\Omega _{c}(t)\equiv c\;$ f.a. $t\in [\sigma ,\tau )$ . Sichert die Konsistenz der aus konstanten Kontrollfunktionen generierten Relationen zur Relationenschar $[\Pi \cdot dt]$.
5. $\bigwedge _{\sigma \in {\mathcal {T}}}\bigwedge _{x\in X}(\sigma ,x)\Pi _{\sigma }^{\sigma }\diamond dt(\sigma ,x)$ gilt für die leere Abbildung $\diamond \in {\mathcal {R}}^{[\sigma ,\sigma )}$. Ist für die Übertragung von dynamischen Systemem auf Relative lediglich von formaler Natur.

Das oben genannten lineare zeitinvariante System erzeugt ein Regel-Relativ wie folgt:

1. Festlegen der Grundmenge ${\mathfrak {P}}:=\mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{n}$, (bei ${\mathcal {T}}=\mathbb {R}$.
2. Definition der systembeschreibenden Kontrollrelationen ${\mathfrak {C}}\in {\mathcal {R}}$ für konstante Stellwerte u $(t_{0},x_{0})\langle u\rangle (t_{1},x_{1})\,:\Leftrightarrow \,e^{A(t_{1}-t_{0})}x_{0}\,+\,\int _{t_{0}}^{t_{1}}e^{A(t-\tau )}Bu\,d\tau =x_{1}\,\Leftrightarrow \,\bigvee _{x(t)}{\dot {x}}(t)=Ax(t)+Bu(t)\quad \wedge \quad x(t_{0})=x_{0}\quad \wedge \quad x(t_{1})=x_{1}$.
3. Stückweise konstante Kontrollfunktionen werden dann mit Hilfe des einfachen Relationenproduktes $\circ$ gemäß Axiom 3 angegeben, für beliebig variable Funktionen geschieht dies durch den Grenzübergang in der Abbildungsschar $[\Pi \cdot dt]$.

Für alle Regel-Relative $({\mathfrak {P}}={\mathcal {T}}\times X,{\mathcal {R}},\Pi \cdot dt)$ und alle Systeme $({\mathcal {T}},X,{\mathcal {U}},\Phi )$ gibt es geeignete Übergangsverfahren $\Gamma$ und $\Sigma$ für einen synonymen Zusammenhang:

$({\mathfrak {P}}={\mathcal {T}}\times X,{\mathcal {R}},\Pi \cdot dt)\Sigma \Gamma =({\mathfrak {P}}={\mathcal {T}}\times X,{\mathcal {R}},\Pi \cdot dt).$

$({\mathcal {T}},X,{\mathcal {U}},\Phi )\Gamma \Sigma \cong ({\mathcal {T}},X,{\mathcal {U}},\Phi ).$