Benutzer:Dfedra/Sandkasten/Druck

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Definition in Technischer Mechanik und Kontinuumsmechanik

Der Druck ist definiert als eine in alle Raumrichtungen wirkende Normalspannung.

Der Spannungszustand in einem Körper wird durch den Spannungstensor σ zu einem mathematischen Objekt zusammengefasst. Der mechanische Druck ist als das negative Drittel der Spur des Spannungstensors definiert: guter Näherung inkompressibel. Dann ist der Druck eine „Zwangsspannung“, die als Reaktion des Fluids auf Kompressionsversuche die Inkompressibilität aufrechterhält. Mathematisch ist der Druck hier ein Lagrange’scher Multiplikator für die Nebenbedingung „Inkompressibilität“. Ein Beispiel zur Berechnung des Drucks in der Festkörpermechanik ist im Artikel zur Hyperelastizität gegeben.

Druck von Flüssigkeiten

Hydrodynamischer Druck

Der hydrodynamische Druck $p_{\mathrm {d} }$ (auch dynamischer Druck) resultiert aus der kinetischen Energie der strömenden Fluidelemente in einer Strömung. Er tritt z.B. auf, wenn eine Strömung abgebremst wird, man spricht dann auch von Staudruck. Eine andere Interpretation des hydrodynamischen Drucks ist, dass dieser Druck $p_{\mathrm {d} }$ notwendig ist, um ein Fluidelement auf die Geschwindigkeit $v$ zu beschleunigen. Dabei wirkt der hydrodynamische Druck, genau genommen handelt es sich um eine Druckdifferenz, stets nur in Richtung der Geschwindigkeitsänderung, also grundsätzlich anders als der statische Druck, der in alle Raumrichtungen gleich ist! Der hydrodynamische Druck nimmt quadratisch mit der Strömungsgeschwindigkeit $v$ der Fluidelemente zu:

$p_{\mathrm {d} }:={\frac {1}{2}}\rho v^{2}$

Darin ist $\rho$ die Dichte des strömenden Fluids.

Der hydrodynamische Druck ist nicht direkt messbar, lässt sich aber bei verlustfreier, horizontaler und stationärer Strömung aus der Messung der Differenz zwischen Totaldruck (in Strömungsrichtung) und statischem Druck (senkrecht zur Strömungsrichtung) bestimmen. Dazu muss die Strömung an einem Messpunkt vollständig zu Ruhe kommen (Staupunkt), während am anderen Messpunkt die Strömung möglichst ungestört vorbeiströmt. Dieses Messprinzip wird in der Prandtlsonde verwirklicht. Aus der Messung des dynamischen Drucks kann die Geschwindigkeit der Strömung ermittelt werden. Dieses Messprinzip wird z.B. in der Luftfahrt für die Ermittlung der Flugzeuggeschwindigkeit angewandt.

Herleitung der Beziehung zwischen Druck und Geschwindigkeit

Herleitung des Zusammenhangs von Druck- und Geschwindigkeitsänderung Man kann die Beziehung zwischen Druckdifferenz $\Delta p$ und Geschwindigkeitsänderung $\Delta v$ relativ einfach herleiten, indem man ein zylindrisches Fluidvolumen mit der Querschnittsfläche $A$ und der Länge $x$ betrachtet. Links herrsche ein größerer Druck $p_{1}$ als rechts $p_{2}$, entsprechend wirkt von links eine größere Kraft $F_{1}$ als von rechts $F_{2}$. Die Differenz ist $F_{1}-F_{2}=\Delta F=\Delta p\cdot A$ Wenn das Fluidvolumen durch diese Kraft $\Delta F$ um seine Länge x verschoben wurde, wurde Beschleunigungsarbeit geleistet, welche sich in der kinetischen Energie des Fluidvolumens zeigt. $\Delta F\cdot x={\tfrac {1}{2}}m\;\Delta v^{2}$ In dem Beispiel sei das Fluidvolumen durch diese Verschiebung nun vollständig im Bereich von $p_{2}$, d.h. Δp=0, und das Fluidvolumen bewegt sich nun mit der um $\Delta v$ erhöhten Geschwindigkeit reibungsfrei weiter. Wir kombinieren die obigen Gleichungen, um die Beziehung zwischen Druck und Geschwindigkeit zu erhalten $\Delta F\cdot x=\Delta p\cdot A\cdot x={\tfrac {1}{2}}m\;\Delta v^{2}$ und berücksichtigen, dass $A\cdot x$ dem Volumen $V$ des betrachteten Fluidvolumens entspricht. $\Delta p\cdot A\cdot x=\Delta p\;V={\tfrac {1}{2}}m\;\Delta v^{2}$ Man teilt beide Seiten durch das Volumen $V$, um die beschleunigende Druckdifferenz alleine auf der linken Seite der Beziehung zu haben $\Delta p={\tfrac {1}{2}}{\frac {m}{V}}\;\Delta v^{2}$ Nun interpretiert man den Quotienten ${\tfrac {m}{V}}$ als die Dichte $\rho$ im Fluidvolumen und erhält die gesuchte Beziehung zwischen Druckdifferenz und erzielter Geschwindigkeit. $\Delta p={\tfrac {1}{2}}\rho \;\Delta v^{2}$ Diese grundlegende Beziehung zwischen Druckdifferenz und dadurch veränderter kinetischer Energie wird meist als dynamischer Druck bezeichnet. $p_{dyn}={\tfrac {1}{2}}\rho v^{2}$ Die grundlegende Beziehung zwischen Druckdifferenz und Geschwindigkeitsänderung kann in mehrfacher Weise benutzt werden, z.B. für die Berechnung... ...des Staudrucks, d.h. der Druckerhöhung beim Abbremsen einer Strömung, z.B. Winddruck. (D.h. nicht, dass die Strömung dabei vollständig zur Ruhe kommt, sie kann auch nur abgelenkt sein, aber in ursprünglicher Richtung ist die Strömungsgeschwindigkeit 0). ...der Geschwindigkeit von Fluiden durch eine von außen anliegende Druckdifferenz, z.B. Ausflussgeschwindigkeit aus dem Loch in einer Gefäßwand, Feuerwehrspritze, etc. ...der Druckveränderung bei einer Querschnittsveränderung der Strömung , z.B. Venturidüse, Rohrsysteme, Windkanal, etc. Die Bezeichnung dynamischer Druck führt manchmal zu dem Missverständnis, es handele sich dabei um einen in alle Richtungen gleichmäßig wirkenden statischen Druck in Fluiden, wie es in der Thermodynamik definiert ist und auf der Seite zum Luftdruck demonstriert wurde. Der dynamische Druck ist jedoch keine statischer Druck, sondern eine Druckdifferenz, und diese Druckdifferenz besteht nur in Richtung der damit verknüpften Geschwindigkeit. In Richtung dieser Geschwindigkeit wirkt er allerdings wie ein ganz gewöhnlicher Druck, die "Richtungsabhängigkeit" drückt sich in dem Zusatz "dynamisch" aus.

Totaldruck

→ Hauptartikel: Totaldruck

Der Totaldruck $p_{\mathrm {t} }$ ist bei konstanter Temperatur im Fluid die Summe aus den genannten Druckanteilen:

$p_{\mathrm {t} }=p(h)+p_{\mathrm {d} }=p_{\mathrm {s} }+\rho gh+{\frac {\rho }{2}}v^{2}$

Nach der Bernoulli’schen Druckgleichung ist bei konstanter Temperatur der Totaldruck (in Strömungsrichtung) entlang eines Stromfadens in einem viskositätsfreien Fluid konstant. Beim Übergang von einem größeren zu einem kleineren Querschnitt, wie im Bild, muss gemäß dem Kontinuitätsgesetz die Strömungsgeschwindigkeit (und damit auch der hydrodynamische Druck in Strömungsrichtung) zunehmen. Dies kann nur geschehen, wenn der statische Druck (in alle Raumrichtungen) in den kleineren Querschnitten entsprechend abnimmt. Der statische Druckanteil $p_{\mathrm {s} }+\rho gh$ ist dabei der Druck, den ein mit der Strömung mitschwimmendes Fluidelement verspürt.

Druckverluste durch einen Impulsverlust an den Strömungsrändern kann mit Druckverlustbeiwerten in der erweiterten Bernoulli’schen Druckgleichung zäher Flüssigkeiten berücksichtigt werden.

Einzelnachweise

Kategorie:Thermodynamische Zustandsgröße Kategorie:Kontinuumsmechanik Kategorie:Festkörperphysik Kategorie:Festigkeitslehre