Benutzer:Butäzigä/Äquivarianter Indexsatz

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In der Mathematik ist der äquivariante Indexsatz eine Formel für die Superspur von Elementen einer mit einem Dirac-Operator kommutierenden Gruppenwirkung.

Als Spezialfall erhält man die Fixpunktformel von Atiyah–Bott.

In der Mathematik ist der äquivariante Indexsatz ein von Michael Atiyah, Graeme Segal und Isadore Singer bewiesener Satz, der die Berechnung des äquivarianten Indexsatzes von Dirac-Operatoren aus dem A-Dach-Geschlecht der Fixpunktmenge und dem äquivarianten Chern-Charakter ermöglicht.

Definition des äquivarianten Index

Sei $\pi :E=E^{+}\oplus E^{-}\to M$ ein Bündel von Clifford-Moduln mit $\mathbb {Z} /2\mathbb {Z}$-Gradierung, $G$ eine kompakte Lie-Gruppe, die auf $E$ und $M$ wirkt, so dass $\pi$ äquivariant ist. Auf $E$ habe man einen mit der $G$-invarianten Zusammenhang. Sei $D$ der assoziierte Dirac-Operator mit Einschränkungen $D^{\pm }\colon \Gamma (M,E^{\pm })\to \Gamma (M,E^{\mp })$.

Dann kommutiert $D$ mit der $G$-Wirkung und der Kern $Ker(D)$ ist eine endlich-dimensionale Darstellung von $G$. Der äquivariante Index von $D$ ist dann definiert als der Charakter dieser Darstellung, also als die Superspur

$Ind_{G}(g,D):=\operatorname {str} (g\mid \ker D)=\operatorname {tr} (g\mid \ker D^{+})-\operatorname {tr} (g\mid \ker D^{-}).$

Für $g=id$ erhält man den Fredholm-Index von $D$.

Asymptotische Entwicklung

Sei $\langle x\vert e^{-tD^{2}}\vert y\rangle$ der Integralkern des Operators $ge^{-tD^{2}}$ und $k_{t}(g,x)=\langle x\vert e^{-tD^{2}}\vert x\rangle$. Dann hat $k_{t}(g,.)$ für $t\to 0$ eine asymptotische Entwicklung

$k_{t}(g,.)\sim (4\pi t)^{-{\frac {1}{2}}dimM^{g}}\sum _{i=0}^{\infty }t^{i}\Phi _{i}(g,.)$

mit $supp(\Phi _{i}(g,.))\subset M^{g}=\left\{x\in M\colon gx=x\right\}$. Das Symbol von $\Phi _{i}(g,.)$ ist

${\frac {{\hat {A}}(M^{g})exp(-F_{0}^{E}\sigma _{\dim(NM^{g})}g^{E}}{\det ^{\frac {1}{2}}(1-g_{1})det^{\frac {1}{2}}(1-g_{1}exp(-R^{1}))}}$,

wobei $NM^{g}$ das Normalenbündel bezeichnet.

Aussage des äquivarianten Indexsatzes

Der äquivariante Index eines äquivarianten Dirac-Operators kann berechnet werden als

Fehler beim Parsen (Syntaxfehler): {\displaystyle ind_G(g,D)=i^{-\frac{1}{2}\dim(M)}\int_{M^g}(2\pi)^{-\frac{1}{2}\dim(M^g)}T_M\left(\hat{M^g})ch_G(g,E)}{det^\frac{1}{2}(1-g_1exp(-R^1))}\right)\vert dx_0\vert} .

Hierbei bezeichnet ${\hat {A}}(M^{g})$ das A-Dach-Geschlecht von $M^{g}$, $ch_{G}$ den äquivarianten Chern-Charakter und $T_{M}$ das Berezin-Integral.

Literatur

• Berline, Nicole; Getzler, E.; Vergne, Michèle (2004), Heat Kernels and Dirac Operators, Berlin, New York: Springer-Verlag