Benutzer:DerCriostai/Entwurf/Grandi-Reihe

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In der Mathematik wird die unendliche Reihe 1 − 1 + 1 − 1 + ..., auch

$\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}$

als Grandi-Reihe bezeichnet. Sie wurde nach dem italienischen Mathematiker, Philosoph und Priester Guido Grandi benannt. Sie ist eine divergente Folge, andererseits ist ihre Cesàro-Summe 1/2.

Beweis durch Integration

Um mithilfe von Integration zu beweisen, muss zuerst das unbestimmte Integral von $e^{x}f(x)$ in Bezug auf x für jede Funktion f durch wiederholte partielle Integration mit ${\frac {dv}{dx}}=e^{x}$ und $u=f(x),f'(x),f''(x)...$ angenommen werden.

$\int e^{x}f(x)\,dx=e^{x}f(x)-\int e^{x}f'(x)\,dx$

$=e^{x}f(x)-e^{x}f'(x)+\int e^{x}f''(x)\,dx$

$=e^{x}(f(x)-f'(x)+f''(x)-f'''(x)+f''''(x)...)+C$

C ist eine Konstante.

- - B A U S T E L L E - - Übersetzung des englischen Artikels. - -