Benutzer:Concionator/Zwei-Drittel-Gesetz

Das Zwei-Drittel-Gesetz besagt, dass bei einem Spiel mit $n$ gleichwahrscheinlichen Ergebnissen in einer Folge von $n$ voneinander unabhängigen Wiederholungen des Spiels im Mittel in etwa zwei Drittel (genauer: 63,21%) der Ergebnisse mindestens einmal vorkommen.

Als Beispiel stelle man sich etwa eine Urne vor mit $n$ verschiedenen Kugeln vor. Dann besagt das Zwei-Drittel-Gesetz, dass im Mittel bei $n$ unabhängigen Ziehungen mit Zurücklegen in etwa 63% der Kugeln mindestens einmal gezogen werden. Alternativ stelle man sich ein Glücksrad mit $n$ verschiedenen Zahlen vor, die jeweils mit gleicher Wahrscheinlichkeit erdreht werden können. Auch hier besagt das Zwei-Drittel-Gesetz, dass bei $n$-maligem Drehen des Glückrades im Mittel etwa 63% der Zahlen mindestens einmal erdreht werden. Das letzte Beispiel ist unter Roulettespielern bekannt, in diesem konkreten Fall besagt das Zwei-Drittel-Gesetz, dass im Mittel bei einer Serie von 37 Roulettespielen 63% der der 37 möglichen Zahlen mindestens einmal erdreht werden.

Achtung: Die Aussage ist nicht, dass bei einer einzigen 37er Serie 63% der 37 Zahlen mindestens einmal vorkommen, sondern nur dass bei vielen 37er Serien im Mittel 63% der Zahlen pro 37er Serie vorkommen. Bei einzelnen 37er Serien können durchaus extreme Fälle vorkommen, z.B. dass nur sehr wenige, etwa 5% der Zahlen erdreht werden oder sogar sehr viele, etwa 90% der Zahlen.

Beweis der Aussage

Bei $n$-maliger Wiederholung voneinander unabhängigen Versuchen mit $n$ gleichwahrscheinlichen Ergebnissen, strebt die Wahrscheinlichkeit ein bestimmtes Ergebnis genau $k$-mal zu erhalten für $n\to \infty$ gegen $p_{k}:={\frac {1}{k!}}\,{\rm {e}}^{-1}$. Wenn wir zeigen können, dass der erwartete relative Anteil der Ergebnisse, die bei $n$-maliger Wiederholung genau $k$-mal vorkommen, ebenfalls für $n\to \infty$ ebenfalls gegen diesen Wert strebt, folgt das Zwei-Drittel-Gesetz aus dem Fall $k=0$, denn der erwartete Anteil der Ergebnisse, die mindestens einmal vorkommen ist dann gegeben durch den Wert $1-p_{0}=1-{\rm {e}}^{-1}\approx 0,632$.

Bezeichnet $Y_{j,k}$ die Indikatorvariable, dass das $j$-te Ergebnis in einer Serie von $n$ voneinander unabhängigen Versuchen mit $n$ gleichwahrscheinlichen Ergebnissen genau $k$-mal vorkommt (die Abhängigkeit der Indikatorvariable von $n$ wird der einfachheithalber unterdrückt, aber immer mitgedacht!), dann zählt $A_{k}:=Y_{1,k}+Y_{2,k}+\cdots +Y_{n,k}$ die Anzahl (also den absoluten Anteil) der Ergebnisse, die genau

$k$-mal vorkommen. Der Variable $a_{k}:={\frac {A_{k}}{n}}$ ist dann entsprechend eine Schätzfunktion für den relativen Anteil. Nun ist aber der Erwartungswert $E(Y_{j,k})=P(Y_{j,k}=1)=P(Y_{1,k}=1)$ für alle $j=1,\dots ,n$ derselbe. Daher ergibt sich $E(A_{k})=E(Y_{1,k})+\cdots +E(Y_{n,k})=n\cdot P(Y_{1,k}=1)$ und somit $E(a_{k})=P(Y_{1,k}=1)$. Dieser Ausdruck strebt aber für große $n$ gegen $p_{k}$, was zu beweisen war.

Wir haben also folgendes gezeigt: Der erwartete relative Anteil kann für genügend großes $n$ genähert werden durch $E(a_{k})\approx p_{k}={\frac {1}{k!}}\,{\rm {e}}^{-1}\approx 0,362$.